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Les matrices suivantes un, deux, trois, quatre ; un, un demi, un tiers, un quart ; sont-elles des inverses pour la multiplication ?
Il y a deux façons de résoudre cette question. Considérons d’abord la formule de l’inverse d’une matrice deux deux. Pour une matrice deux deux avec les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, son inverse est un sur le déterminant de 𝑎 multiplié par 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎, où nous calculons le déterminant en multipliant 𝑎 par 𝑑 et ensuite, en soustrayant le produit de 𝑏 et 𝑐.
Notez que cela implique que si le déterminant de la matrice est zéro, alors elle n’a pas d’inverse multiplicatif, car un sur le déterminant de A serait un sur zéro, qui, comme nous le savons, est indéfini.
Commençons par calculer l’inverse de un, deux, trois, quatre. 𝑎 égale un. 𝑏 égale deux. 𝑐 égale trois. 𝑑 égale quatre. Le déterminant de cette matrice est égal à un multiplié par quatre moins deux multiplié par trois, ce qui est égal à moins deux. Nous échangeons ensuite les positions de 𝑎 et 𝑑. Puis, nous changeons les signes de 𝑏 et 𝑐.
Ainsi, l’inverse de la matrice un, deux, trois, quatre est moins un demi multiplié par quatre, moins deux, moins trois, un. Puis, si nous multiplions chaque élément de cette matrice par moins un demi, nous obtenons moins deux, un, trois demis et moins un demi. Ceci n’est pas la même chose que la seconde matrice de notre question. Ainsi, elles ne sont donc pas l’inverse multiplicatif l’une de l’autre.
Alternativement, nous savons que lorsque nous multiplions une matrice par son inverse, nous obtenons la matrice identité. Voyons ce qui se passe lorsque nous multiplions ces deux matrices. Pour calculer le premier élément du produit, nous évaluons le produit scalaire de la première ligne de la première matrice et de la première colonne de la seconde matrice. Nous avons un multiplié par un plus deux multiplié par un tiers, soit cinq tiers.
Pour déterminer le deuxième élément, nous évaluons le produit scalaire de la première ligne de la première matrice et de la seconde colonne de la seconde matrice. Un multiplié par un demi plus deux multiplié par un quart est égal à un.
Ensuite, nous évaluons le produit scalaire de la seconde ligne de la première matrice et de la première colonne de la seconde matrice. Ceci donne trois multiplié par un plus quatre multiplié par un tiers, soit treize tiers. Lorsque nous répétons ce processus pour l’élément final, nous obtenons cinq demis. Ce n’est clairement pas la matrice identité un, zéro, zéro, un.
Encore une fois, nous avons montré que ces deux matrices ne sont pas l’inverse multiplicatif l’une de l’autre.
