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Vidéo de la leçon : Position, déplacement et distance Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à faire la différence entre position, déplacement et distance en utilisant la notation vectorielle.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, notre sujet est la position, le déplacement et la distance. Ce sont des quantités fondamentales pour de nombreuses situations physiques. Dans cette leçon, nous allons apprendre à définir chacun de ces termes, ainsi que leurs relations les uns avec les autres.

Au début, disons que nous avons une abeille qui fait du surplace. Nous ne pouvons vraiment dire quelle est sa position que si nous avons un ensemble d’axes de coordonnées défini quelque part. En utilisant cela comme référence, nous pouvons dessiner un vecteur de notre origine à la position actuelle de l’abeille. Et aussi, nous pouvons appeler ce vecteur 𝐫, en spécifiant où l’abeille est située par rapport à ce cadre.

À ce stade, imaginons que notre abeille commence à se déplacer, en suivant une trajectoire dans l’espace tridimensionnel. Plus tard, si notre abeille est positionnée ici, nous pouvons dessiner un nouveau vecteur définissant cette quantité. Si nous considérons la trajectoire globale de l’abeille, nous voyons que son vecteur de position dépend du temps. Cela nous amène à réécrire nos vecteurs de position.

Notre vecteur de position initiale est 𝐫 à un instant que nous appellerons 𝑡 indice i pour l’instant initial. Et le vecteur de position finale est ici, la position de l’abeille à un moment donné que nous avons appelé 𝑡 indice f. À tout moment de son parcours, nous pourrions définir la position de l’abeille en traçant un vecteur à partir de l’origine de nos axes de coordonnées jusqu’à ce point de sa trajectoire. C’est la position de l’abeille.

Lorsque la position de l’abeille change, comme nous le voyons tout au long de cette trajectoire, cela a à voir avec le terme déplacement. Dans cette leçon, nous allons représenter le déplacement en utilisant 𝐬 minuscule. Et notez que cette quantité est un vecteur. Le déplacement, comme la position, est généralement fonction du temps. Et il est défini comme le changement de position d’un objet au fil du temps. Par exemple, si nous voulons calculer le déplacement de notre abeille au moment que nous avons appelé 𝑡 indice f, alors nous prenons la position de l’abeille à ce moment-là et nous soustrayions la position de l’abeille au moment que nous avons appelé 𝑡 indice i.

Notez que cela implique de trouver la différence entre deux vecteurs. Si nous esquissons cette différence, cela ressemblerait à ceci. Graphiquement alors, nous pouvons voir le déplacement de l’abeille sur l’intervalle de temps de 𝑡 indice i à 𝑡 indice f. Et remarquez quelque chose d’intéressant sur le déplacement. Cela ne dépend que de la position de départ et de la position finale de notre objet. Cela ne prend pas en compte les informations que nous avons sur le chemin parcouru par notre objet entre ces deux positions.

Une quantité qui fait bien cela est la distance. Nous représenterons la distance en utilisant 𝑑 minuscule. Comme le déplacement, elle est généralement une fonction du temps. Mais contrairement au déplacement, la distance n’est pas un vecteur. Si nous voulons déterminer la distance parcourue par notre abeille sur cet intervalle de temps, nous commençons à sa position initiale. Puis nous suivons la trajectoire suivi, avec chaque virage, et nous tournons jusqu’à atteindre son point final. Et toute cette longueur de la trajectoire est ce que nous appelons sa distance parcourue.

Notez alors que la distance dépend de la trajectoire, mais pas le déplacement. Par exemple, si notre abeille avait suivi, disons, ce chemin pour aller du départ au point d’arrivée, son déplacement sera le même, mais la distance parcourue sera différente. Une autre chose à noter à propos de ces deux termes est que la distance est toujours au moins égale à la valeur du déplacement, sinon supérieure. En effet, la distance la plus courte entre un point de départ et un point d’arrivée suit la droite définie par le vecteur de déplacement en question.

Mis à part le fait que le déplacement est un vecteur alors que la distance est une quantité scalaire, il existe une autre différence entre ces deux termes. Parce que le déplacement d’un objet est donné par un vecteur, il est possible que le déplacement soit négatif. Par exemple, supposons que nous avons une particule ici et qu’avec le temps, cette particule se déplace purement dans la direction négative 𝑥 selon nos axes de coordonnées. Dans ce cas, le déplacement de la particule est défini par ce vecteur, qui est négatif.

La distance, en revanche, n’est jamais négative. Toute distance parcourue est enregistrée comme une valeur positive. Et donc nous dirions que la distance parcourue par cette particule est positive. La distance minimale qu’un objet peut parcourir est donc zéro, s’il ne bouge pas du tout.

Connaissant tout cela sur la position, le déplacement et la distance, nous allons maintenant nous exercer avec quelques exemples.

En utilisant la figure donnée, calculez la distance 𝑑 et le déplacement 𝑠 d’un objet qui se déplace du point 𝐴 au point 𝐶 puis revient au point 𝐵.

En regardant cette figure, on nous dit d’imaginer un objet qui commence ici au point 𝐴, se déplace complètement du point 𝐴 au point 𝐶, puis revient en arrière, pour terminer sa course au point 𝐵. Sachant que la distance parcourue par cet objet est représentée par 𝑑 alors que son déplacement est représenté par 𝑠, nous pouvons rappeler que la distance parcourue par un objet inclut la longueur totale de la trajectoire qu’il suit. Cela signifie que la distance de cet objet comprendra la distance de 𝐴 à 𝐵 à 𝐶, puis de nouveau vers 𝐵. Nous voyons que cela équivaut à 28 centimètres plus 24 centimètres puis plus 24 centimètres à nouveau. Cela donne 76 centimètres au total.

Le déplacement de notre objet, en revanche, ne prend en compte que ses positions de départ et d’arrivée. Nous savons que notre objet commence au point 𝐴 et finit au point 𝐵. Cela signifie que son déplacement ne comprend que cette longueur de 28 centimètres. Notez que si notre objet avait voyagé juste du point 𝐴 directement au point 𝐵, alors sa distance et son déplacement auraient été les mêmes. Nous voyons dans ce scénario réel comment ces deux termes sont différents.

Voyons maintenant un exemple où notre objet se déplace en deux dimensions.

Selon la figure, un objet s’est déplacé de 𝐴 à 𝐵 le long du segment 𝐴𝐵, puis il s’est déplacé vers 𝐶 le long du 𝐵𝐶. Enfin, il s’est déplacé vers 𝐷 le long du 𝐶𝐷 et il s’est arrêté là. Trouvez la distance parcourue par l’objet 𝑑 un et la norme de son déplacement 𝑑 deux.

En regardant la figure, on nous dit qu’un objet commence au point 𝐴, ici, puis suit le segment 𝐴𝐵 jusqu’à 𝐵 puis se déplace vers le point 𝐶 en suivant cette trajectoire, et il se déplace enfin le long du segment 𝐶𝐷 pour terminer au point 𝐷. Étant donné ce mouvement, nous voulons calculer la distance parcourue par l’objet, nous l’appelons 𝑑 un, et la norme de son déplacement 𝑑 deux.

En dégageant de l’espace, commençons par trouver la distance parcourue par notre corps 𝑑 un. Nous pouvons rappeler que la distance en général est égale à la longueur totale de la trajectoire suivie par un certain objet lorsqu’il se déplace d’un endroit à un autre. Dans notre cas, notre objet a bougé du point 𝐴 au point 𝐷 le long de la trajectoire indiquée en orange. Nous voyons que cela implique un déplacement de 6,6 centimètres du point 𝐴 au point 𝐵, de 8,8 centimètres de 𝐵 à 𝐸, de 16,4 centimètres de 𝐸 à 𝐶, et de 12,3 centimètres pour la dernière étape du parcours. 𝑑 un est alors égal à la somme de ces quatre distances. En les additionnant, on obtient 44,1 centimètres. C’est la distance parcourue par notre objet.

Et maintenant, regardons sa valeur de déplacement 𝑑 deux. Le déplacement est différent de la distance car le déplacement ne prend en compte que le point de départ et le point d’arrivée d’un objet. Dans notre situation, notre objet commence au point 𝐴 et finit au point 𝐷. Donc, cette droite rose reliant ces deux points représente la norme du déplacement 𝑑 deux. Nous voyons que la longueur de ce segment peut être divisée en deux parties : une partie ici et une deuxième partie là. Chacune d’elles est une hypoténuse d’un triangle rectangle. Cela signifie que nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver ces longueurs.

Si nous appelons la longueur de la première hypoténuse 𝑙 un et celle de la deuxième 𝑙 deux, alors nous pouvons dire que la norme du déplacement 𝑑 deux est égale à leur somme et que 𝑙 un et 𝑙 deux sont définis de cette façon. 𝑙 un est égal à la racine carrée de 6,6 centimètres au carré plus 8,8 centimètres au carré. Et 𝑙 deux est égal à la racine carrée de 16,4 centimètres au carré plus 12,3 centimètres au carré. Lorsque nous entrons ces expressions sur notre calculatrice, nous constatons que 𝑙 un est exactement égal à 11 centimètres, tandis que 𝑙 deux est égal à 20,5 centimètres. En les additionnant, on obtient 31,5 centimètres. C’est la norme du déplacement de notre objet.

Voyons maintenant le calcul du déplacement en fonction de la position des particules en fonction du temps.

Une particule a commencé à se déplacer en ligne droite. Après 𝑡 secondes, sa position par rapport à un point fixe est donnée par 𝑟 égale 𝑡 au carré moins quatre 𝑡 plus sept mètres lorsque 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Trouvez le déplacement de la particule après les cinq premières secondes.

D’accord, nous avons la position d’une particule, donnée en fonction du temps lorsque 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Et sur cette base, nous voulons trouver le déplacement de la particule après les cinq premières secondes, c’est-à-dire de 𝑡 égal à zéro jusqu’à 𝑡 égal à cinq. Pour ce faire, nous pouvons rappeler que le déplacement d’une particule - nous pouvons représenter ce déplacement avec un 𝑠 minuscule - à un moment donné que nous appellerons 𝑡 indice f, est donné par le changement de position de la particule entre un certain instant initial 𝑡 indice i et cet instant final 𝑡 indice f.

Cette définition nous dit que pour calculer le déplacement de notre particule sur les cinq premières secondes, nous devons connaître sa position à 𝑡 égale à zéro et à 𝑡 égale à cinq secondes. Nous pouvons écrire cela comme ça. Le déplacement à 𝑡 égale cinq secondes est égal à la position à 𝑡 égale cinq secondes moins la position à 𝑡 égale zéro seconde.

Notre équation donnée pour la position des particules est valide pour ces deux instants. Nous allons donc commencer par trouver la position de la particule à 𝑡 égale cinq. Cela équivaut à cinq carrés moins quatre fois cinq plus sept mètres. Et nous soustrayons de cela la position de la particule à 𝑡 égale zéro. Cela équivaut à zéro carré moins quatre fois zéro plus sept mètres. Nous savons que zéro au carré est zéro, et il en est de même pour quatre fois zéro. Donc, la position de notre particule à l’instant 𝑡 égale zéro se simplifie à sept mètres. À cinq secondes, sa position est de cinq au carré, ce qui est 25, moins quatre fois cinq, ce qui est 20, ajouté à sept mètres. Cela donne 12 mètres. Donc, 12 mètres moins sept mètres nous donne le déplacement que nous cherchons. C’est cinq mètres. Il s’agit du déplacement de la particule pendant les cinq premières secondes.

Voyons maintenant le calcul du déplacement à partir d’un vecteur de position à deux dimensions.

Si le vecteur position d’une particule est exprimé comme 𝐫 égale à deux 𝑡 plus trois 𝐢 plus cinq 𝑡 moins deux 𝐣, alors la norme du déplacement à 𝑡 = 2 secondes est égale à combien d’unités de longueur ?

Ici, alors nous voulons remplir ce blanc en trouvant la norme du déplacement de cette particule à 𝑡 égal à deux secondes. Nous pouvons commencer en rappelant que le vecteur de déplacement d’un objet à un instant que nous appellerons 𝑡 indice f est égal au vecteur de position de cet objet au même instant moins le vecteur de position de l’objet à un instant initial que nous appellerons 𝑡 indice i.

Dans notre cas, comme nous cherchons la norme du déplacement à un instant 𝑡 égal à deux secondes, nous pouvons commencer par déterminer le vecteur de déplacement à cet instant. Selon notre définition, ce vecteur de déplacement est égal au vecteur de position au même instant, deux secondes, moins le vecteur de position à l’instant 𝑡 égale zéro. Sachant cela, nous pouvons utiliser notre vecteur position, qui nous est donné en fonction du temps, pour nous permettre de trouver le déplacement de la particule à deux secondes.

Si nous utilisons la valeur de 𝑡 égale deux à notre équation pour le vecteur position, nous obtenons deux fois deux plus trois 𝐢, soit sept 𝐢, plus cinq fois deux moins deux 𝐣. Cela équivaut à huit 𝐣. Nous pouvons alors remplacer ce vecteur par l’expression que nous venons de trouver. Ensuite, nous voulons trouver la position de la particule à l’instant 𝑡 égale zéro seconde. C’est égal à deux fois zéro plus trois 𝐢, ce qui se simplifie à trois 𝐢, plus cinq fois zéro moins deux 𝐣. Le vecteur est alors trois 𝐢 moins deux 𝐣. Et nous remplaçons cela pour 𝐫 de zéro.

Nous sommes maintenant prêts à calculer le déplacement à un instant 𝑡 égal à deux secondes. Et nous obtenons un résultat de quatre 𝐢 plus 10𝐣. Ce n’est cependant pas notre réponse finale parce que nous cherchons la norme de ce déplacement. Rappelons que si nous avons un vecteur à deux dimensions, nous l’appellerons 𝐕, alors la norme de ce vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes 𝑥 et 𝑦. Cela signifie que la norme du déplacement de notre particule à 𝑡 égale deux secondes est la racine carrée de quatre au carré plus 10 au carré. Quatre au carré c’est 16 et 10 au carré 100. Nous prenons donc la racine carrée de 116.

116 est divisible par quatre. C’est égal à quatre fois 29. Et puis, sachant que quatre est égal à deux au carré, nous pouvons le sortir de la racine carrée, ce qui nous donne pour notre réponse finale deux fois la racine carrée de 29. C’est la norme du déplacement de notre particule à 𝑡 égale deux secondes.

Terminons maintenant en passant en revue quelques points clés sur la position, le déplacement et la distance. Dans cette leçon, nous avons vu que la position d’une particule est une quantité vectorielle qui dépend du système de coordonnées utilisé pour définir cette position. Nous avons alors vu que le déplacement est aussi une quantité vectorielle, et qu’il est égal à une différence de positions. Et enfin, la distance est une quantité scalaire égale à la longueur de la trajectoire d’un objet, et la distance ne peut pas être négative.

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