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Fiche explicative de la leçon : Position, déplacement et distance Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à faire la différence entre la position, le déplacement et la distance parcourue et nous résoudrons des problèmes utilisant la notation vectorielle.

On peut exprimer la position d’un objet par des coordonnées, dans un système de coordonnées. Les coordonnées d’une position correspondent à un vecteur 𝑟, dont le point de départ est l’origine du repère et le point d’arrivée est le point correspondant à la position de l’objet, tel que représenté sur la figure ci-dessous.

Si le vecteur position de l’objet est d’abord 𝑟 puis 𝑟, on peut représenter le déplacement de l’objet à partir du point 𝐴 par le vecteur 𝑟𝑟=𝐴𝐵=𝑠;représenté sur la figure ci-dessous.

La norme de 𝑠 est la longueur de 𝐴𝐵. Le sens de 𝑠 est de 𝐴 vers 𝐵 et sa direction est celle de la droite passant par ces deux points.

Le déplacement d’un objet est défini en fonction de sa position à deux instants donnés, où 𝐴 et 𝐵 représentent les positions de l’objet aux instants 𝑡 et 𝑡 respectivement.

Définition : Déplacement d’un point à un autre

Si à l’instant 𝑡 la position d’un objet est donnée par le vecteur 𝑟 puis qu’à l’instant 𝑡 sa position est donnée par le vecteur 𝑟, alors le déplacement de 𝐴 à 𝐵, noté 𝑠, est donné par 𝑠=𝑟𝑟.

Il faut bien comprendre que le déplacement de l’objet de 𝐴 à 𝐵 ne définit pas la trajectoire de l’objet entre les points 𝐴 et 𝐵. Imaginons que l’objet se déplace selon la trajectoire en forme d’arc représentée en pointillés sur la figure ci-dessous.

Les vecteurs position pour 𝐴 et 𝐵 auraient été exactement les mêmes que ceux représentés ici si l’objet s’était plutôt déplacé en ligne droite selon 𝐴𝐵. Ainsi, pour toute trajectoire de l’objet entre 𝐴 et 𝐵, on a toujours les mêmes vecteurs position et donc le même déplacement. Le déplacement d’un objet d’un point à un autre est indépendant de la trajectoire empruntée par l’objet entre ces deux points; seules les positions du point de départ et du point d’arrivée de l’objet déterminent son déplacement.

À la différence du déplacement, la distance parcourue par un objet entre deux points dépend de la trajectoire empruntée. Définissons la distance.

Définition : Distance

La distance est une quantité scalaire, toujours positive, égale à la longueur de la trajectoire d’un objet entre deux points. La distance la plus courte entre deux points correspond à la norme du déplacement dans un sens ou dans l’autre, c’est-à-dire c’est la distance en ligne droite entre les points, ou autrement dit c’est la longueur de 𝐴𝐵.

Un objet allant de 𝐴 à 𝐵 et qui change de direction ou de sens au cours de son mouvement, parcourt une distance plus grande que la longueur de 𝐴𝐵. Par exemple, pour parcourir la trajectoire en forme d’arc représentée en pointillés sur la figure précédente, un objet doit constamment changer de direction pendant le mouvement.

Considérons un objet se déplaçant suivant une trajectoire circulaire, tel que représenté sur la figure ci-dessous. L’objet part du point 𝑂 et arrive également au point 𝑂.

Le déplacement de l’objet est nul car les vecteurs position au départ et à l’arrivée sont identiques. Il est impossible de déterminer la distance parcourue par l’objet en ne connaissant que ses vecteurs position au départ et à l’arrivée. Dans notre cas de trajectoire circulaire, on peut seulement déduire que la distance parcourue est un multiple de la circonférence de la trajectoire, ce multiple correspondant au nombre de fois que l’objet a entièrement parcouru la trajectoire circulaire.

Dans le prochain exemple, nous verrons comment déterminer la distance lorsque la direction de l’objet varie au cours de son mouvement.

Exemple 1: Trouver la distance totale parcourue par une personne à partir des différentes distances parcourues et directions prises au cours du mouvement

Une personne a couru vers l’est sur 160 m puis vers le nord sur 175 m. Trouvez la distance totale parcourue par la personne.

Réponse

Le mouvement de la personne vers l’est est rectiligne. Ainsi, la distance parcourue vers l’est est égale au déplacement vers l’est, à savoir 160 m. Le mouvement de la personne vers le nord est rectiligne elle aussi. La distance parcourue vers le nord est donc égale au déplacement vers le nord, à savoir 175 m. Les distances parcourues par la personne sont représentées sur la figure ci-dessous.

Le déplacement, 𝑠, est représenté sur la figure. Cependant, ce n’est pas le déplacement qu’il nous faut trouver, mais la distance. La distance totale parcourue est égale à la somme des distances parcourues par la personne dans les deux directions. Ainsi, la distance parcourue, 𝑑, est donnée par 𝑑=𝑑+𝑑.estnord

En remplaçant par les valeurs données dans l’énoncé, on trouve que 𝑑=160+175=335.m

Dans l’exemple précédent, la distance parcourue était plus grande que le déplacement car le mouvement n’était pas rectiligne. On notera que même si un objet se déplace d’un point 𝐴 à un point 𝐵, en ligne droite le long de 𝐴𝐵, il est tout de même possible qu’il parcoure une distance plus grande que la longueur de 𝐴𝐵.

Ce sera le cas si l’objet change de sens au cours de son mouvement entre 𝐴 et 𝐵. Si un objet se déplace le long de 𝐴𝐵, mais parfois vers 𝐵 et parfois vers 𝐴, les distances parcourues dans les deux sens augmentent la longueur de la trajectoire. L’objet peut se déplacer à plusieurs reprises sur une même portion du segment, dans un sens puis dans l’autre, augmentant ainsi la distance totale parcourue.

Voyons un exemple pour apprendre à distinguer le déplacement de la distance lorsque le mouvement est rectiligne.

Exemple 2: Trouver la distance totale parcourue et le déplacement d’un objet se déplaçant en ligne droite

À l’aide de la figure ci-dessous, calculez la distance 𝑑 et le déplacement 𝑠 d’un objet qui va du point 𝐴 au point 𝐶, puis change de sens et s’arrête au point 𝐵.

Réponse

L’objet se déplace en ligne droite tout au long du mouvement et change de sens lorsqu’il atteint l’extrémité opposée du segment.

On peut diviser le mouvement en trois sous-parties: 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐶𝐵.

L’objet parcourt une distance de 28 cm le long de 𝐴𝐵, 24 cm le long de 𝐵𝐶 et 24 cm le long de 𝐶𝐵. Chaque sous-partie du mouvement de l’objet augment la distance totale parcourue. En ce qui concerne les distances, peu importe si l’objet se déplace dans le sens positif ou négatif; leur valeur est toujours positive.

La distance parcourue, 𝑑, est donnée par 𝑑=28+24+24=76.cm

Dans cet exemple, l’objet ne se déplace que dans une seule dimension. Ainsi, il n’y a qu’une seule direction possible pour son déplacement, mais deux sens. On peut assigner au déplacement une valeur positive dans un sens et négative dans l’autre. On est libre de choisir le sens correspondant aux valeurs positives ou négatives; ici, on décide que le sens vers la droite de 𝐴 sera positif.

Le point de départ du mouvement de l’objet est 𝐴 et son point d’arrivée est 𝐵. La distance en ligne droite entre 𝐴 et 𝐵 est de 28 cm. Par ailleurs, le point 𝐵 se trouve à droite du point 𝐴. Donc, 𝑠=28cm.

Dans l’exemple précédent, nous nous sommes intéressés à un déplacement en une dimension. Voyons maintenant un exemple dans lequel nous considérerons la distance et le déplacement d’un objet en deux dimensions.

Exemple 3: Comparer la distance parcourue et le déplacement d’un objet à partir de sa trajectoire représentée géométriquement

La figure ci-dessous illustre le mouvement d’un objet qui part de 𝐴, passe par 𝐵 en se déplaçant le long de 𝐴𝐵, puis par 𝐶 en se déplaçant le long de 𝐵𝐶. Il atteint finalement 𝐷 en se déplaçant le long de 𝐶𝐷. Trouvez la distance parcourue par l’objet, notée 𝑑, et la norme de son déplacement, notée 𝑑.

Réponse

La distance parcourue par l’objet correspond à la somme des longueurs de 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐶𝐷. Ainsi, la distance 𝑑 est donnée par 𝑑=6,6+8,8+16,4+12,3=44,1.cm

La norme du déplacement de l’objet est égale à la longueur de 𝐴𝐷. On peut déterminer cette longueur en additionnant les déplacements horizontaux et verticaux, puis en considérant ces deux sommes comme les deux côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse correspond au déplacement en entier. Ceci est illustré sur les figures ci-dessous.

La longueur de l’hypoténuse du triangle est égale à 𝑑: 𝑑=(8,8+16,4)+(12,3+6,6)𝑑=(25,2)+(18,9)𝑑=31,5.cm

Un mouvement n’est pas instantané; l’objet se déplace au cours du temps. Donc, la position de l’objet, 𝑟, peut être considérée comme une fonction du temps, 𝑟(𝑡). Voyons un exemple dans lequel nous nous intéresserons au déplacement d’un objet sur un intervalle de temps donné.

Exemple 4: Trouver le déplacement d’une particule se déplaçant en ligne droite étant donné sa position en fonction du temps

Une particule se déplace en ligne droite. Après 𝑡secondes, sa position par rapport à un point fixe est donnée par 𝑟=𝑡4𝑡+7m, 𝑡0. Trouvez le déplacement de la particule au bout de cinq secondes.

Réponse

On s’intéresse à une particule se déplaçant en ligne droite. Le déplacement de la particule le long de la droite peut être positif ou négatif.

La norme du déplacement de la particule par rapport au point fixe à l’instant 𝑡=5 est obtenue en remplaçant 𝑡 par 5 dans l’équation 𝑟=𝑡4𝑡+7. On trouve alors 𝑟(5)=5(4×5)+7𝑟(5)=(25(20)+7)𝑟(5)=12.m

Cependant, à l’instant 𝑡=0, la valeur de 𝑟 est donnée par 𝑟(0)=0(4×0)+7=7;m donc entre les instants 𝑡=0 et 𝑡=5, le déplacement de la particule est de 127=5m.

On remarque que 𝑟(𝑡) est une fonction du second degré, avec un coefficient de 𝑡 positif. Donc, le déplacement de la particule par rapport au point fixe admet un minimum à l’instant 𝑡min. La valeur de 𝑡min pour une fonction du second degré de 𝑡, notée 𝑓(𝑡) et telle que 𝑓(𝑡)=𝑎𝑡+𝑏𝑡+𝑐; est donnée par 𝑡=𝑏2𝑎.min

Ici, on a 𝑡=(4)2=2.mins

Le déplacement par rapport au point fixe à l’instant 𝑡=2 est 𝑟(2)=2(4×2)+7=3.m

On en déduit que la particule change de sens après s’être éloignée de 4 mètres de son point de départ. Son déplacement à l’instant 𝑡=5 est dans le sens opposé à son mouvement initial.

On peut représenter la position d’un objet par un vecteur position. Si le vecteur position 𝑟 varie au cours du temps, alors on peut exprimer la variation de 𝑟 sur un intervalle de temps 𝑡 par 𝑠(𝑡)=𝑟(𝑡)𝑟(0).

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment distinguer, sur un intervalle de temps, le vecteur position d’un objet et le déplacement de cet objet.

Exemple 5: Trouver l’expression du déplacement d’un objet à partir de l’expression de sa position au cours du temps

Sachant que le vecteur position d’un objet à l’instant 𝑡 est donné par 𝑟(𝑡)=3𝑡5𝑖+(4𝑡6)𝑗, trouvez son déplacement 𝑠(𝑡).

Réponse

Il nous faut trouver une fonction du temps pour le déplacement de l’objet. On peut la déterminer grâce à la formule 𝑠(𝑡)=𝑟(𝑡)𝑟(0);𝑟(0)=5𝑖6𝑗.

Le déplacement au cours du temps est donné par 𝑠(𝑡)=3𝑡5𝑖+(4𝑡6)𝑗5𝑖6𝑗.

On peut simplifier pour obtenir 𝑠(𝑡)=3𝑡𝑖+(4𝑡)𝑗.

Seuls les termes de 𝑟(𝑡) qui varient au cours du temps sont non nuls pour 𝑠(𝑡). Les termes 5𝑖 et 6𝑗 de 𝑟(𝑡) correspondent à la position de l’objet à l’instant 𝑡=0. La position de l’objet à l’instant 𝑡=0 n’affecte pas la variation de la position de l’objet au cours du temps.

Points clés

  • On peut exprimer la position d’un objet par des coordonnées dans un système de coordonnées. Ces coordonnées correspondent à un vecteur 𝑟 dont le point de départ coïncide avec l’origine du repère et le point d’arrivée avec la position de l’objet.
  • Si la position du point 𝐴 est donnée par le vecteur 𝑟 et la position du point 𝐵 par le vecteur 𝑟, alors le déplacement de 𝐴 à 𝐵, 𝑠, est donné par 𝑠=𝑟𝑟.
  • La longueur de la trajectoire empruntée entre deux points est la distance parcourue entre ces deux points.
  • Si un objet change de direction ou de sens au cours de son mouvement, alors la distance totale parcourue est la somme des distances parcourue dans chaque direction et dans chaque sens.
  • Si un objet change de direction ou de sens au cours de son mouvement, alors la distance parcourue entre deux points est nécessairement supérieure à la norme du déplacement entre ces deux points.
  • On peut représenter le déplacement d’un objet en mouvement par une fonction du temps égale à la variation du vecteur position de l’objet entre les instants 0 et 𝑡: 𝑠(𝑡)=𝑟(𝑡)𝑟(0).

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