Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à faire la différence entre la position, le déplacement et la distance parcourue et nous résoudrons des problèmes utilisant la notation vectorielle.
On peut exprimer la position d’un objet par des coordonnées, dans un système de coordonnées. Les coordonnées d’une position correspondent à un vecteur , dont le point de départ est l’origine du repère et le point d’arrivée est le point correspondant à la position de l’objet, tel que représenté sur la figure ci-dessous.
Si le vecteur position de l’objet est d’abord puis , on peut représenter le déplacement de l’objet à partir du point par le vecteur représenté sur la figure ci-dessous.
La norme de est la longueur de . Le sens de est de vers et sa direction est celle de la droite passant par ces deux points.
Le déplacement d’un objet est défini en fonction de sa position à deux instants donnés, où et représentent les positions de l’objet aux instants et respectivement.
Définition : Déplacement d’un point à un autre
Si à l’instant la position d’un objet est donnée par le vecteur puis qu’à l’instant sa position est donnée par le vecteur , alors le déplacement de à , noté , est donné par
Il faut bien comprendre que le déplacement de l’objet de à ne définit pas la trajectoire de l’objet entre les points et . Imaginons que l’objet se déplace selon la trajectoire en forme d’arc représentée en pointillés sur la figure ci-dessous.
Les vecteurs position pour et auraient été exactement les mêmes que ceux représentés ici si l’objet s’était plutôt déplacé en ligne droite selon . Ainsi, pour toute trajectoire de l’objet entre et , on a toujours les mêmes vecteurs position et donc le même déplacement. Le déplacement d’un objet d’un point à un autre est indépendant de la trajectoire empruntée par l’objet entre ces deux points ; seules les positions du point de départ et du point d’arrivée de l’objet déterminent son déplacement.
À la différence du déplacement, la distance parcourue par un objet entre deux points dépend de la trajectoire empruntée. Définissons la distance.
Définition : Distance
La distance est une quantité scalaire, toujours positive, égale à la longueur de la trajectoire d’un objet entre deux points. La distance la plus courte entre deux points correspond à la norme du déplacement dans un sens ou dans l’autre, c’est-à-dire c’est la distance en ligne droite entre les points, ou autrement dit c’est la longueur de .
Un objet allant de à et qui change de direction ou de sens au cours de son mouvement, parcourt une distance plus grande que la longueur de . Par exemple, pour parcourir la trajectoire en forme d’arc représentée en pointillés sur la figure précédente, un objet doit constamment changer de direction pendant le mouvement.
Considérons un objet se déplaçant suivant une trajectoire circulaire, tel que représenté sur la figure ci-dessous. L’objet part du point et arrive également au point .
Le déplacement de l’objet est nul car les vecteurs position au départ et à l’arrivée sont identiques. Il est impossible de déterminer la distance parcourue par l’objet en ne connaissant que ses vecteurs position au départ et à l’arrivée. Dans notre cas de trajectoire circulaire, on peut seulement déduire que la distance parcourue est un multiple de la circonférence de la trajectoire, ce multiple correspondant au nombre de fois que l’objet a entièrement parcouru la trajectoire circulaire.
Dans le prochain exemple, nous verrons comment déterminer la distance lorsque la direction de l’objet varie au cours de son mouvement.
Exemple 1: Trouver la distance totale parcourue par une personne à partir des différentes distances parcourues et directions prises au cours du mouvement
Une personne a couru vers l’est sur 160 m puis vers le nord sur 175 m. Trouvez la distance totale parcourue par la personne.
Réponse
Le mouvement de la personne vers l’est est rectiligne. Ainsi, la distance parcourue vers l’est est égale au déplacement vers l’est, à savoir 160 m. Le mouvement de la personne vers le nord est rectiligne elle aussi. La distance parcourue vers le nord est donc égale au déplacement vers le nord, à savoir 175 m. Les distances parcourues par la personne sont représentées sur la figure ci-dessous.
Le déplacement, , est représenté sur la figure ; cependant, ce n’est pas le déplacement qu’il nous faut trouver. C'est plutôt la distance. La distance totale parcourue est égale à la somme des distances parcourues par la personne dans les deux directions ; ainsi, la distance parcourue, , est donnée par
En remplaçant par les valeurs données dans l’énoncé, on trouve que
Dans l’exemple précédent, la distance parcourue était plus grande que le déplacement car le mouvement n’était pas rectiligne. On notera que même si un objet se déplace d’un point à un point , en ligne droite le long de , il est tout de même possible qu’il parcoure une distance plus grande que la longueur de .
Ce sera le cas si l’objet change de sens au cours de son mouvement entre et . Si un objet se déplace le long de , mais parfois vers et parfois vers , les distances parcourues dans les deux sens augmentent la longueur de la trajectoire. L’objet peut se déplacer à plusieurs reprises sur une même portion du segment, dans un sens puis dans l’autre, augmentant ainsi la distance totale parcourue.
Voyons un exemple pour apprendre à distinguer le déplacement de la distance lorsque le mouvement est rectiligne.
Exemple 2: Trouver la distance totale parcourue et le déplacement d’un objet se déplaçant en ligne droite
À l’aide de la figure ci-dessous, calculez la distance et le déplacement d’un objet qui va du point au point , puis change de sens et s’arrête au point .
Réponse
L’objet se déplace en ligne droite tout au long du mouvement et change de sens lorsqu’il atteint l’extrémité opposée du segment.
On peut diviser le mouvement en trois sous-parties : , et .
L’objet parcourt une distance de 28 cm le long de , 24 cm le long de et 24 cm le long de . Chaque sous-partie du mouvement de l’objet augment la distance totale parcourue. En ce qui concerne les distances, peu importe si l’objet se déplace dans le sens positif ou négatif ; leur valeur est toujours positive.
La distance parcourue, , est donnée par
Dans cet exemple, l’objet ne se déplace que dans une seule dimension ; ainsi, il n’y a qu’une seule direction possible pour son déplacement, mais deux sens. On peut assigner au déplacement une valeur positive dans un sens et négative dans l’autre ; on est libre de choisir le sens correspondant aux valeurs positives ou négatives ; ici, on décide que le sens vers la droite de sera positif.
Le point de départ du mouvement de l’objet est et son point d’arrivée est . La distance en ligne droite entre et est de 28 cm ; par ailleurs, le point se trouve à droite du point ; donc, .
Dans l’exemple précédent, nous nous sommes intéressés à un déplacement en une dimension. Voyons maintenant un exemple dans lequel nous considérerons la distance et le déplacement d’un objet en deux dimensions.
Exemple 3: Comparer la distance parcourue et le déplacement d’un objet à partir de sa trajectoire représentée géométriquement
La figure ci-dessous illustre le mouvement d’un objet qui part de , passe par en se déplaçant le long de , puis par en se déplaçant le long de . Il atteint finalement en se déplaçant le long de . Trouvez la distance parcourue par l’objet, notée , et la norme de son déplacement, notée .
Réponse
La distance parcourue par l’objet correspond à la somme des longueurs de , et ; ainsi, la distance est donnée par
La norme du déplacement de l’objet est égale à la longueur de . On peut déterminer cette longueur en additionnant les déplacements horizontaux et verticaux, puis en considérant ces deux sommes comme les deux côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse correspond au déplacement en entier ; ceci est illustré sur les figures ci-dessous.
La longueur de l’hypoténuse du triangle est égale à :
Un mouvement n’est pas instantané ; l’objet se déplace au cours du temps ; donc, la position de l’objet, , peut être considérée comme une fonction du temps, . Voyons un exemple dans lequel nous nous intéresserons au déplacement d’un objet sur un intervalle de temps donné.
Exemple 4: Trouver le déplacement d’une particule se déplaçant en ligne droite étant donné sa position en fonction du temps
Une particule se déplace en ligne droite. Après , sa position par rapport à un point fixe est donnée par , . Trouvez le déplacement de la particule au bout de cinq secondes.
Réponse
On s’intéresse à une particule se déplaçant en ligne droite. Le déplacement de la particule le long de la droite peut être positif ou négatif.
La norme du déplacement de la particule par rapport au point fixe à l’instant est obtenue en remplaçant par 5 dans l’équation . On trouve alors
Cependant, à l’instant , la valeur de est donnée par donc entre les instants et , le déplacement de la particule est de .
On remarque que est une fonction du second degré, avec un coefficient de positif ; donc, le déplacement de la particule par rapport au point fixe admet un minimum à l’instant . La valeur de pour une fonction du second degré de , notée et telle que est donnée par
Ici, on a
Le déplacement par rapport au point fixe à l’instant est
On en déduit que la particule change de sens après s’être éloignée de 4 mètres de son point de départ ; son déplacement à l’instant est dans le sens opposé à son mouvement initial.
On peut représenter la position d’un objet par un vecteur position. Si le vecteur position varie au cours du temps, alors on peut exprimer la variation de sur un intervalle de temps par
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment distinguer, sur un intervalle de temps, le vecteur position d’un objet et le déplacement de cet objet.
Exemple 5: Trouver l’expression du déplacement d’un objet à partir de l’expression de sa position au cours du temps
Sachant que le vecteur position d’un objet à l’instant est donné par , trouvez son déplacement .
Réponse
Il nous faut trouver une fonction du temps pour le déplacement de l’objet. On peut la déterminer grâce à la formule où
Le déplacement au cours du temps est donné par
On peut simplifier pour obtenir
Seuls les termes de qui varient au cours du temps sont non nuls pour . Les termes et de correspondent à la position de l’objet à l’instant . La position de l’objet à l’instant n’affecte pas la variation de la position de l’objet au cours du temps.
Points clés
- On peut exprimer la position d’un objet par des coordonnées dans un système de coordonnées ; ces coordonnées correspondent à un vecteur dont le point de départ coïncide avec l’origine du repère et le point d’arrivée avec la position de l’objet.
- Si la position du point est donnée par le vecteur et la position du point par le vecteur , alors le déplacement de à , , est donné par
- La longueur de la trajectoire empruntée entre deux points est la distance parcourue entre ces deux points.
- Si un objet change de direction ou de sens au cours de son mouvement, alors la distance totale parcourue est la somme des distances parcourue dans chaque direction et dans chaque sens.
- Si un objet change de direction ou de sens au cours de son mouvement, alors la distance parcourue entre deux points est nécessairement supérieure à la norme du déplacement entre ces deux points.
- On peut représenter le déplacement d’un objet en mouvement par une fonction du temps égale à la variation du vecteur position de l’objet entre les instants 0 et :
