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Sachant que 𝐴𝐵 est tangente au cercle et que 𝐷 et 𝐶 appartiennent au le cercle, déterminez la valeur de 𝑥 au dixième près.
Examinons donc attentivement ce schéma. On nous dit que la droite 𝐴𝐵 est tangente au cercle. La droite 𝐵𝐷 coupe le cercle en deux points : les points 𝐶 et 𝐷. Par conséquent, la droite 𝐵𝐷 est une sécante. On nous donne explicitement la longueur 𝐴𝐵 - elle mesure 21 centimètres - et la longueur 𝐵𝐷 en fonction de 𝑥 et on nous demande de déterminer sa valeur.
Pour cela, il convient de noter la relation qui existe entre la longueur d'une tangente et la longueur d'une sécante qui se croisent en un point. Cette relation est la suivante : si une tangente et une sécante se coupent à l'extérieur d'un cercle, alors le carré de la mesure de la tangente est égal au produit des mesures de la sécante et de son segment sécant externe.
Il s'agit d'une proposition assez longue. Procédons donc étape par étape afin de comprendre ce qu'elle signifie dans cette question. Tout d'abord, il est indiqué que si une tangente et une sécante se croisent à l'extérieur d'un cercle, et bien, c'est le cas pour les nôtres. La droite 𝐴𝐵 et la droite 𝐵𝐷 se coupent au point 𝐵, qui est à l'extérieur du cercle. Ensuite, on parle du carré de la mesure de la tangente. Dans notre question, c'est donc 𝐴𝐵 au carré.
On nous dit ensuite que c'est égal au produit des mesures de la sécante et de son segment sécant extérieur. La sécante est la droite 𝐵𝐷. Le segment sécant externe est juste une partie de la sécante à l'extérieur du cercle. C'est donc le segment 𝐵𝐶.
On a donc l'équation suivante : 𝐴𝐵 au carré égale 𝐵𝐷 fois 𝐵𝐶. Substituons ces valeurs ou expressions pour chacune de ces composantes. On a 𝐴𝐵 au carré égale 21 au carré, 𝐵𝐷 est la longueur totale de ce segment : c'est donc 𝑥 plus 𝑥 plus deux, et 𝐵𝐶 est donc égale à 𝑥. On va simplifier cette équation. On a 21 au carré égale 441. Et dans le membre de droite, l’expression entres parenthèses se simplifie en deux 𝑥 plus deux.
Développons ensuite ces parenthèses. On obtient 441 égale deux 𝑥 au carré plus deux 𝑥. Enfin, regroupons tous les termes dans le membre de droite de l'équation. Nous devons pour cela soustraire 441 des deux côtés. On a donc maintenant l'équation deux 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 441 égale zéro.
Il s'agit d'une équation du second degré. Et elle ne se factorise certainement pas facilement. Pour la résoudre, il faut donc utiliser la formule quadratique. Cette formule nous dit que les solutions de l'équation 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro sont données par 𝑥 égale moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 le tout sur deux 𝑎.
Pour notre équation, les valeurs de 𝑎 et 𝑏 sont toutes les deux égales à deux et 𝑐 est égale à moins 441. Donc, en substituant nos valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans la formule quadratique, on obtient 𝑥 égale moins deux plus ou moins la racine carrée de deux au carré moins quatre fois deux fois moins 441 le tout sur deux fois deux. À l’aide d’une calculatrice, on obtient deux possibilités pour la racine carrée positive et négative : 14,3576 ou moins 15,3576.
Rappelez-vous que 𝑥 représente une longueur. C'est la longueur du segment 𝐵𝐶. Et donc, il doit avoir une valeur positive. La solution dont nous avons besoin est donc la valeur positive, 14,3576. On nous a aussi demandé de donner notre réponse au dixième près. Nous devons donc l'arrondir. La valeur de 𝑥 au dixième près est 14,4.
Rappelez-vous le point clé que nous avons utilisé dans cette question : si une tangente et une sécante se coupent à l'extérieur d'un cercle, alors le carré de la mesure de la tangente égale le produit des mesures de la sécante et de son segment sécant externe.
