Transcription de la vidéo
Un corps de poids 𝑊 newtons est au repos sur un plan rugueux incliné de 60 degrés par rapport à l’horizontale. Une force 𝐹 agit sur le corps le long de la pente du plan. Lorsque 𝐹 égale 33 newtons, le corps est sur le point de se déplacer vers le bas du plan. Alors que lorsque 𝐹 est égal à 55 newtons, le corps est sur le point de se déplacer vers le haut du plan. Déterminez la valeur de 𝑊 et le coefficient de frottement 𝜇 entre le corps et le plan.
Eh bien, il se passe énormément de choses ici, donc on va simplement commencer par tracer un schéma. En fait, il va falloir que l’on trace deux schémas. On nous dit deux informations différentes sur la force qui pousse le corps vers le haut de la pente. Lorsque la force est de 33 newtons, le corps est sur le point de se déplacer vers le bas du plan. Alors que lorsqu’elle vaut 55 newtons, il est sur le point de se déplacer vers le haut du plan. Le fait que le corps soit sur le point de se déplacer dans différents sens va affecter le sens de la force de frottement. Et donc, étiquetons le premier scénario, le scénario a. Et on va commencer par tracer celui-ci.
Le corps est au repos sur un plan à un angle de 60 degrés par rapport à l’horizontale. On nous dit que le poids de ce corps est de 𝑊 newtons. En d’autres termes, la force descendante que le corps exerce sur le plan est 𝑊. Alors, bien sûr, on sait que cela signifie qu’il y a une force de réaction du plan incliné sur le corps. Et cela agit perpendiculairement au plan. Dans le scénario a, la force 𝐹 qui agit sur le corps le long de la pente du plan est de 33 newtons. Et à ce stade, le corps est sur le point de glisser vers le bas du plan. Cela signifie que la force de frottement agit également vers le haut ; elle agit dans le sens opposé dans lequel le corps veut se déplacer. Alors que l’on a toutes les forces pertinentes sur notre schéma, on va trouver les composantes de ces forces perpendiculaires et parallèles au plan.
Puisque le poids n’agit dans aucune de ces directions, on le décompose en ses composantes parallèles et perpendiculaires au plan. On ajoute un triangle rectangle comme indiqué. On appelle la composante du poids qui agit perpendiculairement au plan, 𝑥 ou 𝑥 newtons. Et la composante qui agit parallèlement au plan, on appelle cela 𝑦 newtons.
Alors, 𝑥 est le côté adjacent à l’angle inclus dans ce triangle. Et on sait que l’hypoténuse est 𝑊 ou 𝑊 newtons. On utilise donc le rapport cosinus. C’est-à-dire que cos 𝜃 est côté adjacent sur l’hypoténuse. Et on peut dire que cos 60 est égal à 𝑥 sur 𝑊. Donc, 𝑥 est 𝑊 cos 60. cos 60 est un demi. On obtient que 𝑥 est égal à un demi 𝑊. De même, on peut calculer la valeur de 𝑦 en utilisant le rapport sinus. sin 60 est 𝑦 divisé par 𝑊. Et si l’on multiplie les deux côtés par 𝑊, on obtient 𝑦 est égal à 𝑊 sin 60 ou racine de trois sur deux 𝑊.
Ensuite on va étudier les forces perpendiculaires au plan. On sait que le corps est en équilibre limite ; c’est sur le point de bouger, mais il ne bouge pas réellement. Cela signifie que la somme vectorielle de ses forces doit être nulle. On peut alors dire que perpendiculairement au plan, 𝑅 moins un demi 𝑊 - rappelez-vous, un demi 𝑊 agit dans le sens opposé - est égal à zéro. On ajoute un demi 𝑊 des deux côtés, et on voit que 𝑅 est un demi 𝑊. Et ensuite, on va étudier les composantes parallèles au plan incliné pour le scénario a.
Encore une fois, la somme vectorielle des forces est égale à zéro. Ainsi, la force de frottement plus la force agissant vers le haut de la pente, soit 33, moins la racine de trois sur deux 𝑊 doit être égale à zéro. Mais rappelez-vous, le frottement est égal à 𝜇𝑅, où 𝜇 est le coefficient de frottement et 𝑅 est la force de réaction normale. Cela signifie que la force de frottement est 𝜇 fois un demi 𝑊. Rappelez-vous, on a calculé 𝑅 comme un demi 𝑊 plus tôt ou un demi 𝑊𝜇. On va simplifier un peu cette équation en la multipliant par deux. Ainsi, 𝑊𝜇 plus 66 moins la racine de trois 𝑊 est égal à zéro.
Examinons le deuxième scénario. C’est quand la force agissant sur le corps est de 55 newtons. Cette fois, il est sur le point de se déplacer vers le haut du plan. Cela signifie que la force de frottement agit dans le sens opposé ; elle agit vers le bas et est parallèle au plan comme indiqué. Encore une fois, la somme vectorielle de nos forces est nulle. Donc, on a 55 moins la force de frottement moins la racine de trois sur deux 𝑊 est égal à zéro.
La force de réaction reste inchangée, donc on peut réécrire le frottement comme un demi 𝑊𝜇. Encore une fois, on multiplie tout par deux. Ainsi, 110 moins 𝑊𝜇 moins la racine de trois 𝑊 est égal à zéro. Et on obtient une paire d’équations simultanées. Libérons de l’espace et résolvons-les.
Commençons par éliminer 𝑊𝜇. On va ajouter les équations a et b. Lorsque l’on le fait, on obtient 66 plus 110. C’est 176. Et moins racine de trois 𝑊 plus moins la racine trois 𝑊 est moins deux racine trois 𝑊. On ajoute deux racine trois 𝑊 aux deux côtés de notre équation. Et puis, on divise par deux fois racine de trois. Donc, 𝑊 est 176 sur deux fois racine de trois. Cela simplifie à 88 fois racine de trois sur trois ou 88 fois racine de trois sur trois newtons. On cherche également à calculer le coefficient de frottement 𝜇. Donc, replaçons 𝑊 dans l’une de nos équations d’origine.
En substituant dans notre équation a, l’on obtient 88 fois racine trois sur trois 𝜇 plus 66 moins racine trois fois 88 fois racine de trois sur trois est égal à zéro. Racine trois fois racine trois puis divisé par trois est simplement un. Donc, on obtient 88 fois racine trois sur trois 𝜇 plus 66 moins 88 est égal à zéro. Eh bien, 66 moins 88 est moins 22. Et on ajoute 22 aux deux côtés. Ainsi, 88 fois racine de trois sur trois 𝜇 est égal à 22. Et notre dernière étape sera de diviser par 88 fois racine de trois sur trois, ce qui nous donne 𝜇 égale racine de trois sur quatre. Ainsi, 𝑊 est 88 fois racine de trois sur trois ou 88 fois racine de trois sur trois newtons, et 𝜇 est racine de trois sur quatre.
