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Vidéo de la leçon : Équilibre d’un corps sur un plan rugueux incliné Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes d’équilibre d’un corps sur un plan rugueux incliné.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes d’équilibre d’un corps sur un plan rugueux incliné. Nous allons commencer par rappeler quelques définitions clés.

Dans de nombreux problèmes mathématiques, on suppose que la surface est lisse. Cela signifie qu’il n’y a pas de force de frottement, alors que lorsque la surface est rugueuse, il y a une certaine résistance de frottement. Lorsque la force de frottement atteint son maximum, on dit qu’il s’agit de la force limite d’adhérence. Si le corps est toujours immobile à ce moment, il est dit en équilibre strict. À cet instant, les sommes des forces parallèles au plan et de celles perpendiculaires au plan sont égales à zéro.

Le coefficient de frottement, désigné par la lettre grecque 𝜇, peut être calculé en divisant la force de frottement par la force de réaction normale. Cela signifie que la force de frottement 𝐹 r est égale à 𝜇 fois la force de réaction normale 𝑅. La force de réaction normale peut également être notée 𝑁 ou 𝐹 n. La valeur du coefficient de frottement 𝜇 est comprise entre zéro et un inclus. Nous allons maintenant modéliser cela avec un schéma représentant les forces agissants sur un corps, puis nous décomposerons les forces horizontalement et verticalement.

Considérons un corps reposant sur un plan incliné comme illustré sur la figure. L’angle d’inclinaison est 𝛼. Sachant que le corps est de masse 𝑚 kilogrammes, il subit une force verticale vers le bas qui est son poids. Son intensité est égale à la masse fois l’accélération due à la pesanteur. Dans cette vidéo, nous allons supposer que 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde carrée. La force de réaction normale 𝑅 est perpendiculaire au plan comme indiqué. Si le corps est en équilibre strict et est sur le point de glisser vers le bas du plan, il y a de plus une force de frottement 𝐹 r agissant parallèlement au plan vers le haut. Lorsqu’un corps est en équilibre strict, la force résultante est égale à zéro. On peut donc décomposer les forces parallèlement et perpendiculairement au plan en sachant que la somme de ces forces sera nulle. On peut parfois rencontrer cette notation pour les axes parallèles et perpendiculaires au plan.

Comme le poids agit verticalement vers le bas, nous devons d’abord trouver ses composantes parallèles et perpendiculaires au plan. Et on peut pour cela utiliser la trigonométrie. On sait que le sinus d’un angle 𝜃 est égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse et que le cosinus de l’angle 𝜃 est égal au côté adjacent divisé par l’hypoténuse. On désigne alors le côté opposé à l’angle 𝛼 par 𝑥 et son côté adjacent par 𝑦. Par conséquent, sinus 𝛼 est égal à 𝑥 sur 𝑚𝑔 et cosinus 𝛼 est égal à 𝑦 sur 𝑚𝑔. On peut ensuite multiplier les deux membres de ces deux équations par 𝑚𝑔. Cela signifie que la composante du poids parallèle au plan est d’intensité 𝑚𝑔 sinus 𝛼 et que sa composante perpendiculaire au plan est d’intensité 𝑚𝑔 cosinus 𝛼.

En additionnant les forces parallèles au plan en supposant que le sens positif est vers le bas, on obtient 𝑚𝑔 sinus 𝛼 moins 𝐹 r égale zéro. Et la somme des forces perpendiculaires au plan en supposant que le sens positif est vers le haut est 𝑅 moins 𝑚𝑔 cosinus 𝛼. Qui est aussi égale à zéro. On sait de plus qu’à l’équilibre strict, la force de frottement 𝐹 r est égale à 𝜇 fois la force de réaction normale. Nous allons maintenant étudier quelques problèmes où nous devons décomposer les forces parallèlement et perpendiculairement au plan et utiliser l’équation 𝐹 r égale 𝜇𝑅 pour calculer des inconnues.

Un corps de poids 60 newtons repose sur un plan incliné rugueux selon un angle d’inclinaison par rapport à l’horizontale dont le sinus est égal à trois sur cinq. Le corps est tiré vers le haut par une force de 63 newtons agissant parallèlement à la ligne de plus grande pente du plan. Sachant que le corps est sur le point de se déplacer vers le haut du plan, calculez le coefficient de frottement entre le corps et le plan.

Nous allons commencer par dessiner un schéma modélisant le problème. On sait que le corps pèse 60 newtons. Il y a donc une force verticale vers le bas égale à 60 newtons. Le plan est incliné par rapport à l’horizontale selon un angle 𝛼, où le sinus de 𝛼 est égal à trois sur cinq. On nous dit que le corps est tiré vers le haut par une force de 63 newtons agissant parallèlement à la ligne de plus grande pente. Il y a de plus une force de réaction normale 𝑅 agissant perpendiculairement au plan. Et comme le corps est sur le point de se déplacer vers le haut plan, il y a une force de frottement agissant parallèlement au plan vers le bas.

Le corps est en équilibre strict, donc la somme des forces est égale à zéro. Il n’y a pas d’accélération. Nous allons devoir décomposer les forces parallèlement et perpendiculairement au plan. Avant de faire cela, nous devons trouver les composantes du poids agissant parallèlement et perpendiculairement au plan. Nous allons pour cela utiliser nos connaissances en trigonométrie. On sait que le sinus d’un angle est égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse et que le cosinus est égal au côté adjacent divisé par l’hypoténuse. Cela signifie que la force agissant parallèlement au plan est d’intensité 60 sinus 𝛼 et que la force agissant perpendiculairement au plan est d’intensité 60 cosinus 𝛼.

En considérant un triangle de type trois, quatre, cinq, on sait que si sin 𝛼 est égal à trois sur cinq, alors cos 𝛼 doit être égal à quatre sur cinq. En décomposant parallèlement au plan, on a 63 moins 60 sin 𝛼 moins la force de frottement égale zéro. Et en décomposant perpendiculairement au plan, on a 𝑅 moins 60 cos 𝛼 égale zéro. Nous pouvons maintenant résoudre ces deux équations pour calculer la force de frottement et la force de réaction normale. En ajoutant 𝐹 r aux deux membres de l’équation un et en remplaçant sinus 𝛼 par trois sur cinq, on obtient 63 moins 60 fois trois sur cinq égale 𝐹 r. Le membre gauche se simplifie par 63 moins 12 fois trois, ce qui fait 27. La force de frottement est d’intensité 27 newtons. En substituant la valeur de cosinus 𝛼, l’équation deux devient 𝑅 égale 60 fois quatre sur cinq. Ce qui donne R égale 48. La force de réaction normale est de 48 newtons.

Mais nous devons calculer le coefficient de frottement. Et nous savons que la force de frottement est égale à 𝜇, le coefficient de frottement, fois la force de réaction normale. Substituer nos valeurs nous donne 27 égale 𝜇 fois 48. Diviser les deux membres de cette équation par 48 donne 𝜇 égale 27 sur 48. Comme le numérateur et le dénominateur sont tous les deux divisibles par trois, cela se simplifie par neuf sur 16. C’est le coefficient de frottement entre le corps et le plan.

Dans le prochain problème, nous devons calculer la tension dans une corde attachée à un corps sur un plan incliné.

Un corps de poids 56 newtons repose sur un plan rugueux incliné de 30 degrés par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement entre le corps et le plan est égal à la racine carrée de trois sur six. Le corps est tiré vers le haut par une corde faisant un angle de 30 degrés avec la pente du plan. Calculez la tension maximale dans la corde nécessaire pour que le corps soit sur le point se déplacer vers le haut du plan.

Nous allons commencer par tracer un schéma représentant le corps et les forces agissant sur lui. L’angle d’inclinaison du plan est de 30 degrés et le corps pèse 56 newtons. Cette force agit donc verticalement vers le bas. Il y a également une force de réaction normale 𝑅 agissant perpendiculairement au plan et une force de frottement F r agissant parallèlement au plan vers le bas car le corps est sur le point de se déplacer vers le haut du plan. On nous dit de plus que le corps est tiré vers le haut par une corde faisant un angle de 30 degrés par rapport à la pente. Comme le corps est sur le point de bouger, nous savons que la somme des forces est égale à zéro. Il n’y a pas d’accélération et nous allons décomposer les forces parallèlement et perpendiculairement au plan.

La tension et le poids doivent toutes les deux être décomposées dans ces directions. Et nous allons avoir besoin de nos connaissances en trigonométrie pour calculer leurs composantes. Comme le sinus d’un angle est égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse et que le cosinus d’un angle est égal au côté adjacent divisé par l’hypoténuse, les quatre forces sont celles représentées sur le schéma. Il y a maintenant trois forces agissant parallèlement au plan. Si on considère le sens vers le haut comme positif, on a 𝑇 cosinus 30 moins 56 sinus 30 moins 𝐹 r égale zéro. Il y a aussi trois forces agissant perpendiculairement au plan, ce qui nous donne l’équation 𝑅 plus 𝑇 sinus 30 moins 56 cosinus 30 égale zéro en supposant que le sens positif est aussi vers le haut.

On peut maintenant simplifier ces deux équations en utilisant sinus de 30 degrés égale un sur deux et cosinus de 30 degrés égale racine carrée de trois sur deux. L’équation un devient racine carrée de trois sur deux 𝑇 moins 28 moins 𝐹 r égale zéro. Et l’équation deux devient 𝑅 plus un demi de 𝑇 moins 28 racine carrée de trois égale zéro. On sait de plus que la force de frottement 𝐹 r est égale à 𝜇, le coefficient de frottement, fois la force de réaction normale 𝑅. Le coefficient de frottement est égal à racine carrée de trois sur six, donc 𝐹 r égale racine carrée de trois sur six fois 𝑅. Nous allons maintenant faire un peu de place pour résoudre ces équations et calculer la tension maximale 𝑇.

On peut manipuler l’équation deux pour obtenir 𝑅 égale 28 racine carrée de trois moins un demi de 𝑇. La force de frottement dans l’équation un est égale à racine carrée de trois sur six fois cela. Cela nous donne racine carrée de trois sur deux 𝑇 moins 28 moins racine carrée de trois sur six fois 28 racine carrée de trois moins un demi de 𝑇 égale zéro. En distribuant la racine carrée de trois sur six, on obtient moins 14 plus racine carrée de trois sur 12 𝑇. Et on peut ensuite regrouper les termes semblables. Cela nous donne sept racine carrée de trois sur 12 𝑇 moins 42 égale zéro. On peut alors ajouter 42 aux deux membres de cette équation. Enfin, on divise les deux membres par sept racine carrée de trois sur 12 pour obtenir 𝑇 égale 24 racine carrée de trois. La tension maximale dans la corde nécessaire pour que le corps soit sur le point de se déplacer vers le haut du plan est de 24 racine carrée de trois newtons.

Dans le dernier problème, nous devons calculer la force maximale nécessaire pour maintenir l’équilibre.

Un corps de poids 75 newtons repose sur un plan rugueux incliné de 45 degrés par rapport à l’horizontale sous l’action d’une force horizontale. La force horizontale minimale requise pour maintenir le corps en équilibre est de 45 newtons. Calculez l’intensité de la force horizontale maximale qui maintient également l’équilibre.

Dans cette question, nous examinons deux scénarios différents : lorsque la force est minimale et lorsqu’elle est maximale. Dans ces deux situations, le corps est en équilibre. Par conséquent, la somme des forces doit être égale à zéro. Il y a une force verticale vers le bas de 75 newtons correspondant au poids. Le plan est incliné d’un angle de 45 degrés. Dans le cas où la force horizontale minimale égale à 45 newtons agit, le corps est sur le point de glisser vers le bas du plan. Cela signifie que la force de frottement agit vers le haut du plan.

Nous allons décomposer les forces parallèlement et perpendiculairement au plan. Avant de faire cela, nous devons déterminer les composantes des forces de 75 et 45 newtons dans ces directions. Nous utilisons à nouveau la trigonométrie, ce qui nous donne les quatre forces illustrées. Trois forces agissent maintenant parallèlement au plan. Comme le corps est sur le point de glisser vers le bas du plan, nous allons l’utiliser comme sens positif. Cela nous donne l’équation 75 sinus 45 moins 45 cosinus 45 moins 𝐹 r égale zéro. Et sinus de 45 degrés et cosinus de 45 degrés sont tous les deux égaux à racine carrée de deux sur deux. Ajouter la force de frottement aux deux membres de cette équation nous donne 𝐹 r égale 15 racine carrée de deux.

Il y a également trois forces agissant perpendiculairement au plan. Cela nous donne l’équation 𝑅 moins 75 cosinus 45 moins 45 sinus 45 égale zéro. Cela se simplifie par 𝑅 moins 60 racine carrée de deux égale zéro, ce qui signifie que 𝑅 est égal à 60 racine carrée de deux. Nous avons maintenant la force de frottement et la force de réaction normale en newtons. Et nous savons que 𝐹 r est égal à 𝜇, le coefficient de frottement, fois 𝑅. 𝜇 est donc égal à 15 racine carrée de deux divisé par 60 racine carrée de deux. Ce qui se simplifie par un sur quatre.

Nous devons maintenant considérer le cas où la force horizontale est à son maximum. Dans cette situation, la plupart des forces restent les mêmes. Mais le corps est cette fois sur le point de se déplacer vers le haut du plan, donc la force de frottement agit vers le bas. Nous devons calculer l’intensité de la force inconnue 𝐹. En décomposant parallèlement au plan, on a 𝐹 cosinus 45 moins 75 sinus 45 moins 𝐹 r égale zéro. En simplifiant et en remplaçant 𝜇 par un sur quatre, on obtient racine carrée de deux sur deux 𝐹 moins 75 racine carrée de deux sur deux moins un quart de 𝑅 égale zéro. Dans la direction perpendiculaire, on a 𝑅 moins 75 cosinus 45 moins 𝐹 sinus 45 égale zéro. En simplifiant, on obtient 𝑅 égale 75 racine carrée de deux sur deux plus racine carrée de deux sur deux 𝐹.

Nous avons maintenant un système de deux équations que nous pouvons résoudre pour calculer 𝐹. Nous allons remplacer 𝑅 dans l’équation un par son expression de l’équation deux. On peut ensuite diviser toute cette équation par racine carrée de deux sur deux. Distribuer le un quart nous donne 𝐹 moins 75 moins 75 sur quatre moins un quart de 𝐹 égale zéro. Cela se simplifie alors par trois quarts de 𝐹 égale 375 sur quatre. En divisant les deux membres de l’équation par trois sur quatre, on obtient 𝐹 égale 125. La force maximale est d’intensité 125 newtons. Cela signifie que si la force est comprise entre 45 et 125 newtons inclus, le corps restera en équilibre.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Dans ces trois problèmes, nous avons vu que lorsqu’un corps est en équilibre strict, les sommes des forces parallèles et perpendiculaires au plan sont égales à zéro. On peut décomposer les forces parallèlement et perpendiculairement au plan et utiliser l’équation 𝐹 r égale 𝜇𝑅 pour calculer des inconnues. 𝜇 est le coefficient de frottement et est compris entre zéro et un inclus. On peut également utiliser la trigonométrie pour calculer les composantes de forces pertinentes.

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