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Fiche explicative de la leçon : Équilibre d’un corps sur un plan incliné rugueux Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre les problèmes impliquant un corps à l’équilibre sur un plan incliné rugueux.

On peut voir sur la figure ci-dessous la force de réaction normale 𝑅 à laquelle est soumis un corps posé sur une surface inclinée.

La réaction normale est une conséquence de l’action du poids du corps sur la surface qui le supporte. Le poids du corps, 𝑃, est donné par 𝑃=𝑚𝑔,𝑚 est la masse du corps et 𝑔 est l’accélération de la pesanteur.

La direction de 𝑅 est toujours normale à la surface. L’intensité de 𝑅, notée 𝑅, est égale à la composante du poids sur l’axe normale à la surface. Elle est donc donnée par 𝑅=𝑚𝑔𝜃,cos𝜃 est l’angle d’inclinaison de la surface par rapport à l’horizontale.

La force résultante s’exerçant sur un corps posé sur une surface inclinée, 𝐹, est la somme de 𝑅 et 𝑃. On peut l’exprimer par 𝐹=𝑅+𝑚𝑔.

On peut voir sur la figure ci-dessous la direction et le sens de la ligne d’action de 𝐹,

𝑅=𝑚𝑔𝜃.cos

La force résultante 𝐹 est parallèle à la surface et dirigée vers le bas de la pente.

On observe que 𝐹 et 𝑅 sont les composantes du poids, d’intensité 𝑚𝑔, sur les axes parallèle et normal à la surface;on a donc 𝐹=𝑚𝑔𝜃.sin

Un corps en contact avec une surface rugueuse est soumis à une force de frottement de sens opposé à la force résultante s’exerçant sur lui. Si le corps est à l’équilibre, la force de frottement est de même intensité que 𝐹. Si l’angle d’inclinaison de la surface sur laquelle le corps repose augmente, la force résultante qui s’exerce sur le corps augmente elle aussi. De même, la force de frottement à laquelle le corps est soumis augmente lorsque la force résultante s’exerçant sur le corps augmente. L’intensité de la force de frottement admet une limite supérieure;lorsqu’elle est atteinte, on parle de « force maximale de frottement ». Pour un corps au repos sur une surface, l’intensité de la force maximale de frottement, notée 𝐿, est donnée par 𝐿=𝜇𝑅,𝜇 est le coefficient de frottement statique entre le corps et la surface et 𝑅 est l’intensité de la réaction normale.

Lorsque le plan est incliné selon l’angle d’inclinaison maximal permettant à un corps de rester à l’équilibre, les forces qui s’exercent sur ce corps au repos sont parallèles au plan, comme illustré sur la figure ci-dessous.

Pour que le corps soit à l’équilibre, ces forces doivent être d’intensités égales, donc 𝑚𝑔𝜃=𝑚𝑔𝜇𝜃sincos et donc sincostan𝜃𝜃=𝑚𝑔𝜇𝑚𝑔=𝜇=𝜃.

L’angle d’inclinaison maximal d’un plan rugueux pour lequel un corps peut rester à l’équilibre est donné par tan𝜇.

Passons à un exemple dans lequel nous déterminerons la force maximale de frottement pour un corps à l’équilibre sur une surface inclinée rugueuse.

Exemple 1: Calculer l’intensité de la force de frottement s’exerçant sur un corps à l’équilibre limite

La figure ci-dessous montre un corps d’un poids de 46 N reposant sur un plan incliné rugueux. Trouvez l’intensité de la force maximale de frottement sachant que le corps est sur le point de glisser le long de la pente et que le coefficient de frottement est égal à 3.

Réponse

Le corps étant sur le point de glisser, la force de frottement s’exerce sur lui correspond à la force maximale de frottement. Le corps est au repos donc l’intensité de la force de frottement à laquelle il est soumis est forcément égale à l’intensité de 𝐹, la force résultante qui s’exerce sur lui parallèlement à la surface. L’intensité du poids du corps est égale à 𝑚𝑔;celle de la réaction normale, notée 𝑅, est donnée par 𝑅=𝑚𝑔60.cos

On additionne ces deux forces pour trouver l’intensité de 𝐹, comme montré sur la figure ci-dessous:

𝐹=𝑚𝑔60.sin

Ainsi, l’intensité de la force parallèle à la surface et dirigée vers le bas, qui s’exerce sur le corps, est donnée par 𝐹=𝑚𝑔60,sin et donc 𝐹=46(60)=4632=233.sinN

Pour que le corps soit à l’équilibre, l’intensité de la force de frottement doit être égale à 𝐹.

On aurait aussi pu résoudre ce problème en considérant plutôt la force maximale de frottement sur le corps, dont l’intensité est donnée par 𝐿=𝜇𝑅=3𝑅.

Par ailleurs, 𝑅 est donnée par 𝑅=46(60)=23.cosN

On a donc 𝐿=𝜇𝑅=233.N

Pour qu’un corps sur une surface inclinée rugueuse soumis à une force extérieure parallèle à la surface soit à l’équilibre, l’intensité de la force de frottement doit être égale à l’intensité de la somme de la force extérieure et de la force résultante, due au poids du corps et à la réaction normale s’exerçant sur le corps.

La figure ci-dessous montre le sens et l’intensité des forces parallèles à la surface qui s’exercent sur un corps à l’équilibre sur un plan incliné rugueux, lorsque ce corps est soumis à une force extérieure parallèle à la surface d’intensité 𝐹;on distingue deux cas en fonction du sens de la force.

On observe sur la figure que, pour une intensité donnée de 𝐹, la force de frottement est plus grande lorsque 𝐹 est dirigée vers le bas de la pente. L’intensité de la force maximale de frottement correspond à la valeur maximale que peut prendre la force de frottement, pour laquelle le corps est à l’équilibre limite.

Examinons l’intensité nécessaire pour qu’une force extérieure 𝐹, parallèle à la surface, maintienne le corps à l’équilibre s’il est soumis à la force maximale de frottement. On distingue deux cas, montrés sur la figure ci-dessous, en fonction du sens de la force.

On observe sur la figure que lorsque la force de frottement est égale à la force maximale de frottement, la force extérieure parallèle à la surface est plus grande si elle est dirigée vers le haut de la pente que si elle est dirigée le bas.

Voyons un exemple dans lequel une force extérieure parallèle à la surface s’exerce sur un corps à l’équilibre sur une surface inclinée rugueuse.

Exemple 2: Calculer le coefficient de frottement pour un corps sur un plan incliné

Un corps pesant 60 N repose sur un plan incliné rugueux qui forme avec l’horizontale un angle dont le sinus est égal à 35. Une force extérieure parallèle à la surface de 63 N tire le corps vers le haut de la pente. Trouvez le coefficient de frottement entre le corps et le plan sachant que le corps est sur le point de remonter le long de la pente.

Réponse

La figure ci-dessous montre les forces parallèles à la surface auxquelles le corps est soumis.

La force d’intensité 𝑚𝑔𝜃sin est la force résultante due au poids du corps et à la réaction normale s’exerçant sur le corps. Le corps étant à l’équilibre mais sur le point de bouger, les forces sont telles que 60𝜃+60𝜇𝜃=63.sincos

On sait que sin𝜃=35; donc une portion de la surface d’une longueur 5𝑙 correspond à l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les longueurs des deux autres côtés sont 3𝑙 et 𝑥𝑙, comme montré sur la figure ci-dessous.

On peut trouver la valeur de 𝑥 à l’aide du théorème de Pythagore:𝑥=53=16𝑥=16=4.

Il en découle que cos𝜃=45.

On utilise ces valeurs pour remplacer le sinus et le cosinus de 𝜃 dans l’équation 60𝜃+60𝜇𝜃=63sincos et l’on obtient 6035+60𝜇45=6336+48𝜇=6348𝜇=27𝜇=2748=916.

Si la force extérieure s’exerçant sur le corps n’est pas parallèle à la surface inclinée supportant le corps, ses effets sur l’équilibre du corps sont plus complexes. Considérons les forces qui s’exercent sur le corps dans la figure ci-dessous.

Lorsque le corps n’est soumis à aucune force extérieure, l’intensité de la réaction normale est donnée par 𝑅=𝑚𝑔𝜃.cos

Dans le cas présent, la force appliquée possède une composante qui s’oppose non seulement à la force de frottement, mais aussi au poids. Elle diminue donc la force que le poids du corps exerce sur la surface, ce qui a pour effet de diminuer la réaction normale à laquelle le corps est soumis.

L’intensité de la réaction normale s’exerçant sur le corps est donnée par 𝑅=𝑚𝑔𝜃𝐹𝜙,cossin𝐹 est l’intensité de la force extérieure appliquée.

Étant donné que la force de frottement dépend de la réaction normale, elle est aussi modifiée si la force appliquée n’est pas parallèle à la surface.

Voyons un exemple dans lequel une force qui n’est pas parallèle à la surface s’exerce sur un corps à l’équilibre sur une surface inclinée rugueuse.

Exemple 3: Calculer la tension nécessaire dans un fil pour qu’un corps soit sur le point de remonter le long d’un plan incliné

Un corps pesant 56 N repose sur un plan incliné rugueux formant un angle de 30 avec l’horizontale. Le coefficient de frottement entre le corps et le plan est égal à 36. Le corps est tiré vers le haut par un fil formant un angle de 30 avec le plan incliné. Déterminez la tension minimale dans le fil pour que le corps soit sur le point de remonter le long de la pente.

Réponse

Pour résoudre ce problème on peut s’aider d’un diagramme du corps libre, tel que sur la figure ci-dessous.

La force de frottement, 𝐹, est parallèle à la surface tandis que la réaction normale, 𝑅, est normale à la surface. La tension, 𝑇, forme un angle de 30 avec le plan;le poids du corps, de 56 N, forme un angle de 30 avec la droite normale à la surface. Les composantes de 𝑇 sur les axes parallèle et normal à la surface, 𝑇 et 𝑇, sont montrées sur la figure ci-dessous.

L’angle entre 𝑇 et le plan est de 30, donc on a 𝑇=𝑇(30)=𝑇2.sin

La composante de 𝑇 normale à la surface est de même sens que 𝑅 et de sens opposé à la composante du poids du corps normale à la surface. Selon l’axe normal à la surface, la force résultante sur le corps est nulle.

La force de frottement, 𝐹, ne possède pas de composante normale à la surface.

Si l’on considère le sens de 𝑅 comme le sens positif de l’axe normal à la surface, la composante normale à la surface du poids du corps est donnée par 𝑃=56(30)=283.cosN

L’intensité de la composante normale à la surface de la tension dans le fil est donnée par 𝑇=𝑇(30)=𝑇2.sin

On sait que l’intensité de la composante normale à la surface de la tension dans le fil doit être égale à la somme de l’intensité de la composante normale à la surface du poids et de l’intensité de la réaction normale;on a donc l’équation 𝑇2+𝑅=283.

On réarrange pour obtenir une expression de l’intensité de 𝑅:𝑅=283𝑇2.

L’angle entre 𝑇 et la surface est de 30;donc, si l’on considère que le sens positif de l’axe parallèle à la surface est celui qui pointe vers le haut de la pente, on a 𝑇=𝑇(30)=𝑇23.cos

La réaction normale, 𝑅, ne possède pas de composante parallèle à la surface.

La composante de 𝑇 parallèle à la surface est de sens opposé à 𝐹 et à la composante du poids du corps parallèle à la surface. Selon l’axe parallèle à la surface, la force résultante sur le corps est nulle.

L’intensité de la composante du poids du corps parallèle à la surface est donnée par 𝑃=56(𝜃).sin

L’angle 𝜃 est de 30, donc 𝑃=56(30)=28.sinN

L’intensité de 𝐹 dépend de l’intensité de 𝑅:𝐹=𝜇𝑅=36𝑅.

On sait que la composante parallèle à la surface de la tension dans le fil doit être égale à la somme de la composante parallèle à la surface du poids et de la force de frottement;on a donc l’équation 𝑇23=28+36𝑅.

On avait montré que 𝑅=283𝑇2.

On peut maintenant remplacer 𝑅 par cette expression dans l’équation des forces s’exerçant parallèlement à la surface et l’on obtient 𝑇23=28+36283𝑇2.

On réarrange l’expression pour trouver 𝑇, 𝑇23=28+2836312𝑇𝑇23=42𝑇1236𝑇123=42𝑇123𝑇7123=42𝑇3=72𝑇=243.N𝑇23=28+2836312𝑇𝑇23=42𝑇1236𝑇123=42𝑇123𝑇7123=42𝑇3=72𝑇=243.N

Passons maintenant à un exemple dans lequel une force extérieure non horizontale s’exerce sur un corps à l’équilibre sur une surface horizontale rugueuse.

Exemple 4: Calculer une force inconnue et la réaction normale, pour un corps sur un plan incliné

Un corps pesant 262,5 N est à l’équilibre limite sur un plan incliné rugueux formant avec l’horizontale un angle dont la tangente est égale à 34. Ce même corps est ensuite placé sur une surface horizontale de même rugosité que la surface précédente. Une force extérieure 𝐹 s’exerce sur le corps, le tirant vers le haut selon un angle 𝜙 par rapport à l’horizontale, où sin𝜙=35. Sachant que le corps est à l’équilibre limite dans ces conditions, déterminez l’intensité de 𝐹 et de la réaction normale 𝑅.

Réponse

Pour déterminer 𝐹 et 𝑅, nous considérerons les deux configurations dans lesquelles le corps est successivement placé. Nous devons déterminer le coefficient de frottement de la surface à partir de la première configuration, dans laquelle la surface est inclinée;une fois ce coefficient trouvé, nous serons en mesure de déterminer les forces s’exerçant sur le corps lorsqu’il est sur la surface horizontale.

On note 𝜃 l’angle d’inclinaison de la surface et l’on a alors, d’après l’énoncé, tan𝜃=34.

Le corps étant à l’équilibre limite, la tangente de l’angle correspond au coefficient de frottement entre le corps et la surface, donc 𝜇=34.

La figure ci-dessous montre les forces qui s’exercent sur le corps lorsque ce dernier est à l’équilibre sur la surface horizontale, où 𝐿 est la force maximale de frottement.

La force 𝐹 forme avec la surface un angle noté 𝜙;d’après l’énoncé, sin𝜙=35; et donc cos𝜙=45.

Les intensités des composantes verticale et horizontale de 𝐹, notées 𝐹V et 𝐹H, sont données par 𝐹=35𝐹V et 𝐹=45𝐹.H

L’intensité de la force résultante verticale est 35𝐹+𝑅=262,5.

Il en découle que 𝑅=262,535𝐹.

Les forces horizontales qui s’exercent sur le corps se compensent, donc on a 45𝐹=34𝑅=34262,535𝐹.

On peut réarranger cette équation pour trouver 𝐹:45𝐹=196,875920𝐹1620𝐹=196,875920𝐹2520𝐹=54𝐹=196,875𝐹=196,87545=157,5.N

Puisque 𝑅=262,535𝐹, il en découle que 𝑅=262,535157,5=168.N

Il est possible que l’intensité de la force résultante du poids du corps et de la réaction normale qui s’exerce sur le corps soit supérieure à la force maximale de frottement entre le corps et la surface. Dans ce cas, et si aucune force extérieure ne s’exerce sur lui, le corps ne peut pas être à l’équilibre. En revanche, une force extérieure agissant parallèlement à la surface et dirigée vers le haut de la pente peut maintenir le corps à l’équilibre. Il y a deux valeurs possibles pour l’intensité de cette force.

Soit 𝐹, une force égale à la force résultante de 𝑃, le poids d’un corps supporté par un plan rugueux, incliné selon un angle 𝜃 par rapport à l’horizontale, et de la réaction normale qui s’exerce sur ce corps. L’intensité de 𝐹 est donnée par 𝐹=𝑃𝜃.sin

On note 𝐿 l’intensité de la force maximale de frottement entre le corps et la surface.

On note 𝐹max la force maximale parallèle à la surface qui peut s’exercer sur le corps à l’équilibre sur le plan incliné rugueux;cette force vérifie la condition 𝐹>𝐹max et son intensité est donnée par 𝐹=𝐹+𝐿.max

On note 𝐹min la force minimale parallèle à la surface qui peut s’exercer sur le corps à l’équilibre sur le plan incliné rugueux;cette force vérifie la condition 𝐹<𝐹min et son intensité est donnée par 𝐹=𝐹𝐿.min

Ces deux forces, 𝐹max et 𝐹min, sont dirigées vers le haut de la pente. Comme on peut le voir sur la figure ci-dessous, le sens de la force de frottement n’est pas le même lorsque le corps est soumis à 𝐹max et lorsqu’il est soumis à 𝐹min.

Voyons un exemple dans lequel un corps à l’équilibre sur une surface inclinée rugueuse est soumis à une force extérieure non parallèle à la surface, la force de frottement changeant de sens.

Exemple 5: Trouver la force maximale nécessaire pour maintenir un corps à l’équilibre sur un plan incliné rugueux

Un corps pesant 75 N repose sur un plan incliné rugueux formant un angle de 45 avec l’horizontale;une force extérieure horizontale s’exerce sur le corps. La force horizontale minimale requise pour maintenir le corps à l’équilibre est de 45 N. Trouvez la force horizontale maximale qui maintiendrait également le corps à l’équilibre.

Réponse

Pour résoudre ce problème on peut s’aider d’un diagramme du corps libre, tel que sur la figure ci-dessous, qui montre les différentes forces s’exerçant sur le corps lorsque la force horizontale extérieure est minimale.

Commençons par déterminer les composantes sur les axes parallèle et normal au plan des forces de 45 N et 75 N. Sachant que sincos45=45=12, les intensités de chaque composante de ces deux forces sont égales à l’intensité de la force divisée par 2. La figure ci-dessous montre les composantes parallèles et normales au plan des différentes forces qui s’exercent sur le corps.

Les composantes normales au plan des différentes forces se compensent, donc l’intensité de la réaction normale est la force résultante des composantes normales au plan des différentes forces, et elle est donnée par 𝑅=452+752=1202.

Les composantes parallèles au plan des différentes forces se compensent également, donc on a 𝑅𝜇+452=752.

En remplaçant 𝑅 par la valeur trouvée précédemment, on trouve que 1202𝜇+452=7521202𝜇=302𝜇=30120=14.

Ayant déterminé la valeur de 𝜇, nous sommes maintenant en mesure de déterminer l’intensité de la force horizontale maximale maintenant le corps à l’équilibre. La figure ci-dessous montre les différentes forces s’exerçant sur le corps quand la force horizontale est maximale. Les composantes parallèle et normale au plan de la force horizontale sont tracées en pointillé rouge.

La figure ci-dessous montre les composantes parallèles et normales au plan des différentes forces qui s’exercent sur le corps lorsque le corps est soumis à la force horizontale maximale.

Les composantes normales au plan des différentes forces se compensent, donc on a 𝑅=(𝐹+75)2.max

Les composantes parallèles au plan des différentes forces se compensent également, donc on a 𝐹2=𝑅𝜇+752.max

On avait trouvé que 𝜇 est égal à 14, donc on a 𝐹2=𝑅4+752.max

En remplaçant 𝑅 par l’expression trouvée précédemment, on obtient 𝐹2=𝐹+7542+752.maxmax

On multiplie chacun des termes de l’expression par la racine carrée de 2, 𝐹=𝐹+754+75.maxmax

Enfin, on développe les parenthèses et on trouve 𝐹=𝐹4+754+7534𝐹=5475𝐹=544375=5375=125.maxmaxmaxmaxN

Pour finir, résumons ce que nous avons appris dans ces différents exemples.

Points clés

  • Lorsqu’un corps est à l’équilibre sur une surface inclinée rugueuse et qu’il n’est soumis qu’à la force de son propre poids et à la réaction normale, on a l’égalité 𝑚𝑔𝜃=𝑚𝑔𝜇𝜃,sincos𝜃 est l’angle entre la surface et l’horizontale, 𝜇 est le coefficient de frottement entre le corps et la surface, 𝑚 est la masse du corps et 𝑔 est l’accélération de la pesanteur.
  • Lorsqu’une force extérieure parallèle à la surface s’exerce sur un corps à l’équilibre sur un plan incliné rugueux, l’intensité du frottement est égale à l’intensité de la force résultante de la force extérieure, du poids du corps et de la réaction normale qui s’exerce sur le corps.
  • Une force extérieure non parallèle à la surface s’exerçant sur un corps à l’équilibre sur un plan incliné rugueux modifie la réaction normale ainsi que la force de frottement auxquelles le corps est soumis. Si la réaction normale change, il faut égaliser la composante normale au plan de la force extérieure avec la réaction normale qui s’exerce sur le corps et la composante du poids normale au plan pour pouvoir déterminer l’une de ces forces, autre que le poids.
  • L’intensité de la force résultante du poids d’un corps sur un plan incliné rugueux et de la réaction normale à laquelle il est soumis peuvent être supérieures à la force maximale de frottement entre le corps et la surface. Si le corps n’est soumis à aucune force extérieure, il ne peut être à l’équilibre.
  • Une force extérieure agissant parallèlement à la surface et dirigée vers le haut de la pente peut maintenir le corps à l’équilibre. Il y a deux valeurs possibles pour l’intensité de cette force. Ces deux valeurs sont données par 𝐹=𝐹+𝐿max et 𝐹=𝐹𝐿,min𝐹 est l’intensité de la force résultante du poids du corps et de la réaction normale à laquelle il est soumis, et 𝐿 est l’intensité de la force maximale de frottement.

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