Transcription de la vidéo
Complétez ce qui suit. Si 𝐴 et 𝐵 sont deux matrices de même taille, alors la transposée de la transposée de 𝐴 plus la transposée de 𝐵 est égale à quoi.
Commençons par définir nos matrices 𝐴 et 𝐵. Puisque chaque élément des matrices sera constant, nous pouvons désigner ces éléments en utilisant une notation indicielle. Ainsi, 𝑎 𝑖𝑗 peut représenter n’importe quel élément de notre matrice 𝐴, où 𝑖 représentera la ligne de l’élément et 𝑗 représentera la colonne de l’élément. Maintenant, on peut dire que 𝐴 est égal à la matrice des éléments 𝑎 𝑖𝑗. Voyons un exemple de la façon dont cela peut fonctionner. Supposons que notre matrice 𝐴 est une matrice deux fois deux, qui est égale à deux, zéro, cinq, moins un. Divisons notre matrice en deux lignes et deux colonnes. Dans la grille ici, nous pouvons voir que l’élément de la première ligne et de la première colonne de la matrice est deux. En utilisant la notation indicielle, cela signifie que nous pouvons dire que 𝑎 un un est égal à deux.
Maintenant, si nous regardons la première ligne mais la deuxième colonne, nous pouvons voir que l’élément est zéro. Par conséquent, 𝑎 un deux est égal à zéro. Maintenant, lorsque nous regardons la deuxième ligne, nous pouvons voir dans la première colonne que nous avons cinq et dans la deuxième colonne, nous avons moins un, ce qui nous donne que 𝑎 deux un est égal à cinq et 𝑎 deux deux est égal à moins un. Maintenant, nous pouvons utiliser cette notation indicielle pour désigner une matrice de n’importe quelle taille. Donc, même si nous ne connaissons pas la taille de la matrice 𝐴, nous pouvons toujours dire qu’elle est égale à 𝑎 𝑖𝑗. De même, on peut dire que notre matrice 𝐵 est égale à la matrice des éléments 𝑏 𝑖𝑗.
Maintenant, ce que nous devons trouver, c’est la transposée de 𝐴 et la transposée de 𝐵. Nous savons que lors de la recherche de la transposée d’une matrice, les lignes de la matrice d’origine deviennent les colonnes de la transposée. Une autre façon de voir cela est que les colonnes de la matrice originale deviennent les lignes de la transposée. Nous échangeons donc les lignes et les colonnes de la matrice. En termes d’indices, puisque 𝑖 représente la ligne et 𝑗 représente la colonne de l’élément, il suffit d’inverser 𝑖 et 𝑗. Nous avons donc que la transposée de 𝐴 est égale aux éléments 𝑎 𝑗𝑖 et la transposée de 𝐵 est égale aux éléments 𝑏 𝑗𝑖.
Voyons maintenant rapidement ce qui va advenir de la dimension de nos matrices. On nous a dit dans la question que 𝐴 et 𝐵 ont la même taille. On peut donc dire que 𝐴 et 𝐵 sont toutes deux des matrices 𝑚 fois 𝑛, où 𝑚 et 𝑛 sont des entiers positifs. Maintenant, lorsque nous prenons la transposée d’une matrice, la dimension de la matrice sera inversé. Par conséquent, la transposée de 𝐴 et la transposée de 𝐵 seront toutes deux de dimension 𝑛 fois 𝑚. Encore une fois, elles auront la même taille. Et c’est une bonne chose puisque nous allons les ajouter ensemble. Et pour ajouter des matrices, nous avons besoin qu’elles aient la même taille.
Maintenant, lorsque nous ajoutons des matrices ensemble, nous devons ajouter les éléments correspondants les uns aux autres. Cela signifie que pour trouver l’élément dans la première ligne et dans la première colonne de la somme des transposées de 𝐴 et 𝐵, nous devrons ajouter les éléments 𝑎 un un et 𝑏 un un. De même, pour l’élément de la première ligne et de la deuxième colonne de la somme, nous devrons ajouter 𝑎 un deux et 𝑏 un deux. Voici une version développée de ce à quoi la transposée de 𝐴 plus la transposée de 𝐵 devrait ressembler. Comme nous pouvons le voir, nous ajoutons chacun des éléments correspondants des deux matrices.
La chose importante à noter est que les indices des paires d’éléments, que nous additionnons pour former les nouveaux éléments, se correspondent tous dans chaque élément. Par conséquent, nous pouvons utiliser la forme indicielle des éléments pour dire que la transposée de 𝐴 plus la transposée de 𝐵 est égale à 𝑎 𝑗𝑖 plus 𝑏 𝑗𝑖.
Nous pouvons simplifier davantage. Puisque nous avons des indices correspondants dans chaque élément et que chaque élément n’est qu’une constante, nous pouvons renommer chacun de ces indices en utilisant 𝑐. Par exemple, nous pouvons définir 𝑎 un un plus 𝑏 un un comme égal à 𝑐 un un et 𝑎 un deux plus 𝑏 un deux comme égal à 𝑐 un deux. Et nous pouvons également définir 𝑎 deux un plus 𝑏 deux un comme égal à 𝑐 deux un. Si nous faisons cela pour chaque élément de notre matrice, nous serons en mesure de réécrire 𝑎 𝑗𝑖 plus 𝑏 𝑗𝑖 comme 𝑐 𝑗𝑖. Et nous arrivons donc à cette version simplifiée de notre somme.
Ensuite, nous notons que la question nous a demandé de trouver la transposée de la transposée de 𝐴 plus la transposée de 𝐵. Nous devons donc maintenant prendre la transposée de notre somme. Si nous nous souvenons, lorsque nous prenons la transposée d’une matrice où ses éléments sont donnés sous forme indicielle, nous changeons simplement l’ordre des indices. On peut donc dire que la transposée de 𝐴 transposée plus 𝐵 transposée est égale à la matrice des éléments 𝑐 𝑖𝑗. Récapitulons maintenant les étapes que nous avons suivies. Voyons ce qui se passe lorsque nous ajoutons les matrices 𝐴 et 𝐵. De la même manière que lorsque nous ajoutons les transposées de 𝐴 et 𝐵, nous ajoutons simplement chaque élément correspondant de 𝐴 à l’élément correspondant de 𝐵. Et on peut dire que 𝐴 plus 𝐵 est égale à la matrice des éléments 𝑎 𝑖𝑗 plus 𝑏 𝑖𝑗.
Nous avons que 𝑎 𝑗𝑖 plus 𝑏 𝑗𝑖 est égal à 𝑐 𝑗𝑖. Et l’affirmation sera également vraie si nous changeons les indices pour chacun des éléments, ce qui nous donne que 𝑎 𝑖𝑗 plus 𝑏 𝑖𝑗 est égal à 𝑐 𝑖𝑗. Par conséquent, nous pouvons réécrire les éléments de notre somme comme 𝑐 𝑖𝑗. Nous pouvons maintenant voir que la matrice de 𝐴 plus 𝐵 correspond à la matrice de la transposée de la transposée de 𝐴 plus la transposée de 𝐵. Cela nous amène directement à notre solution, qui est que la transposée de la transposée de 𝐴 plus la transposée de 𝐵 est égale à 𝐴 plus 𝐵.
