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Laquelle des assertions suivantes ne correspond pas à la limite lorsque 𝑥 tend vers huit de 𝑓 de 𝑥 est égale à trois ? Est-ce la proposition (A) On peut rendre 𝑓 de 𝑥 aussi proche que l’on veut de trois en prenant 𝑥 suffisamment proche de 8 Est-ce la proposition (B) la valeur de 𝑓 de trois est égale à la valeur de 𝑓 de huit ? Est-ce la proposition (C), lorsque 𝑥 se rapproche de huit, 𝑓 de 𝑥 se rapproche de trois. Est-ce la proposition (D) 𝑓 de 𝑥 se rapproche de trois lorsque 𝑥 se rapproche de huit ?
Dans cette question, nous avons quatre propositions et nous devons déterminer laquelle de ces quatre propositions n’est pas équivalente à dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers huit de 𝑓 de 𝑥 est égale à trois. Pour répondre à cette question, commençons par rappeler ce qu’est la valeur de la limite d’une fonction en un point. Rappelons que si les valeurs de 𝑓 de 𝑥 se rapprochent d’une valeur finie 𝐿 lorsque les valeurs de 𝑥 se rapprochent d’une valeur 𝑎 des deux côtés, mais pas nécessairement lorsque 𝑥 est égal à 𝑎, alors nous disons que la limite quand 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿. Nous pouvons utiliser directement cette définition pour répondre à la question. Commençons par remplacer les valeurs de 𝑎 et 𝐿 dans la définition par les valeurs données dans l’énoncé.
Nous parlons de la limite lorsque 𝑥 tend vers huit de la fonction 𝑓 de 𝑥, la valeur de 𝑎 est donc huit. Nous savons que cette limite est égale à trois, la valeur de 𝐿 est donc trois. Nous pouvons alors modifier la définition. Nous avons maintenant que la limite lorsque 𝑥 tend vers huit de 𝑓 de 𝑥 est égale à trois, ce qui veut dire que lorsque les valeurs de 𝑥 se rapprochent de huit des deux côtés, mais pas nécessairement lorsque 𝑥 est égal à huit, les valeurs de 𝑓 de 𝑥 doivent se rapprocher de trois. Ce procédé est vraiment utile car nous pouvons voir que cette phrase correspond à trois des propositions.
Tout d’abord, il est possible d’obtenir des valeurs de 𝑓 de 𝑥 aussi proche que possible de trois en prenant 𝑥 suffisamment proche de huit. Ceci est un résultat direct de la définition. Les valeurs de 𝑓 de 𝑥 se rapprochent de trois lorsque les valeurs de 𝑥 se rapprochent de huit. Puisque 𝑓 de 𝑥 se rapproche de trois, il est possible de se rapprocher de trois autant que possible en prenant 𝑥 suffisamment proche de huit. Ainsi, la proposition (A) est équivalente à dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers huit de 𝑓 de 𝑥 est égale à trois.
Nous pouvons voir la même chose pour la proposition (C). Elles reprennent tout à fait l’idée de dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers huit de 𝑓 de 𝑥 est égale à trois. Les phrases sont presque similaires. Il faut juste noter un point. Lorsque nous disons que les valeurs de 𝑥 sont suffisamment proches de huit, cela signifie que 𝑥 peut se rapprocher des deux côtés et nous n’avons pas besoin de savoir ce qui se passe lorsque 𝑥 est égal à huit. C’est exactement ce que dit la définition. Lorsque les valeurs de 𝑥 se rapprochent de huit des deux côtés, mais pas nécessairement lorsque 𝑥 est égal à huit, les valeurs de 𝑓 de 𝑥 se rapprochent de trois.
Enfin, dans la proposition (D), nous avons 𝑓 de 𝑥 se rapproche de trois lorsque 𝑥 se rapproche de huit. Encore une fois, cela transmet exactement la même idée. Ainsi, cette proposition est également équivalente à dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers huit de 𝑓 de 𝑥 est égale à trois. Alors, cela est suffisant pour répondre à la question. Les trois autres propositions sont toutes équivalentes. Ainsi, la proposition (B) doit être différente. Cependant, pour être sûrs, montrons-le.
Cette proposition dit que la valeur de 𝑓 de trois doit être égale à la valeur de 𝑓 de huit. Bien sûr, nous pouvons immédiatement remarquer qu’il y a plusieurs choses qui ne vont pas. Par exemple, cette proposition ne nous donne aucune information sur les valeurs de 𝑓 de 𝑥 lorsque les valeurs de 𝑥 se rapprochent de huit. Nous pouvons également remarquer dans la définition que nous n’avons pas besoin de connaître la valeur de la fonction lorsque 𝑥 est égal à huit. La valeur exacte de 𝑓 de huit n’a aucun lien avec la limite lorsque 𝑥 tend vers huit de 𝑓 de 𝑥. Plus précisément, la fonction n’a même pas besoin d’être définie en 𝑥 égal huit.
Ainsi, savoir que la limite lorsque 𝑥 tend vers huit de 𝑓 de 𝑥 est égal à trois ne nous donne aucune information sur la valeur de la fonction en huit ou en trois. Ainsi, nous pouvons dire que la proposition (B) qui dit que 𝑓 de trois est égale à 𝑓 de huit n’est pas équivalente à dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers huit de 𝑓 de 𝑥 est égale à trois.
