Transcription de la vidéo
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 en le point 𝑥, 𝑦 est donné par trois 𝑥 𝑒 puissance deux 𝑥 divisé par deux 𝑥 plus un carré. Déterminez 𝑓 de 𝑥 si le point un, cinq 𝑒 au carré se situe sur la courbe.
La question nous dit que la pente de la courbe 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥 en le point 𝑥, 𝑦 est donnée par trois 𝑥 𝑒 à la puissance deux 𝑥 le tout divisé par deux 𝑥 plus un carré. En d’autres termes, on nous dit que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à trois 𝑥 𝑒 à la puissance deux 𝑥 divisé par deux 𝑥 plus un carré. La question veut que nous déterminions la fonction 𝑓 de 𝑥 étant donné que le point un, cinq 𝑒 au carré se situe sur notre courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥.
Pour ce faire, nous allons remarquer que 𝑓 de 𝑥 est une primitive de la fonction donnant sa pente 𝑓 prime de 𝑥. En d’autres termes, la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à l’intégrale indéfinie de 𝑓 prime de 𝑥 par rapport à 𝑥 à la constante d’intégration 𝑐 près. Donc, nous devons intégrer trois 𝑥𝑒 à la puissance deux 𝑥 divisé par deux 𝑥 plus un carré par rapport à 𝑥. Nous remarquons que l’intégrale n’est pas sous une forme standard que nous pouvons intégrer directement. Nous allons donc devoir effectuer une sorte de manipulation.
Nous pourrions essayer d’utiliser la substitution 𝑢 égale deux 𝑥 plus un. Cependant, cela ne facilite pas les choses. Nous allons donc essayer d’utiliser l’intégration par parties. Nous rappelons que l’intégration par parties nous dit que l’intégrale de 𝑢𝑣 prime par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢𝑣 moins l’intégrale de 𝑢 prime 𝑣 par rapport à 𝑥. Il pourrait être tentant à ce stade d’essayer de définir la fonction 𝑢 comme une sorte de fonction algébrique. Cependant, nous allons définir notre fonction 𝑢 comme le numérateur de la fraction, trois 𝑥 multiplié par 𝑒 à la puissance deux 𝑥.
Nous écrirons également 𝑣 prime comme étant un divisé par le dénominateur de la fraction. Nous allons écrire cela comme deux 𝑥 plus un le tout élevé à la puissance moins deux. Pour calculer 𝑢 prime, nous allons utiliser la règle du produit. Tout d’abord, nous dérivons trois 𝑥 pour obtenir trois. Ensuite, nous multiplions cela par 𝑒 à la puissance deux 𝑥. Ensuite, nous ajoutons la dérivée de 𝑒 à la puissance deux 𝑥. Cela fait deux 𝑒 à la puissance deux 𝑥. Et nous multiplions cela par trois 𝑥.
Maintenant, nous pouvons remarquer que les deux termes de l’expression de 𝑢 prime partagent un facteur de trois 𝑒 à la puissance deux 𝑥. Donc, nous pouvons factoriser cela, ce qui donne trois 𝑒 à la puissance deux 𝑥 multiplié par un plus deux 𝑥. Pour trouver la primitive de la fonction 𝑣 prime, nous allons utiliser l’intégration par substitution. Nous allons utiliser la substitution 𝑤 égale deux 𝑥 plus un. La dérivation des deux côtés de cette équation par rapport à 𝑥 nous donne que la dérivée de 𝑤 par rapport à 𝑥 est égale à deux.
Et bien que d𝑤 sur d𝑥 ne soit pas une fraction, nous pouvons l’utiliser comme tel dans le cadre de l’intégration par substitution. Cela nous donne l’affirmation équivalente que un demi de d𝑤 est égale à d𝑥. Ainsi, en utilisant la substitution 𝑤 égale deux 𝑥 plus un, nous avons que 𝑣 est égale à l’intégrale de 𝑤 élevée à la puissance moins deux multipliée par un demi par rapport à 𝑤. Nous pouvons intégrer cela en ajoutant un à l’exposant, puis en divisant par le nouvel exposant. Cela nous donne que 𝑣 est égale à moins 𝑤 à la puissance moins un divisé par deux.
Enfin, en substituant 𝑤 égale deux 𝑥 plus un et en ramenant 𝑤 au dénominateur, nous avons que 𝑣 est égale à moins un divisé par deux multiplié par deux 𝑥 plus un. Ainsi, en utilisant l’intégration par parties, nous avons montré que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑢 multipliée par 𝑣, qui est trois 𝑥 𝑒 à la puissance deux 𝑥 multiplié par moins un divisé par deux multiplié par deux 𝑥 plus un. Et puis, nous soustrayons l’intégrale de 𝑢 prime multipliée par 𝑣 par rapport à 𝑥, qui est l’intégrale de moins un divisé par deux multiplié par deux 𝑥 plus un le tout multiplié par trois 𝑒 à la puissance deux 𝑥 multiplié par un plus deux 𝑥 par rapport à 𝑥.
Au début, cela pourrait ne pas sembler plus simple. Cependant, nous pouvons remarquer dans l’intégrale que le dénominateur et le numérateur partagent un facteur de un plus deux 𝑥. Ainsi, nous pouvons simplifier ceci pour avoir moins trois 𝑥 𝑒 à la puissance deux 𝑥 divisé par deux multiplié par deux 𝑥 plus un moins l’intégrale de moins trois 𝑒 à la puissancedeux 𝑥 sur deux par rapport à 𝑥. Nous pouvons maintenant évaluer cette intégrale en rappelant que pour les constantes 𝑎 et 𝑛, l’intégrale de 𝑎 𝑒 à la puissance 𝑛𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 𝑒 puissance 𝑛𝑥 divisé par 𝑛, plus la constante d’intégration 𝑐.
Ainsi, évaluer l’opposée de cette intégrale nous donne trois 𝑒 à la puissance deux 𝑥 divisé par quatre, plus la constante d’intégration 𝑐. Nous pouvons simplifier davantage en supprimant un facteur commun de trois quarts de 𝑒 à la puissance deux 𝑥 du premier et deuxième terme. Cela nous donne trois quarts de 𝑒 à la puissance deux 𝑥 multiplié par moins deux 𝑥 sur deux 𝑥 plus un plus un plus la constante d’intégration 𝑐.
Nous pouvons alors ajouter les termes entre parenthèses en remarquant que un est égal à deux 𝑥 plus un sur deux 𝑥 plus un. Ensuite, nous voyons que le moins deux 𝑥 et le deux 𝑥 des numérateurs s’éliminent. Ainsi, nous avons montré que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à trois quarts de 𝑒 à la puissance deux 𝑥 multipliée par un sur deux 𝑥 plus un plus la constante d’intégration 𝑐.
Enfin, nous rappelons que la question nous dit que le point un, cinq 𝑒 au carré se trouve sur la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Si le point un, cinq 𝑒 au carré se trouve sur notre courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, alors lorsque 𝑥 est égal à un, 𝑦 doit être égal à cinq 𝑒 au carré. Donc, nous substituons 𝑥 égale un et 𝑦 égale cinq 𝑒 au carré dans notre équation. Cela nous donne que cinq 𝑒 au carré est égal aux trois quarts de 𝑒 à la puissance deux fois un le tout multiplié par un sur deux fois un plus un plus la constante d’intégration 𝑐.
Le membre de droite de notre équation se simplifie pour nous donner trois quarts de 𝑒 au carré multiplié par un tiers plus 𝑐. Nous pouvons alors annuler les diviseurs communs de trois au numérateur et au dénominateur, ce qui nous donne que cinq 𝑒 au carré est égal à 𝑒 au carré sur quatre plus 𝑐. Enfin, nous soustrayons 𝑒 au carré sur quatre des deux côtés de cette équation pour nous donner que 𝑐 est égal à 19𝑒 au carré sur quatre.
Par conséquent, après un peu de remaniement, nous avons montré que si le coefficient directeur de la tangente à la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 en le point 𝑥, 𝑦 est donné par trois 𝑥 𝑒 à la puissance deux 𝑥 sur deux 𝑥 plus un au carré, et que la courbe passe par le point un, cinq 𝑒 au carré ; alors, la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à trois 𝑒 à la puissance deux 𝑥 sur quatre multiplié par deux 𝑥 plus un plus 19𝑒 au carré sur quatre.
