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Vidéo de question : Décrire la continuité en un point Mathématiques

Sachant que lim_(𝑥 → 1) 𝑓(𝑥) = 4, laquelle des affirmations suivantes doit être vraie? [A] 𝑓(1) = 4 [B] 𝑓(4) = 1 [C] 𝑓(1) ≠ 4 [D] 𝑓(4) ≠ 1 [E] Aucune de ces réponses

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Transcription de vidéo

Sachant que la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥 est égale à quatre, laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie? Est-ce l’option (A) 𝑓 évaluée en un est égale à quatre ? L’option (B) 𝑓 évaluée en quatre est égale à un ? L’option (C) 𝑓 évaluée en un n’est pas égale à quatre ? L’option (D) 𝑓 évaluée en quatre n’est pas égale à un? Ou est-ce l’option (E), aucune des options précédentes ?

Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥, et on nous dit que la limite de notre fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un est égale à quatre. Nous devons utiliser cette information pour déterminer laquelle des cinq affirmations est vraie. Pour ce faire, commençons par rappeler ce que nous entendons par la limite d’une fonction en un point. Nous rappelons que si les valeurs de notre fonction 𝑓 de 𝑥 tendent vers une valeur finie 𝐿 lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers 𝑎 des deux côtés, mais pas nécessairement lorsque 𝑥 est égal à 𝑎, alors nous disons que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿.

Dans la question, on nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥 est égale à quatre. Posons donc la valeur 𝑎 égale un dans cette définition et 𝐿 égale quatre. Cela nous donne la définition suivante. Les valeurs de 𝑓 de 𝑥 tendent vers quatre lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers un des deux côtés, mais pas nécessairement lorsque 𝑥 est égal à un. Et nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. On ne nous donne aucune valeur image spécifique de notre fonction pour une valeur de départ. On ne nous donne que certaines informations sur les images. Par exemple, les images tendent vers quatre lorsque nos valeurs de 𝑥 tendent vers un des deux côtés. Mais nous ne savons pas ce que sont ces images. Nous savons juste qu’elles se rapprochent de quatre.

De même, on nous dit spécifiquement dans la définition que nous ne nous intéressons pas aux images de notre fonction lorsque 𝑥 est égal à un. Et nous pouvons utiliser ceci pour conclure que les options (A) et (C) ne peuvent pas être correctes. Nous pouvons également utiliser ceci pour prouver que les options (B) et (D) ne peuvent pas non plus être correctes. Une façon de le faire est de noter que la seule information qui nous est donnée à propos de notre fonction est ce qui arrive à ses images lorsque nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de plus en plus vers un. Donc on nous donne seulement des informations sur les images de notre fonction autour de 𝑥 égale un. Cela nous permet de conclure que l’image de notre fonction en 𝑥 égale quatre peut être n’importe quelle valeur. Par exemple, elle pourrait être égale à un, deux ou notre fonction pourrait même ne pas être définie.

Par conséquent, nous avons pu montrer que la réponse est l’option (E) : aucune des options précédentes n’est nécessairement vraie.

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