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À quelle distance du plan 𝑦𝑧 se trouve le point moins 16, moins 13, 20 ?
Dans cette question, on nous demande de déterminer la distance entre un point et le plan 𝑦𝑧. Nous pouvons rappeler que cela signifie la distance perpendiculaire car c’est la distance la plus courte entre le point et le plan.
Il y a plusieurs façons de répondre à cette question, et nous allons en voir deux. Tout d’abord, nous pouvons noter que tout vecteur allant dans la direction 𝑥 est perpendiculaire au plan 𝑦𝑧. Ensuite, nous pouvons noter que le point zéro, moins 13, 20 se trouve sur le plan 𝑦𝑧, puisque sa coordonnée 𝑥 est nulle. La seule différence entre ce point du plan et le point hors du plan est la coordonnée 𝑥. Nous pouvons noter que la droite entre ces points aura un vecteur directeur entièrement dans la direction 𝑥. La distance entre ces deux points sera la norme de la coordonnée 𝑥 du point hors du plan, qui est 16.
Il convient de noter que cette idée fonctionne en général. Nous pouvons noter que la distance entre un point 𝑎, 𝑏, 𝑐 et le plan 𝑦𝑧 sera la valeur absolue de 𝑎, puisque le point zéro, 𝑏, 𝑐 se trouve sur le plan 𝑦𝑧 et la droite entre ces points est perpendiculaire au plan 𝑦𝑧.
Ce n’est pas la seule façon dont nous pouvons répondre à cette question. Il peut être utile de répondre à cette question en utilisant l’une des formules de distance entre un point et un plan. Nous pouvons rappeler que la distance entre le point 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑧 indice un et le plan 𝐫 scalaire 𝑎, 𝑏, 𝑐 égale moins 𝑑 est donnée par la valeur absolue de 𝑎𝑥 indice un plus 𝑏𝑦 indice un plus 𝑐𝑧 indice un plus 𝑑 le tout sur racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré.
Pour appliquer cette formule, nous devons trouver l’équation vectorielle du plan 𝑦𝑧. Nous notons que le vecteur un, zéro, zéro est perpendiculaire au plan et que l’origine se situe sur le plan. Puisque le produit scalaire entre le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et le vecteur position de l’origine est zéro, nous avons l’équation vectorielle 𝐫 scalaire un, zéro, zéro égale zéro.
Nous pouvons maintenant substituer ces valeurs dans la formule et évaluer pour trouver la distance entre le point et le plan. Nous obtenons la valeur absolue de un fois moins 16 plus zéro fois moins 13 plus zéro multiplié par 20 plus zéro le tout sur la racine carrée de un au carré plus zéro au carré plus zéro au carré. Nous pouvons alors évaluer cette expression. Le numérateur se simplifie pour donner la valeur absolue de moins 16, qui est 16, et le dénominateur donne un. Par conséquent, la distance perpendiculaire entre le point et le plan est de 16.
Cette méthode est plus compliquée que la première méthode. Cependant, elle est plus générale car elle peut être appliquée à n’importe quels plan et point à condition de pouvoir trouver une équation vectorielle du plan.
