Transcription de la vidéo
Déterminer l’équation générale du plan perpendiculaire au plan d’équation moins six 𝑥 plus trois 𝑦 plus quatre 𝑧 plus quatre est égal à zéro et qui coupe l’axe des 𝑥 et l’axe des 𝑦 respectivement en les points de coordonnées cinq, zéro, zéro et zéro, un, zéro.
Considérons que cette figure en orange représente notre plan. Les coordonnées des points où ce plan traverse les axes 𝑥 et 𝑦 nous sont données. Nous souhaitons déterminer l'équation générale de notre plan en utilisant cette information, ainsi que le fait qu'il est perpendiculaire au plan dont l'équation est donnée. Pour cela, nous avons besoin de deux informations. Premièrement, nous devrons chercher un point du plan. Deuxièmement, nous devrons déterminer un vecteur qui lui est normal ou orthogonal. Nous pouvons constater que, grâce aux informations qui nous ont été fournies, le premier point est déjà acquis. En effet, nous connaissons les coordonnées de deux points de notre plan.
L'étape suivante consiste à déterminer les composantes d'un vecteur normal à ce plan. Pour commencer, examinons ce plan, dont on nous dit qu'il est perpendiculaire à notre plan en question. La présente équation générale est celle du plan perpendiculaire. Nous savons que, écrites sous cette forme, les valeurs par lesquelles 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont multipliés constituent les composantes d'un vecteur normal à ce plan.
Maintenant, réfléchissons à ceci. Ce vecteur est normal, ou orthogonal, à ce plan, qui est perpendiculaire à notre plan en question. Par conséquent, ce vecteur de composantes moins six, trois et quatre est parallèle au plan qui nous intéresse. Nous le savons car il est orthogonal ou normal à un plan qui est perpendiculaire au plan en question. Puisque ce vecteur est parallèle à notre plan en question, nous l'appellerons 𝐩 un. Nous avons ajouté l'indice un car il existe un autre vecteur parallèle à notre plan que nous pouvons déterminer. Il s'agit du vecteur qui relie l'un des points de notre plan à l'autre. Nous appelons ce vecteur 𝐩 deux et ses composantes sont données par la différence de coordonnées entre nos deux points connus. Ce vecteur a donc pour composantes cinq, moins un et zéro.
Maintenant que nous avons deux vecteurs parallèles à notre plan, rappelons que le produit vectoriel de deux vecteurs donne un vecteur orthogonal à ceux-ci. Ceci est important car cela implique que le produit vectoriel obtenu sera perpendiculaire ou normal au plan en question. Nous procédons donc à ce calcul. Le déterminant de cette matrice donne le produit vectoriel de 𝐩 un et 𝐩 deux. La première ligne contient nos trois vecteurs unitaires, suivie de la deuxième et de la troisième ligne, qui comprennent les composantes des vecteurs 𝐩 un et 𝐩 deux, respectivement.
La composante en 𝐢 de ce produit vectoriel est égale au déterminant de cette matrice de dimension deux. Trois fois zéro moins quatre fois moins un donne plus quatre. La composante en 𝐣 est donc moins le déterminant de cette matrice. Six fois zéro moins quatre fois cinq donne moins 20. Nous passons ensuite à la composante en 𝐤 donnée par ce déterminant de cette matrice de dimension deux. Moins six fois moins un moins trois fois cinq donne six moins 15. En combinant ces trois composantes, nous obtenons le résultat de notre produit vectoriel, que nous pouvons représenter comme un vecteur dont les composantes sont quatre, 20 et moins neuf. Il s'agit d'un vecteur normal à notre plan en question. Cela signifie que nous avons rempli les deux conditions requises pour établir l'équation du plan.
Libérons donc un peu d'espace sur notre écran et commençons par rappeler la forme vectorielle de l'équation d'un plan. Sous cette forme, nous avons le produit scalaire du vecteur normal et du vecteur position d’un point quelconque. Celui-ci est égal au produit scalaire de ce même vecteur normal et du vecteur position du point connu. Comme indiqué précédemment, nous avons deux points dans notre cas. Nous pouvons choisir de travailler avec n'importe quel de ces points. Cependant, comme les coordonnées de ce point sont plus petites que celles de celui-ci, nous le choisirons comme point du plan.
Nous obtenons donc cette expression en substituant notre vecteur normal et notre point donné 𝐩 zéro. Nous prenons le produit scalaire du vecteur de coordonnées quatre, 20, moins neuf et du vecteur position d’un point quelconque du plan de coordonnées 𝑥, 𝑦, 𝑧. Ceci est égal au produit scalaire de ce même vecteur normal et du vecteur position du point connu 𝐩 zéro. En calculant le produit scalaire à gauche, nous trouvons quatre 𝑥 plus 20𝑦 moins neuf 𝑧. En faisant la même chose à droite, on obtient quatre fois zéro plus 20 fois un moins neuf fois zéro soit 20.
L'étape finale pour mettre cette équation sous forme générale consiste à retrancher 20 des deux côtés, ce qui donne un zéro à droite de cette expression. Cela nous donne l'équation suivante, qui est l'équation générale de ce plan. Quatre 𝑥 plus 20𝑦 moins neuf 𝑧 moins 20 est égal à zéro.
