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Vidéo de la leçon : Équations de plans parallèles et perpendiculaires Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver l’équation d’un plan parallèle ou perpendiculaire à un autre plan à partir de son équation ou d’autres caractéristiques.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons parler des équations de plans parallèles et perpendiculaires. Nous verrons comment les plans, c’est-à-dire des surfaces en deux dimensions dans un espace en trois dimensions, peuvent être parallèles ou perpendiculaires à d’autres plans et comment représenter cela mathématiquement.

Commençons par simplement rappeler la définition d’un plan. Souvent, un plan dans l’espace est défini de manière unique à partir de deux informations : tout d’abord, un point appartenant au plan et, ensuite, un vecteur – appelé ici 𝐧 - qui est normal ou orthogonal au plan. En général, pour un vecteur de composantes 𝑎, 𝑏 et 𝑐, normal à un plan et un point 𝑃 zéro de coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro appartenant au plan, le produit scalaire du vecteur normal et du vecteur position d’un point quelconque de coordonnées 𝑥, 𝑦, 𝑧 appartenant au plan est égal au produit scalaire de ce même vecteur normal et du vecteur position du point 𝑃 zéro.

Cette ligne correspond à la forme vectorielle ou l’équation vectorielle de notre plan, et si on calcule les produits scalaires, on obtient cette équation. Il s’agit de la forme standard ou de l’équation standard d’un plan. En allant un peu plus loin, si on regroupe les termes du membre droit en une seule constante 𝑑, on arrive à ce que l’on appelle l’équation générale du plan. Par conséquent, pour un vecteur qui est normal au plan et un point appartenant au plan, on peut générer différentes formes de l’équation du plan. Et il s’avère que le vecteur normal à un plan nous aide à définir ses différentes formes d’équation, mais également à déterminer à quels autres plans ce plan pourrait être parallèle ou perpendiculaire.

Si nous avons par exemple un plan avec ce vecteur normal et un autre plan avec ce vecteur normal. Si on appelle ces vecteurs 𝐧 un et 𝐧 deux et que l’on suppose que ces deux plans sont parallèles, on peut en déduire quelque chose sur la relation entre le vecteur normal 𝐧 un et le vecteur normal 𝐧 deux. Si les deux plans sont parallèles, alors leurs vecteurs normaux doivent être colinéaires, dans le même sens ou non. On peut donc écrire un vecteur normal comme le produit d’une constante, positive ou négative, de l’autre vecteur normal.

Supposons par exemple que le vecteur normal 𝐧 un est de composantes un, deux, trois, et que le vecteur normal 𝐧 deux a ces composantes. En comparant ces vecteurs, on voit que l’on peut multiplier la composante en 𝑥 de 𝐧 un par moins deux pour obtenir la composante en 𝑥 de 𝐧 deux. Et de même, on peut multiplier la composante en 𝑦 de 𝐧 un par ce même facteur, moins deux, pour obtenir la composante en 𝑦 de 𝐧 deux. Et il en va de même pour les composantes en 𝑧 de ces vecteurs. On en déduit donc que la constante 𝐶 est égale à moins deux dans ce cas. Et puisqu’il qu’il existe une constante telle que 𝐧 un égale C 𝐧 deux, on peut dire que ces deux plans sont parallèles.

Par conséquent, la condition pour que deux plans soient parallèles est que le vecteur normal d’un des plans soit égal à une constante fois le vecteur normal de l’autre plan. Si deux plans ont des vecteurs normaux qui vérifient cette condition pour une constante 𝐶, alors on peut dire avec certitude que les plans sont parallèles. Mais imaginons maintenant deux plans orientés différemment. Supposons que nos deux plans sont à présent perpendiculaires. Et bien, puisque leurs vecteurs normaux sont respectivement orthogonaux à chacun d’entre eux, on peut s’attendre à ce que si les plans sont perpendiculaires, alors 𝐧 un et 𝐧 deux seront orthogonaux aussi. Si deux vecteurs sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est égal à zéro.

Géométriquement, cela signifie que leurs directions sont perpendiculaires. Par conséquent, si on connaît les vecteurs normaux de deux plans et qu’ils ont un produit scalaire nul, alors les plans doivent être perpendiculaires. Et ces deux équations, une pour les plans parallèles et une pour les plans perpendiculaires, nous donnent des tests utiles à appliquer une fois que nous connaissons les vecteurs normaux de deux plans pour vérifier s’ils sont parallèles ou perpendiculaires. La meilleure façon d’apprendre vraiment tout cela est de l’appliquer. Voyons donc maintenant un exemple d’exercice.

Sachant que le plan 𝐾𝑧 plus deux 𝑥 plus trois 𝑦 égale moins quatre est parallèle au plan 𝐿𝑦 moins deux 𝑥 moins deux 𝑧 égale trois, calculez les valeurs de 𝐾 et 𝐿.

D’accord, donc dans cet exercice, nous avons ces deux plans définis par ces équations. Si on les écrit avec les variables dans l’ordre standard, la première équation donne deux 𝑥 plus trois 𝑦 plus 𝐾𝑧, où 𝐾 est une constante, égale moins quatre. Et la seconde est moins deux 𝑥 plus 𝐿𝑦, où 𝐿 est une constante inconnue, moins deux 𝑧 égale trois. Maintenant que les équations sont écrites sous cette forme, on peut simplement lire les composantes des vecteurs normaux de chaque plan. Le vecteur normal du premier plan aura une composante en 𝑥 de deux, une composante en 𝑦 de trois et une composante en 𝑧 de 𝐾. On appelle ce vecteur 𝐧 un et on le note comme ceci. Et pour le deuxième plan, son vecteur normal aura une composante en 𝑥 de moins deux, une composante en 𝑦 de 𝐿 et une composante en 𝑧 de moins deux. On appelle ce vecteur 𝐧 deux.

L’énoncé indique que ces deux plans sont parallèles. On rappelle alors la condition mathématique pour que deux plans soient parallèles. Les vecteurs normaux 𝐧 un et 𝐧 deux de deux plans parallèles ont leurs composantes liées par une constante, ici appelée 𝐶. Cette constante peut être positive ou négative, mais quel que soit son signe, le quotient entre les composantes correspondantes de ces deux vecteurs normaux doit être constant. Sachant cela, observons les deux vecteurs normaux 𝐧 un et 𝐧 deux et voyons ce que ce coefficient de proportionnalité 𝐶 pourrait être.

En comparant les composantes en 𝑥 de ces vecteurs, on voit que la composante en 𝑥 de 𝐧 un est deux et que celle de 𝐧 deux est moins deux. Or deux égale moins un fois moins deux. Et il s’agit en fait de la seule valeur par laquelle on peut multiplier moins deux pour obtenir plus deux ; on en déduit donc que 𝐶 est ici égale à moins un. Et cette valeur est la clé pour calculer les valeurs de 𝐾 et 𝐿 des équations vectorielles des plans, car comme nous l’avons fait pour les composantes en 𝑥 des vecteurs normaux, on peut écrire des équations pour leurs composantes en y et en z.

Si on remplace C par moins un dans ces deux équations, on trouve trois égale moins un fois 𝐿, c’est-à-dire 𝐿 égale moins trois. Et puisque 𝐾 est égal à moins un fois moins deux, on trouve 𝐾 égale deux. Nous avons donc utilisé le parallélisme des deux plans pour calculer des composantes inconnues de leurs vecteurs normaux. 𝐿 est égal à moins trois et 𝐾 est égal à plus deux.

Voyons maintenant un deuxième exemple avec des plans parallèles.

Déterminez l’équation du plan contenant le point 𝑎, 𝑏, 𝑐 et parallèle au plan 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑧 égale zéro.

Très bien, nous recherchons donc l’équation d’un plan, et nous savons que ce plan contient le point de coordonnées 𝑎, 𝑏, 𝑐. Traçons donc un schéma rapide, avec le plan dont nous recherchons l’équation ici et pour lequel nous savons que ce point, 𝑎, 𝑏, 𝑐 se trouve quelque part sur ce plan. Nous savons de plus que ce plan est parallèle à un autre plan dont l’équation est donnée ici. Et notez que l’équation de ce plan est donnée sous une forme nous permettant de déterminer facilement les composantes d’un vecteur normal au plan. Les coefficients des trois variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont un. Ces coefficients égaux à un, correspondant aux composantes d’un vecteur qui est normal à ce plan.

Si on appelle ce vecteur 𝐧, sa composante en 𝑥 est un, sa composante en 𝑦 est un, et sa composante en z a aussi la même valeur. Et il est utile de connaître ce vecteur normal car on nous dit que le plan dont nous recherchons l’équation est parallèle au plan dont l’équation est donnée ici. Par conséquent, le vecteur normal de ce plan inconnu, que l’on appelle 𝐧 𝑃, doit être colinéaire à 𝐧. Et on peut en fait définir 𝐧 𝑃 égal à 𝐧. On peut le faire car on sait que les deux plans étudiés ici sont parallèles.

Nous avons donc un vecteur qui est normal au plan dont nous recherchons l’équation. Nous avons aussi les coordonnées d’un point appartenant à ce plan. Ces deux informations sont suffisantes pour nous permettre de déterminer son équation. On rappelle que pour un vecteur normal à un plan et le vecteur position d’un point quelconque de ce plan, le produit scalaire de ces deux vecteurs est égal au produit scalaire du vecteur normal et du vecteur position d’un point connu du plan. En appliquant cette relation dans ce cas, on peut dire que le vecteur normal 𝐧 𝑃 scalaire le vecteur position d’un point quelconque du plan de composantes générales 𝑥, 𝑦 et 𝑧 est égal au vecteur normal 𝐧 𝑃 scalaire le vecteur position du point connu 𝑎, 𝑏, 𝑐.

On peut maintenant substituer les composantes de notre vecteur normal 𝐧 𝑃. Et cela nous donne cette équation ici. En calculant ensuite ces deux produits scalaires, on trouve 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑐. Et ce résultat est l’équation du plan contenant le point 𝑎, 𝑏, 𝑐 et parallèle au plan 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑧 égale zéro.

Voyons maintenant un exemple impliquant deux plans perpendiculaires.

Sachant que le plan trois 𝑥 moins trois 𝑦 moins trois 𝑧 égale un est perpendiculaire au plan 𝑎𝑥 moins deux 𝑦 moins 𝑧 égale quatre, calculez la valeur de 𝑎.

Dans cet exercice, nous connaissons les équations de deux plans et il est indiqué que ces plans sont perpendiculaires. Et on peut dire que si deux plans sont perpendiculaires, alors leurs vecteurs normaux doivent être orthogonaux. Il s’agit de la condition mathématique que deux plans perpendiculaires doivent remplir. Le produit scalaire des vecteurs normaux de ces plans doit être nul. Cela suggère que nous pourrions rechercher les vecteurs normaux de ces deux plans puis appliquer cette condition pour voir si cela nous aide à calculer 𝑎. Puisque ces deux équations ont leurs variables dans le bon ordre, on peut identifier les composantes du vecteur normal de chaque plan.

Pour le premier plan, son vecteur normal a une composante en 𝑥 de trois, une composante en 𝑦 de moins trois et une composante en 𝑧 de moins trois. On appelle ce vecteur normal 𝐧 un et on le note comme ceci. Pour le deuxième plan, son vecteur normal a une composante en 𝑥 de 𝑎, une composante en 𝑦 de moins deux et une composante en 𝑧 de moins un. On appelle ce vecteur normal 𝐧 deux. Sachant que ces deux plans sont perpendiculaires, nous allons ensuite appliquer cette condition. C’est-à-dire 𝐧 un, ce vecteur ici, scalaire 𝐧 deux, ce vecteur ici, égale zéro. En calculant ensuite ce produit scalaire, on obtient trois 𝑎 plus six plus trois égale zéro. Ce qui signifie que trois fois la valeur inconnue 𝑎 est égale à moins neuf. En divisant les deux membres par trois, on trouve 𝑎 égale moins trois. Il s’agit de la valeur de 𝑎.

Voyons maintenant un autre exemple de plans perpendiculaires.

Déterminez l’équation générale du plan qui contient le point de coordonnées deux, huit, un et qui est perpendiculaire aux deux plans moins six 𝑥 moins quatre 𝑦 plus six 𝑧 égale moins cinq et cinq 𝑥 plus trois 𝑦 moins six 𝑧 égale trois.

Cet exercice concerne donc trois plans, dont deux d’équations connues. Le troisième plan dont nous recherchons l’équation générale est perpendiculaire à ces deux plans et contient ce point. On peut normalement écrire l’équation d’un plan si on a deux informations à son sujet. La première est un vecteur normal au plan et la deuxième est un point appartenant plan. Dans ce cas, nous connaissons déjà un point appartenant à ce plan d’équation inconnue. Mais nous ne connaissons pas encore les composantes d’un vecteur qui lui est normal.

Remarquez cependant ceci. Nous savons que ce plan, quelle que soit son équation, est perpendiculaire à ces deux plans ici. Cela implique que le vecteur normal 𝐧 que nous recherchons est orthogonal aux vecteurs normaux de ces deux plans, ce qui signifie que si nous pouvons trouver les vecteurs normaux de ces plans et identifier ensuite un vecteur orthogonal aux deux, nous aurons une expression de 𝐧. On commence pour cela par rappeler que lorsque l’équation d’un plan est donnée sous cette forme, alors les composantes des vecteurs normaux à ces plans sont égales aux coefficients des variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

Par exemple, si on appelle un vecteur normal au premier plan 𝐧 un, il peut avoir les composantes moins six, moins quatre, six. Et si on appelle un vecteur normal au deuxième plan 𝐧 deux, il aura les composantes cinq, trois, moins six. Maintenant que nous connaissons 𝐧 un et 𝐧 deux, rappelons que 𝐧 est orthogonal à ces deux vecteurs. Voici donc ce que nous pouvons faire. Nous pouvons calculer le produit vectoriel de 𝐧 un et 𝐧 deux. On rappelle en effet que le produit vectoriel de deux vecteurs – par exemple 𝐀 et 𝐁, ici en trois dimensions - est égal au déterminant de cette matrice trois fois trois ; on peut donc appliquer cette formule ici, où les deuxième et troisième lignes de la matrice sont les composantes respectives des vecteurs 𝐧 un et 𝐧 deux.

On voit que la composante en 𝐢 de 𝐧 un est moins six, sa composante en 𝐣 est moins quatre et sa composante en 𝐤 est plus six. De même, la composante en 𝐢 de 𝐧 deux est cinq, sa composante en 𝐣 est trois et sa composante en k est moins six. Nous sommes maintenant prêts à calculer ce produit vectoriel. Et nous allons procéder composante par composante, en commençant par 𝐢. La composante en 𝐢 du produit vectoriel de 𝐧 un et n deux est égale au déterminant de cette matrice deux fois deux. C’est-à-dire moins quatre fois moins six, soit 24, moins six fois trois, soit 18. On passe ensuite à la composante en 𝐣, qui est égale à moins le déterminant de cette matrice deux fois deux. Moins six fois moins six égale plus 36. Auquel on soustrait six fois cinq, soit 30.

On calcule enfin la composante en 𝐤 égale au déterminant de cette matrice deux fois deux. Moins six fois trois égale moins 18 moins moins quatre fois cinq, soit moins 20. En additionnant tout cela, on obtient le produit vectoriel de 𝐧 un et 𝐧 deux. Cela fait six 𝐢 moins six 𝐣 plus deux 𝐤 ou, sous forme de composantes, six, moins six, deux. Maintenant que nous connaissons ce produit vectoriel, rappelons que nous l’avons calculé parce que nous savons que 𝐧 est orthogonal à 𝐧 un et 𝐧 deux. Et puisque le vecteur résultant du produit vectoriel de 𝐧 un et 𝐧 deux est orthogonal aux deux par définition, on peut dire qu’il est égal au vecteur normal 𝐧.

Nous avons donc à présent un vecteur normal et un point 𝑃 appartenant au plan, ce qui nous permet de faire un grand pas dans la recherche de son équation générale. L’équation de notre plan est donc la suivante : le produit scalaire du vecteur normal 𝐧 et du vecteur position d’un point quelconque du plan de coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 est égal au produit scalaire de ce même vecteur normal et du vecteur position du point connu de coordonnées deux, huit, un appartenant au plan. Et comme nous connaissons les composantes de 𝐧, nous pouvons les substituer dans cette équation. En calculant ensuite ces deux produits scalaires, on trouve six 𝑥 moins six 𝑦 plus deux 𝑧 égale 12 moins 48 plus deux. Ce qui fait moins 34.

En ajoutant alors 34 aux deux membres de notre équation, on obtient six 𝑥 moins six 𝑦 plus deux 𝑧 plus 34 égale zéro. Et en remarquant que tous les termes de gauche sont divisibles par deux, on a trois 𝑥 moins trois 𝑦 plus 𝑧 plus 17 égale zéro. Il s’agit de l’équation générale du plan contenant le point deux, huit, un et perpendiculaire aux deux plans donnés.

Terminons maintenant par résumer quelques points clés. Dans cette leçon, nous avons vu que deux plans sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux 𝐧 un et 𝐧 deux sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Nous avons également appris que deux plans sont perpendiculaires lorsque le produit scalaire de leurs vecteurs normaux 𝐧 un et 𝐧 deux est égal à zéro. Enfin, nous avons vu que si deux plans sont parallèles ou perpendiculaires, alors leurs vecteurs normaux sont respectivement colinéaires ou orthogonaux.

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