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Fiche explicative de la leçon: Équations des plans parallèles et perpendiculaires Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer l’équation d’un plan qui est parallèle ou perpendiculaire à un autre plan sachant son équation ou une autre propriété.

Avant de commencer à étudier les plans parallèles et perpendiculaires, vous devriez déjà être familier avec l’équation d’un plan. Rappelons les différentes formes que peut prendre l’équation d’un plan:

  • Sous forme vectorielle, on a 𝑛𝑟=𝑛𝐴, 𝑛=𝑛,𝑛,𝑛 est un vecteur non nul normal au plan, où 𝑟=(𝑥,𝑦,𝑧) est le vecteur position d’un point quelconque du plan et où 𝐴=(𝑥,𝑦,𝑧) est le vecteur position du point 𝐴 de coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧), qui appartient au plan.
  • Une équation de plan est, sous forme cartésienne, 𝑛𝑥+𝑛𝑦+𝑛𝑧+𝑑=0, 𝑛, 𝑛, et 𝑛 sont les composantes d’un vecteur normal du plan et où 𝑑 est une constante.
  • La forme paramétrique d’un plan est donnée par trois équations:𝑥=𝑥+𝑡𝑢+𝑡𝑣,𝑦=𝑦+𝑡𝑢+𝑡𝑣,𝑧=𝑧+𝑡𝑢+𝑡𝑣, où le point 𝐴 de coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧) appartient au plan, 𝑢=𝑢,𝑢,𝑢 et 𝑣=𝑣,𝑣,𝑣 sont deux vecteurs non nuls et non colinéaires dans le plan et 𝑡 et 𝑡 sont des scalaires. Un vecteur normal du plan est alors donné par 𝑛=𝑢×𝑣.
  • Une autre forme possible pour l’équation cartésienne d’un plan est 𝑥𝑎+𝑦𝑏+𝑧𝑐=1, 𝑎, 𝑏, et 𝑐 sont les coordonnées d’intersection du plan avec, respectivement, les axes des 𝑥, des 𝑦 et des 𝑧, à condition que ces intersections existent tous et 1𝑎, 1𝑏 et 1𝑐 sont les composantes d’un vecteur normal du plan.

À l’exception des équations paramétriques qui définissent un plan à partir d’un point et de deux vecteurs non nuls et non colinéaires, les équations de plan reposent sur le fait que tout vecteur du plan (par exemple 𝐴𝑀, 𝐴 est un point connu du plan et 𝑀 est un point quelconque du plan de coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧)) est orthogonal à un vecteur normal du plan. Par conséquent, nous avons 𝑛𝐴𝑀=0.

Nous voyons ainsi l’importance du vecteur normal du plan lorsqu’on définit un plan (ou plutôt devrait-on dire d’un de ses vecteurs normaux, puisque tout vecteur non nul et parallèle à un vecteur normal au plan est, lui aussi, normal à ce plan). Le vecteur normal est également essentiel lorsqu’on souhaite déterminer si deux plans sont parallèles ou perpendiculaires.

Définition : Plans parallèles et perpendiculaires

Deux plans distincts sont parallèles si leurs vecteur normaux (non nuls) sont colinéaires, ce qui implique qu’ils n’ont pas de points d’intersection. Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Il est utile de remarquer que si deux plans sont confondus, alors leurs vecteurs normaux (non nuls) sont colinéaires;l’équation de l’un des plans et alors un multiple de l’autre.

Cette propriété est illustrée sur les figures ci-dessous où, en 𝑃 on peut voir des plans parallèles (à gauche) et perpendiculaires (à droite) dans l’espace et, en 𝑄, on a une vue du dessus de ces plans qui exhibe leurs vecteurs normaux.

À l’aide de cette propriété, nous allons déterminer les équations de deux plans de sorte qu’ils soient parallèles.

Exemple 1: Déterminer la condition pour que deux plans soient parallèles

Sachant que les plans d’équations 𝐾𝑧+2𝑥+3𝑦=4 et 𝐿𝑦2𝑥2𝑧=3 sont parallèles, déterminez les valeurs de 𝐾 et de 𝐿.

Réponse

D’abord, notons 𝑃 le plan d’équation 𝐾𝑧+2𝑥+3𝑦=4 et 𝑃 le plan d’équation 𝐿𝑦2𝑥2𝑧=3. Les plans 𝑃 et 𝑃 étant parallèles, leurs vecteurs normaux doivent être colinéaires. On désigne le vecteur normal de 𝑃 par 𝑛 et celui de 𝑃 par 𝑛. Nous pouvons déterminer les composantes de ces vecteurs normaux à partir des coefficients des équations cartésiennes des plans. Attention, dans les deux équations, les termes ne sont pas donnés dans l’ordre habituel.

On trouve 𝑛=(2;3,𝐾) et 𝑛=(2,𝐿,2).

Les vecteurs 𝑛 et 𝑛 sont colinéaires s’il existe un scalaire non nul 𝑚 tel que 𝑛=𝑚𝑛. Cette équation vectorielle implique trois équations scalaires grâce aux égalités entre les composantes:

2=2𝑚,3=𝑚𝐿,𝐾=2𝑚.(1)(2)(3)

En résolvant l’équation (1), on trouve 𝑚=1, d’où il résulte que 𝐿=3 et 𝐾=2.

Réponse

Nous trouvons que 𝐾=2 et 𝐿=3.

Nous allons maintenant déterminer l’équation d’un plan passant par un point donné et parallèle à un autre plan.

Exemple 2: Déterminer l’équation cartésienne d’un plan parallèle à un autre plan et passant par un point donné

Déterminez l’équation du plan passant par le point (𝑎;𝑏;𝑐) et parallèle au plan d’équation 𝑥+𝑦+𝑧=0.

  1. 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=1
  2. 𝑥+𝑦+𝑧=𝑎+𝑏+𝑐
  3. 𝑥+𝑦+𝑧+𝑎+𝑏+𝑐=0
  4. 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=𝑎+𝑏+𝑐
  5. 𝑥𝑎=𝑦𝑏=𝑧𝑐

Réponse

On essaye de déterminer l’équation d’un plan dont on sait qu’il passe par un point donné et qu’il est parallèle à un plan dont on connait l’équation. Si on connait un point du plan ainsi que son vecteur normal, alors on peut écrire son équation cartésienne. On peut déterminer son vecteur normal en utilisant le fait que des plans parallèles ont des vecteurs normaux colinéaires.

Le plan d’équation 𝑥+𝑦+𝑧=0 a un vecteur normal de composantes (1;1;1). Tout vecteur non nul colinéaire à ce vecteur est un vecteur normal au plan dont nous voulons déterminer l’équation. Le vecteur colinéaire le plus simple à choisir est ce vecteur lui-même, ce qui nous donne l’équation de plan 𝑥+𝑦+𝑧+𝑑=0,𝑑 est une constante à déterminer. Pour cela, on utilise les coordonnées (𝑎;𝑏;𝑐) du point qui appartient au plan. Les coordonnées de ce point doivent vérifier l’équation du plan et on a donc 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑=0𝑑=(𝑎+𝑏+𝑐). Ainsi, on a pour équation finale, 𝑥+𝑦+𝑧(𝑎+𝑏+𝑐)=0, ou, en la réarrangeant, 𝑥+𝑦+𝑧=𝑎+𝑏+𝑐.

Réponse

On a montré que le plan a pour équation cartésienne 𝑥+𝑦+𝑧(𝑎+𝑏+𝑐)=0, qui peut s’écrire 𝑥+𝑦+𝑧=𝑎+𝑏+𝑐.

Étudions à présent le cas de plans perpendiculaires.

Exemple 3: Déterminer la condition pour que deux plans soient perpendiculaires

Sachant que les plans d’équations 3𝑥3𝑦3𝑧=1 et 𝑎𝑥2𝑦𝑧=4 sont perpendiculaires entre eux, déterminez la valeur de 𝑎.

Réponse

Si deux plans sont perpendiculaires, alors leurs vecteurs normaux doivent être orthogonaux. Il en résulte que le produit scalaire des deux vecteurs normaux est nul. Déterminons les vecteurs normaux de ces deux plans à partir de leurs équations cartésiennes. Pour le premier, on trouve (3;3;3) et, pour le second, on trouve (𝑎,2;1).

Le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul, ainsi on a (3;3;3)(𝑎,2;1)=03𝑎+(3)×(2)+(3)×(1)=03𝑎+9=0𝑎=3.

Réponse

On a montré que 𝑎 est égal à 3.

S’il est vrai qu’un plan est entièrement défini dès lors qu’on sait qu’il est parallèle à un autre plan et qu’il passe par un point donné, il y a, au contraire, un nombre infini de plans perpendiculaires à un plan donné, comme cela est illustré sur la figure ci-dessous, où tous les plans rouges sont perpendiculaires à 𝑃 et chacun d’entre eux représente une famille de plans parallèles.

Propriété : Famille de plans perpendiculaires à un plan donné

Les vecteurs normaux de tous les plans perpendiculaires à un plan 𝑃 sont parallèles à 𝑃 et le vecteur normal de 𝑃 est parallèle à tous les plans perpendiculaires à 𝑃.

Ainsi, pour pouvoir définir de façon unique un plan par sa propriété de perpendicularité, le plan doit vérifier une des assertions suivantes:

  • le plan est perpendiculaire à deux plans non parallèles et passe par un point donné,
  • le plan est perpendiculaire à un plan 𝑃 et passe par deux points distincts 𝐴 et 𝐵 tels que 𝐴𝐵 et le vecteur normal de 𝑃 ne sont pas colinéaires.

Étudions ces deux cas au travers des exemples suivants.

Exemple 4: Déterminer l’équation d’un plan perpendiculaire à deux plans et passant par un point donné

Déterminez l’équation cartésienne du plan qui passe par le point (2;8;1) et qui est perpendiculaire aux deux plans d’équations 6𝑥4𝑦+6𝑧=5 et 5𝑥+3𝑦6𝑧=3.

Réponse

Le plan que nous recherchons est perpendiculaire aux deux plans d’équations 6𝑥4𝑦+6𝑧=5 et 5𝑥+3𝑦6𝑧=3. Leurs vecteurs normaux respectifs sont (6;4;6) et (5;3;6). Le plan recherché étant perpendiculaire aux deux plans non parallèles, son vecteur normal 𝑛 doit être orthogonal à chacun des deux vecteurs normaux non colinéaires. On peut déterminer un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de deux façons différentes.

  1. En remarquant que le produit scalaire entre 𝑛 et chacun de ces deux vecteurs doit être nul. En posant 𝑛=𝑛,𝑛,𝑛 le vecteur normal du plan, on a 6𝑛4𝑛+6𝑛=05𝑛+3𝑛6𝑛=0. Pour pouvoir résoudre ce système de deux équations à trois inconnues, on doit annuler un des termes. L’addition de ces deux équations annule le terme en 𝑛 et on obtient 𝑛𝑛=0,𝑛=𝑛.i.e. Nous avons une expression de 𝑛 en fonction de 𝑛. En substituant 𝑛 par 𝑛 dans la deuxième équation puis en la manipulant, on obtient 𝑛 en fonction de 𝑛:𝑛=𝑛3. Les composantes du vecteur normal peuvent maintenant être exprimées en fonction de 𝑛:𝑛=𝑛,𝑛,𝑛3. Comme 𝑛 peut prendre n’importe quelle valeur réelle non nulle, tout vecteur normal est colinéaire au vecteur 1;1,13. En multipliant ce vecteur par le scalaire 3, on trouve 𝑛=(3;3;1).
  2. On calcule le produit vectoriel de ces deux vecteurs, ce qui nous donne un vecteur orthogonal à ceux-ci:𝑛=(6,4,6)×(5,3,6)=||||𝑖𝑗𝑘646536||||=((4)(6)3×6)𝑖((6)(6)5×6)𝑗+((6)×35×(4))𝑘=6𝑖6𝑗+2𝑘=(6,6,2). On peut simplifier ce vecteur normal en divisant ces composantes par 2 et on trouve (3;3;1), qui est bien le même vecteur que celui obtenu par la méthode précédente.

Puisque l’on connait un vecteur normal 𝑛=(3;3;1), on peut maintenant écrire une équation cartésienne du plan 𝑛𝑥+𝑛𝑦+𝑛𝑧+𝑑=0, ce qui nous donne 3𝑥3𝑦+𝑧+𝑑=0.

On sait par ailleurs que le plan passe par le point (2;8;1). Ainsi, les coordonnées (2;8;1) doivent vérifier l’équation du plan. En les substituant, on obtient 3×23×8+1+𝑑=0𝑑=17.

Réponse

Le plan passant par le point (2;8;1) et perpendiculaire aux deux plans d’équations 6𝑥4𝑦+6𝑧=5 et 5𝑥+3𝑦6𝑧=3 a pour équation 3𝑥3𝑦+𝑧+17=0.

Faisons un résumé de la méthode employée pour traiter l’exemple précédent.

Comment déterminer l’équation d’un plan perpendiculaire à deux autres plans

Si un plan est perpendiculaire à deux autres plans non parallèles de vecteurs normaux 𝑛 et 𝑛, alors on peut déterminer son vecteur normal 𝑛 de deux façons différentes:

  1. résoudre (en fonction de l’une de ses composantes) le système d’équations obtenu à partir de 𝑛𝑛=0, et 𝑛𝑛=0, puis, en divisant les composantes de 𝑛 qui sont exprimées en fonction d’une seule composante par celle-ci (qui était 𝑛 dans l’exemple précédent), on trouve un vecteur colinéaire à 𝑛,
  2. déterminer le produit vectoriel de 𝑛 et de 𝑛:𝑛=𝑛×𝑛.

Enfin, on détermine complètement l’équation du plan grâce aux coordonnées de l’un de ses points.

Étudions à présent comment déterminer l’équation d’un plan passant par deux points et qui est perpendiculaire à un autre plan dans l’exemple suivant.

Exemple 5: Déterminer l’équation d’un plan perpendiculaire à un autre plan et passant par deux points donnés

Déterminez l’équation cartésienne du plan qui passe par les deux points 𝐴(2;5;4) et 𝐵(3;3;5) et qui est perpendiculaire au plan d’équation 2𝑥𝑦+2𝑧2=0.

Réponse

Pour déterminer l’équation cartésienne d’un plan, nous devons connaitre un vecteur normal et un point de ce plan. Toutefois, l’énoncé ne nous donne pas de vecteur normal au plan que nous cherchons (appelons ce plan 𝑃), mais seulement l’équation d’un plan qui est perpendiculaire à 𝑃;notons ce plan 𝑄. 𝑄2𝑥𝑦+2𝑧=0.

Le vecteur normal de 𝑄, noté 𝑛, est parallèle à 𝑃. Comme nous le verrons plus loin, il y a deux façons légèrement différentes de déterminer l’équation générale du plan 𝑃.

Calculons d’abord le vecteur normal du plan 𝑄2𝑥𝑦+2𝑧2=0;il s’agit du vecteur 𝑛 de coordonnées (2;1;2). Comme le plan 𝑃 est perpendiculaire au plan 𝑄, le vecteur 𝑛 est parallèle au plan 𝑃. D’après les propriétés des vecteurs dans l’espace, le plan 𝑃 contient un vecteur de mêmes coordonnées que 𝑛.

Nous avons à présent besoin de deux vecteurs non colinéaires du plan 𝑃, afin de trouver son vecteur normal 𝑛, en faisant leur produit vectoriel.

On sait par ailleurs que le plan recherché passe par les points 𝐴(2;5;4) et 𝐵(3;3;5). Le vecteur 𝐴𝐵=(1;8;1) est donc un vecteur du plan.

La première façon de déterminer l’équation de 𝑃 consiste à remarquer que, puisque 𝐴𝐵 et 𝑛 sont non colinéaires et sont inclus dans le plan 𝑃, le vecteur normal de 𝑃, noté 𝑛, est donné par le produit vectoriel de 𝐴𝐵 et de 𝑛:𝑛=𝐴𝐵×𝑛=||||𝑖𝑗𝑘181212||||=(15,0,15).

En prenant 115𝑛=(1;0;1) comme vecteur normal, on obtient comme équation cartésienne de plan 𝑥+𝑧+𝑑=0,𝑑 est une constante à déterminer.

Les points 𝐴(2;5;4) et 𝐵(3;3;5) étant dans le plan, leurs coordonnées vérifient l’équation. En substituant les coordonnées de l’un des points, par exemple, celles du point 𝐵 dans l’équation, on peut déterminer la constante 𝑑 (on trouverait la même valeur en utilisant les coordonnées de 𝐴, bien sûr):3+5+𝑑=0𝑑=2.

Le plan recherché a donc pour équation 𝑥+𝑧2=0.

Une autre manière consiste à remarquer que, pour tout point 𝑀(𝑥;𝑦;𝑧) dans le plan, le produit scalaire du vecteur 𝐴𝑀 (ou 𝐵𝑀) avec le vecteur normal du plan (donné par 𝐴𝐵×𝑛 - voir ci-dessus) est nul. Si vous êtes familiers avec le produit mixte de 3 vecteurs, cette méthode revient à dire que les vecteurs 𝐴𝑀 (ou 𝐵𝑀), 𝐴𝐵 et 𝑛 sont coplanaires, ce qui signifie que leur produit mixte est nul. Nous avons 𝐴𝑀𝐴𝐵×𝑛=0||||𝑥2𝑦5𝑧4181212||||=0(𝑥2)(16+1)(𝑦5)(22)+(𝑧4)(1+16)=015𝑥+15𝑧30=0.

En divisant les deux côtés de cette équation par 15, on obtient 𝑥+𝑧2=0.

Réponse

Le plan passant par les points 𝐴(2;5;4) et 𝐵(3;3;5) et qui est perpendiculaire au plan d’équation 2𝑥𝑦+2𝑧2=0 a pour équation cartésienne 𝑥+𝑧2=0.

Résumons les deux méthodes utilisées dans ce dernier exemple.

Comment trouver l’équation cartésienne d’un plan perpendiculaire à un autre et passant par deux points

Si on sait qu’un plan est perpendiculaire à un autre plan de vecteur normal connu et qu’il passe par deux points distincts 𝐴 et 𝐵 tels que 𝐴𝐵 et 𝑛 ne sont pas colinéaires, alors on peut déterminer l’équation d’un tel plan de deux façons différentes.

La 1ère méthode:un plan perpendiculaire à un autre plan de vecteur normal 𝑛 et qui passe par deux points 𝐴 et 𝐵 a un vecteur normal donné par 𝑛=𝐴𝐵×𝑛.

Le vecteur 𝑛 est un vecteur non nul puisque 𝐴𝐵 et 𝑛 ne sont pas colinéaires.

En utilisant les composantes de 𝑛 et les coordonnées de 𝐴 ou de 𝐵, on peut alors déterminer l’équation du plan.

La 2ème méthode:pour tout point 𝑀(𝑥;𝑦;𝑧) dans un plan perpendiculaire à un autre plan de vecteur normal 𝑛 et qui passe par deux points 𝐴 et 𝐵 tels que 𝐴𝐵 et 𝑛 ne sont pas colinéaires, les trois vecteurs 𝐴𝑀 (ou 𝐵𝑀), 𝐴𝐵 et 𝑛 sont coplanaires. Ainsi, on a 𝐴𝑀𝐴𝐵×𝑛=0𝐵𝑀𝐴𝐵×𝑛=0.et

Écrire une de ces équations qui impliquent un produit mixte donne directement une équation cartésienne du plan.

On remarque que les équations paramétriques d’un plan perpendiculaire à un autre plan de vecteur normal 𝑛 et qui passe par deux points 𝐴 et 𝐵 tels que 𝐴𝐵 et 𝑛 ne sont pas colinéaires peuvent être facilement déterminées en utilisant les deux vecteurs 𝐴𝐵 et 𝑛 du plan.

Points clés

  • Deux plans 𝑃 et 𝑄 sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, ce qui signifie que 𝑛=𝑘𝑛, 𝑛 et 𝑛 sont les vecteurs normaux des plans 𝑃 et 𝑄 respectivement et où 𝑘 est un nombre réel non nul. De plus, on vérifiera que les plans 𝑃 et 𝑄 sont distincts, c’est-à-dire qu’ils n’ont pas de points d’intersection. Si deux plans de vecteurs normaux colinéaires s’intersectent, alors ils sont confondus.
  • Deux plans perpendiculaires 𝑃 et 𝑄 ont des vecteurs normaux orthogonaux, ce qui signifie que le produit scalaire de leurs vecteurs normaux respectifs 𝑛 et 𝑛 est nul:𝑛𝑛=0.
  • Les vecteurs normaux de tous les plans perpendiculaires à un plan 𝑃 sont parallèles à 𝑃.
  • Le vecteur normal d’un plan 𝑃 est parallèle à tous les plans perpendiculaires à 𝑃.

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