Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer l’équation d’un plan qui est parallèle ou perpendiculaire à un autre plan sachant son équation ou une autre propriété.
Avant de commencer à étudier les plans parallèles et perpendiculaires, vous devriez déjà être familier avec l’équation d’un plan. Rappelons les différentes formes que peut prendre l’équation d’un plan :
- Sous forme vectorielle, on a , où est un vecteur non nul normal au plan, où est le vecteur position d’un point quelconque du plan et où est le vecteur position du point de coordonnées , qui appartient au plan.
- Une équation de plan est, sous forme cartésienne, , où , , et sont les composantes d’un vecteur normal du plan et où est une constante.
- La forme paramétrique d’un plan est donnée par trois équations : où le point de coordonnées appartient au plan, et sont deux vecteurs non nuls et non colinéaires dans le plan et et sont des scalaires. Un vecteur normal du plan est alors donné par .
- Une autre forme possible pour l’équation cartésienne d’un plan est , où , , et sont les coordonnées d’intersection du plan avec, respectivement, les axes des , des et des , à condition que ces intersections existent tous et , et sont les composantes d’un vecteur normal du plan.
À l’exception des équations paramétriques qui définissent un plan à partir d’un point et de deux vecteurs non nuls et non colinéaires, les équations de plan reposent sur le fait que tout vecteur du plan (par exemple , où est un point connu du plan et est un point quelconque du plan de coordonnées ) est orthogonal à un vecteur normal du plan. Par conséquent, nous avons .
Nous voyons ainsi l’importance du vecteur normal du plan lorsqu’on définit un plan (ou plutôt devrait-on dire d’un de ses vecteurs normaux, puisque tout vecteur non nul et parallèle à un vecteur normal au plan est, lui aussi, normal à ce plan). Le vecteur normal est également essentiel lorsqu’on souhaite déterminer si deux plans sont parallèles ou perpendiculaires.
Définition : Plans parallèles et perpendiculaires
Deux plans distincts sont parallèles si leurs vecteur normaux (non nuls) sont colinéaires, ce qui implique qu’ils n’ont pas de points d’intersection. Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Il est utile de remarquer que si deux plans sont confondus, alors leurs vecteurs normaux (non nuls) sont colinéaires ; l’équation de l’un des plans et alors un multiple de l’autre.
Cette propriété est illustrée sur les figures ci-dessous où, en on peut voir des plans parallèles (à gauche) et perpendiculaires (à droite) dans l’espace et, en , on a une vue du dessus de ces plans qui exhibe leurs vecteurs normaux.
À l’aide de cette propriété, nous allons déterminer les équations de deux plans de sorte qu’ils soient parallèles.
Exemple 1: Déterminer la condition pour que deux plans soient parallèles
Sachant que les plans d’équations et sont parallèles, déterminez les valeurs de et de .
Réponse
D’abord, notons le plan d’équation et le plan d’équation . Les plans et étant parallèles, leurs vecteurs normaux doivent être colinéaires. On désigne le vecteur normal de par et celui de par . Nous pouvons déterminer les composantes de ces vecteurs normaux à partir des coefficients des équations cartésiennes des plans. Attention, dans les deux équations, les termes ne sont pas donnés dans l’ordre habituel.
On trouve et .
Les vecteurs et sont colinéaires s’il existe un scalaire non nul tel que Cette équation vectorielle implique trois équations scalaires grâce aux égalités entre les composantes :
En résolvant l’équation (1), on trouve , d’où il résulte que et .
Réponse
Nous trouvons que et .
Nous allons maintenant déterminer l’équation d’un plan passant par un point donné et parallèle à un autre plan.
Exemple 2: Déterminer l’équation cartésienne d’un plan parallèle à un autre plan et passant par un point donné
Déterminez l’équation du plan passant par le point et parallèle au plan d’équation .
Réponse
On essaye de déterminer l’équation d’un plan dont on sait qu’il passe par un point donné et qu’il est parallèle à un plan dont on connait l’équation. Si on connait un point du plan ainsi que son vecteur normal, alors on peut écrire son équation cartésienne. On peut déterminer son vecteur normal en utilisant le fait que des plans parallèles ont des vecteurs normaux colinéaires.
Le plan d’équation a un vecteur normal de composantes . Tout vecteur non nul colinéaire à ce vecteur est un vecteur normal au plan dont nous voulons déterminer l’équation. Le vecteur colinéaire le plus simple à choisir est ce vecteur lui-même, ce qui nous donne l’équation de plan où est une constante à déterminer. Pour cela, on utilise les coordonnées du point qui appartient au plan. Les coordonnées de ce point doivent vérifier l’équation du plan et on a donc Ainsi, on a pour équation finale, ou, en la réarrangeant,
Réponse
On a montré que le plan a pour équation cartésienne , qui peut s’écrire .
Étudions à présent le cas de plans perpendiculaires.
Exemple 3: Déterminer la condition pour que deux plans soient perpendiculaires
Sachant que les plans d’équations et sont perpendiculaires entre eux, déterminez la valeur de .
Réponse
Si deux plans sont perpendiculaires, alors leurs vecteurs normaux doivent être orthogonaux. Il en résulte que le produit scalaire des deux vecteurs normaux est nul. Déterminons les vecteurs normaux de ces deux plans à partir de leurs équations cartésiennes. Pour le premier, on trouve et, pour le second, on trouve .
Le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul, ainsi on a
Réponse
On a montré que est égal à .
S’il est vrai qu’un plan est entièrement défini dès lors qu’on sait qu’il est parallèle à un autre plan et qu’il passe par un point donné, il y a, au contraire, un nombre infini de plans perpendiculaires à un plan donné, comme cela est illustré sur la figure ci-dessous, où tous les plans rouges sont perpendiculaires à et chacun d’entre eux représente une famille de plans parallèles.
Propriété : Famille de plans perpendiculaires à un plan donné
Les vecteurs normaux de tous les plans perpendiculaires à un plan sont parallèles à et le vecteur normal de est parallèle à tous les plans perpendiculaires à .
Ainsi, pour pouvoir définir de façon unique un plan par sa propriété de perpendicularité, le plan doit vérifier une des assertions suivantes :
- le plan est perpendiculaire à deux plans non parallèles et passe par un point donné,
- le plan est perpendiculaire à un plan et passe par deux points distincts et tels que et le vecteur normal de ne sont pas colinéaires.
Étudions ces deux cas au travers des exemples suivants.
Exemple 4: Déterminer l’équation d’un plan perpendiculaire à deux plans et passant par un point donné
Déterminez l’équation cartésienne du plan qui passe par le point et qui est perpendiculaire aux deux plans d’équations et .
Réponse
Le plan que nous recherchons est perpendiculaire aux deux plans d’équations et . Leurs vecteurs normaux respectifs sont et . Le plan recherché étant perpendiculaire aux deux plans non parallèles, son vecteur normal doit être orthogonal à chacun des deux vecteurs normaux non colinéaires. On peut déterminer un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de deux façons différentes.
- En remarquant que le produit scalaire entre et chacun de ces deux vecteurs doit être nul. En posant le vecteur normal du plan, on a Pour pouvoir résoudre ce système de deux équations à trois inconnues, on doit annuler un des termes. L’addition de ces deux équations annule le terme en et on obtient Nous avons une expression de en fonction de . En substituant par dans la deuxième équation puis en la manipulant, on obtient en fonction de : Les composantes du vecteur normal peuvent maintenant être exprimées en fonction de : Comme peut prendre n’importe quelle valeur réelle non nulle, tout vecteur normal est colinéaire au vecteur . En multipliant ce vecteur par le scalaire 3, on trouve .
- On calcule le produit vectoriel de ces deux vecteurs, ce qui nous donne un vecteur orthogonal à ceux-ci : On peut simplifier ce vecteur normal en divisant ces composantes par 2 et on trouve , qui est bien le même vecteur que celui obtenu par la méthode précédente.
Puisque l’on connait un vecteur normal , on peut maintenant écrire une équation cartésienne du plan , ce qui nous donne
On sait par ailleurs que le plan passe par le point . Ainsi, les coordonnées doivent vérifier l’équation du plan. En les substituant, on obtient
Réponse
Le plan passant par le point et perpendiculaire aux deux plans d’équations et a pour équation
Faisons un résumé de la méthode employée pour traiter l’exemple précédent.
Comment déterminer l’équation d’un plan perpendiculaire à deux autres plans
Si un plan est perpendiculaire à deux autres plans non parallèles de vecteurs normaux et , alors on peut déterminer son vecteur normal de deux façons différentes :
- résoudre (en fonction de l’une de ses composantes) le système d’équations obtenu à partir de et puis, en divisant les composantes de qui sont exprimées en fonction d’une seule composante par celle-ci (qui était dans l’exemple précédent), on trouve un vecteur colinéaire à ,
- déterminer le produit vectoriel de et de :
Enfin, on détermine complètement l’équation du plan grâce aux coordonnées de l’un de ses points.
Étudions à présent comment déterminer l’équation d’un plan passant par deux points et qui est perpendiculaire à un autre plan dans l’exemple suivant.
Exemple 5: Déterminer l’équation d’un plan perpendiculaire à un autre plan et passant par deux points donnés
Déterminez l’équation cartésienne du plan qui passe par les deux points et et qui est perpendiculaire au plan d’équation .
Réponse
Pour déterminer l’équation cartésienne d’un plan, nous devons connaitre un vecteur normal et un point de ce plan. Toutefois, l’énoncé ne nous donne pas de vecteur normal au plan que nous cherchons (appelons ce plan ), mais seulement l’équation d’un plan qui est perpendiculaire à ; notons ce plan .
Le vecteur normal de , noté , est parallèle à . Comme nous le verrons plus loin, il y a deux façons légèrement différentes de déterminer l’équation générale du plan .
Calculons d’abord le vecteur normal du plan ; il s’agit du vecteur de coordonnées . Comme le plan est perpendiculaire au plan , le vecteur est parallèle au plan . D’après les propriétés des vecteurs dans l’espace, le plan contient un vecteur de mêmes coordonnées que .
Nous avons à présent besoin de deux vecteurs non colinéaires du plan , afin de trouver son vecteur normal , en faisant leur produit vectoriel.
On sait par ailleurs que le plan recherché passe par les points et . Le vecteur est donc un vecteur du plan.
La première façon de déterminer l’équation de consiste à remarquer que, puisque et sont non colinéaires et sont inclus dans le plan , le vecteur normal de , noté , est donné par le produit vectoriel de et de :
En prenant comme vecteur normal, on obtient comme équation cartésienne de plan où est une constante à déterminer.
Les points et étant dans le plan, leurs coordonnées vérifient l’équation. En substituant les coordonnées de l’un des points, par exemple, celles du point dans l’équation, on peut déterminer la constante (on trouverait la même valeur en utilisant les coordonnées de , bien sûr) :
Le plan recherché a donc pour équation .
Une autre manière consiste à remarquer que, pour tout point dans le plan, le produit scalaire du vecteur (ou ) avec le vecteur normal du plan (donné par - voir ci-dessus) est nul. Si vous êtes familiers avec le produit mixte de 3 vecteurs, cette méthode revient à dire que les vecteurs (ou ), et sont coplanaires, ce qui signifie que leur produit mixte est nul. Nous avons
En divisant les deux côtés de cette équation par 15, on obtient .
Réponse
Le plan passant par les points et et qui est perpendiculaire au plan d’équation a pour équation cartésienne .
Résumons les deux méthodes utilisées dans ce dernier exemple.
Comment trouver l’équation cartésienne d’un plan perpendiculaire à un autre et passant par deux points
Si on sait qu’un plan est perpendiculaire à un autre plan de vecteur normal connu et qu’il passe par deux points distincts et tels que et ne sont pas colinéaires, alors on peut déterminer l’équation d’un tel plan de deux façons différentes.
La 1ère méthode : un plan perpendiculaire à un autre plan de vecteur normal et qui passe par deux points et a un vecteur normal donné par
Le vecteur est un vecteur non nul puisque et ne sont pas colinéaires.
En utilisant les composantes de et les coordonnées de ou de , on peut alors déterminer l’équation du plan.
La 2ème méthode : pour tout point dans un plan perpendiculaire à un autre plan de vecteur normal et qui passe par deux points et tels que et ne sont pas colinéaires, les trois vecteurs (ou ), et sont coplanaires. Ainsi, on a
Écrire une de ces équations qui impliquent un produit mixte donne directement une équation cartésienne du plan.
On remarque que les équations paramétriques d’un plan perpendiculaire à un autre plan de vecteur normal et qui passe par deux points et tels que et ne sont pas colinéaires peuvent être facilement déterminées en utilisant les deux vecteurs et du plan.
Points clés
- Deux plans et sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, ce qui signifie que , où et sont les vecteurs normaux des plans et respectivement et où est un nombre réel non nul. De plus, on vérifiera que les plans et sont distincts, c’est-à-dire qu’ils n’ont pas de points d’intersection. Si deux plans de vecteurs normaux colinéaires s’intersectent, alors ils sont confondus.
- Deux plans perpendiculaires et ont des vecteurs normaux orthogonaux, ce qui signifie que le produit scalaire de leurs vecteurs normaux respectifs et est nul :
- Les vecteurs normaux de tous les plans perpendiculaires à un plan sont parallèles à .
- Le vecteur normal d’un plan est parallèle à tous les plans perpendiculaires à .
