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Vidéo de question : Exprimer un vecteur en termes de vecteurs unitaires de base Mathématiques

Sachant que 𝐴 = (0 ; 0 ; 5), exprimez le vecteur 𝚨𝐎 en fonction des vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤.

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Transcription de vidéo

Sachant que le point 𝐴 a pour coordonnées zéro, zéro, cinq, exprimez le vecteur 𝚨𝐎 en fonction des vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤.

Commençons par considérer les coordonnées tridimensionnelles comme indiqué. On nous dit que le point 𝐴 a les coordonnées zéro, zéro, cinq. Cela signifie que sa coordonnée 𝑥 est zéro, sa coordonnée 𝑦 est zéro et sa coordonnée 𝑧 est cinq. Le point se trouve donc sur l’axe des 𝑧. Les vecteurs unitaires 𝐢 , 𝐣 et 𝐤 sont les vecteurs de norme un dans les directions positive 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

Dans cette question, nous devons exprimer le vecteur du point 𝐴 au point 𝑂, où 𝑂 est l’origine de coordonnées zéro, zéro, zéro. Pour voyager du point 𝐴 au point 𝑂, nous parcourons zéro unité dans la direction 𝑥, zéro unité dans la direction 𝑦 et moins cinq unités dans la direction 𝑧. Le vecteur 𝚨𝐎 est donc égal à zéro 𝐢 plus zéro 𝐣 plus moins cinq 𝐤. Cela se simplifie en moins cinq 𝐤.

Une autre méthode consisterait à trouver le vecteur 𝐎𝚨 en premier. Tout vecteur commençant à l’origine aura des composantes égales aux coordonnées du point final. Comme le point 𝐴 a les coordonnées zéro, zéro, cinq, le vecteur 𝐎𝚨 sera égal à zéro 𝐢 plus zéro 𝐣 plus cinq 𝐤. Cela se simplifie en cinq 𝐤. Nous savons que l’inversion de la direction d’un vecteur ne modifie pas sa norme. Le vecteur 𝚨𝐎 est égal à l’opposé du vecteur 𝐎𝚨. Cela confirme, comme nous l’avons déjà montré, que le vecteur 𝚨𝐎 est égal à moins cinq 𝐤.

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