Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les coordonnées d’un vecteur en fonction des vecteurs unitaires.
Nous savons qu’il y a deux composantes dans un vecteur en deux dimensions, qui sont la composante suivant et la composante suivant , étant la composante horizontale et la composante verticale. Étant données les composantes d’un vecteur du plan, nous pouvons donner ses coordonnées. Par exemple, si les composantes en et d’un vecteur du plan sont et , respectivement, le vecteur a pour coordonnées . On peut représenter ce vecteur dans le plan par une flèche partant de l’origine et se terminant par le point , comme indiqué ci-dessous.
Une autre manière d’exprimer un vecteur du plan consiste à utiliser des vecteurs spéciaux appelés vecteurs unitaires.
Définition : Vecteurs unitaires
En deux dimensions, les vecteurs unitaires, notés et , sont les vecteurs unitaires horizontaux et verticaux, avec des coordonnées positives. Les coordonnées des vecteurs unitaires sont :
On note que les vecteurs unitaires et ont seulement une composante non nulle et que la composante non nulle pour les deux vecteurs est égale à 1. À partir des coordonnées de ci-dessus, nous pouvons le représenter par une flèche commençant par l’origine et se terminant par le point , qui se situe du côté positif de l’axe des .
De même, à partir des coordonnées de , on peut le représenter dans le plan comme suit.
En d’autres termes, et se situent parallèlement aux axes des et des , respectivement, pointant vers les directions positives de ces axes.
Dans notre premier exemple, nous examinerons comment exprimer un vecteur vertical en fonction des vecteurs unitaires.
Exemple 1: Exprimer un vecteur du plan en fonction des vecteurs unitaires
Soit , exprimez le vecteur en fonction des vecteurs unitaires et .
Réponse
Dans cet exemple, on nous donne les coordonnées d’un vecteur que nous devons exprimer en fonction des vecteurs unitaires et . Rappelons que nous pouvons représenter un vecteur par une flèche qui part de l’origine et se termine au point . Comme a pour coordonnées , on le représente par une flèche allant de l’origine au point .
Voyons comment exprimer cela en fonction de et . On rappelle les coordonnées de et :
Ils sont représentés dans le plan comme suit.
En particulier, on peut voir que est un vecteur horizontal, tandis que est un vecteur vertical. Sachant que notre vecteur est purement vertical, il suffit d’utiliser pour exprimer ce vecteur. Voyons d’abord comment y arriver sur la figure.
En juxtaposant deux copies de les unes à la suite des autres, nous pouvons former . On écrit
Dans l’exemple précédent, nous avons exprimé un vecteur vertical du plan en fonction du vecteur unitaire . Un raisonnement similaire nous amène à exprimer tout vecteur horizontal en fonction de . Voyons maintenant comment exprimer un vecteur qui n’est ni vertical ni horizontal en fonction des vecteurs unitaires.
Exemple 2: Exprimer un vecteur du plan en fonction des vecteurs unitaires
La figure donnée montre un vecteur du plan . Exprimez ce vecteur en fonction des vecteurs unitaires et .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons exprimer un vecteur donné en fonction des vecteurs unitaires et . Rappelons les représentations de ces vecteurs dans le plan.
Nous pouvons voir que est un vecteur horizontal, tandis que est un vecteur vertical. Ces deux vecteurs ont une longueur de 1 (d’où le nom de vecteurs unitaires) et sont orientés vers les directions positives des axes et , respectivement.
Pour exprimer en fonction de et de , nous devons regarder les composantes suivant et du vecteur de manière indépendante. Commençons par sa composante suivant qui est positive. D’après la figure, nous pouvons voir que la composante suivant de est égale à 2. En utilisant le vecteur unitaire vertical , on peut aboutir à la composante suivant comme cela.
Ainsi, nous pouvons obtenir la composante suivant de en juxtaposant deux copies de , ce qui équivaut à .
Ensuite, passons à la composante suivant , qui est . Comme cette composante est négative, nous devons placer un signe négatif devant pour inverser le sens de .
On obtient que la composante suivant de est . Additionner les deux composantes de en écrivant, par convention, la composante en en premier, nous donne
Dans l’exemple précédent, nous avons exprimé un vecteur donné du plan en fonction des vecteurs unitaires et . Nous pouvons appliquer cette méthode à tout vecteur avec des composantes entières comme indiqué ci-dessous.
Cela conduit à une formule générale qui peut être utilisée pour écrire tout vecteur dont on connait les coordonnées comme une combinaison linéaire des vecteurs unitaires. Alors que nous avons seulement démontré cette formule pour les vecteurs avec des composantes entières, cette formule vaut pour tout vecteur du plan. Nous admettrons cela pour le reste de cette fiche explicative.
Formule : Vecteurs comme combinaison linéaire des vecteurs unitaires
Un vecteur de coordonnées, , peut s’écrire comme la combinaison linéaire des vecteurs unitaires comme suit :
Dans notre prochain exemple, nous appliquerons cette formule pour exprimer un vecteur du plan en fonction des vecteurs unitaires.
Exemple 3: Exprimer un vecteur en fonction des vecteurs unitaires
Exprimez le vecteur en fonction des vecteurs unitaires et .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons exprimer un vecteur, dont on connait les coordonnées, en fonction des vecteurs unitaires et . Rappelons qu’un vecteur du plan, , peut s’écrire comme la combinaison linéaire des vecteurs unitaires comme suit :
Comme notre vecteur est , on peut appliquer la formule avec et pour obtenir
Dans l’exemple précédent, nous avons exprimé un vecteur du plan dont on connaissait les coordonnées en fonction des vecteurs unitaires. Voyons maintenant comment y arriver lorsqu’un vecteur est donné en spécifiant ses extrémités dans le plan.
Une manière d’écrire ce vecteur en fonction des vecteurs unitaires est de trouver d’abord les coordonnées de ce vecteur, puis de faire la conversion. Mais nous n’avons pas vraiment besoin des coordonnées pour cela. Nous pouvons y arriver, plus rapidement, en identifiant les composantes horizontales et verticales de ce vecteur ; ainsi, nous pouvons l’écrire directement comme la somme de vecteurs horizontaux et verticaux comme indiqué ci-dessous.
Dans l’exemple suivant, nous exprimerons un vecteur du plan représenté graphiquement en fonction des vecteurs unitaires.
Exemple 4: Exprimer un vecteur en fonction des vecteurs unitaires
La figure ci-dessous représente un vecteur du plan. Exprimez ce vecteur en fonction des vecteurs unitaires et .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons exprimer un vecteur représenté graphiquement dans le plan en fonction des vecteurs unitaires et . Rappelons que ces vecteurs unitaires sont :
En d’autres termes, il s’agit respectivement de vecteurs unitaires horizontaux et verticaux pointant vers les directions positives des axes correspondants. Par conséquent, nous devons exprimer le vecteur donné comme une somme de vecteurs horizontaux et verticaux. Identifions graphiquement les vecteurs horizontaux et verticaux dont la somme est égale au vecteur donné.
Le vecteur horizontal ci-dessus couvre deux unités de la grille et pointe vers la direction positive de l’axe des ; par conséquent, sa composante horizontale est égale à . Ce vecteur peut s’écrire
Sur la figure, le vecteur vertical couvre 10 unités de la grille et pointe vers la direction positive de l’axe des , ce qui nous indique que sa composante verticale est égale à . Ce qui nous donne :
Nous savons que l’addition de ces deux vecteurs produira le vecteur donné. Par conséquent, le vecteur donné est égal à
Dans l’exemple précédent, nous avons exprimé un vecteur du plan, représenté graphiquement, en fonction des vecteurs unitaires. Bien que cette approche puisse toujours être utilisée, elle nous oblige à représenter graphiquement les points dans le plan. Par conséquent, il est utile de connaître la formule pour y arriver lorsque l’on nous donne les coordonnées des deux extrémités du vecteur.
Soit le vecteur allant de à . Dans ce cas, la composante suivant du vecteur est , et la composante suivant est , comme nous pouvons le voir ci-dessous.
Ainsi, on peut exprimer le vecteur en fonction des vecteurs unitaires.
Formule : Vecteurs du plan identifié par deux points en fonction des vecteurs unitaires
Soient les points et . Le vecteur s’écrit en fonction des vecteurs unitaires :
Dans notre dernier exemple, nous appliquerons cette formule pour écrire un vecteur du plan en fonction des vecteurs unitaires.
Exemple 5: Exprimer un vecteur en fonction des vecteurs unitaires
Soient et , exprimez le vecteur en fonction des vecteurs unitaires et .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons exprimer un vecteur du plan, exprimés à partir de deux points du plan, en fonction des vecteurs unitaires et . Rappelons que le vecteur , avec et , peut s’écrire :
Étant donné que et , on peut appliquer cette formule avec
Cela conduit à
Par conséquent,
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points Clés
- Les vecteurs unitaires, notés et , sont les vecteurs unitaires horizontal et vertical, respectivement, avec des coordonnées positives. Les coordonnées de et de sont Elles peuvent être représentées sur le plan cartésien comme suit.
- Un vecteur de coordonnées, , s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs unitaires :
- Soient les points et . Le vecteur s’écrit en fonction des vecteurs unitaires comme suit :
