Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de la leçon : Vecteurs en fonction de vecteurs unitaires Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les coordonnées d’un vecteur en fonction des vecteurs unitaires.

13:05

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les coordonnées d’un vecteur en fonction des vecteurs unitaires.

Nous savons qu’en deux dimensions, il y a deux composantes à un vecteur, appelées les composantes 𝑥 et 𝑦. Et c’est là que 𝑥 est la composante horizontale et 𝑦 est la composante verticale. Étant donné les composantes d’un vecteur en deux dimensions, une façon de l’exprimer est sous forme de composantes. Par exemple, si les composantes 𝑥 et 𝑦 sont respectivement 𝑎 et 𝑏, le vecteur s’écrit sous forme de composantes comme 𝑎, 𝑏. Et nous pouvons représenter le vecteur dans le plan cartésien par une flèche commençant à l’origine et se terminant au point 𝑎, 𝑏, comme indiqué.

Mais il existe une autre façon d’exprimer un vecteur en deux dimensions, et c’est en fonction de vecteurs unitaires. Ce sont des vecteurs unitaires notés 𝐢 et 𝐣 avec des composantes positives et de longueur un, où 𝐢 est le vecteur unitaire dans la direction horizontale et 𝐣 est le vecteur unitaire dans la direction verticale. 𝐢 a les composantes un, zéro, et 𝐣 a les composantes zéro, un.

Nous écrivons 𝐢 et 𝐣 avec des chapeaux pour les distinguer comme vecteurs unitaires. Mais vous pouvez aussi les voir écrits avec une flèche au-dessus ou en gras. Notez que les vecteurs unitaires ont une composante non nulle, qui pour les deux vecteurs est égale à un. A partir de l’écriture de 𝐢 en ses composantes, nous pouvons le représenter par une flèche partant d’une origine donnée et se terminant au point un, zéro, qui est sur l’axe des 𝑥 positifs. De même, à partir de l’écriture de 𝐣 en ses composantes, nous pouvons le représenter dans le plan cartésien comme une flèche verticale de longueur un partant d’une origine donnée. Ainsi, 𝐢 et 𝐣 sont parallèles aux axes des abscisses et des ordonnées, respectivement, pointant dans les directions positives pour chaque axe respectif.

Regardons maintenant un exemple de la façon dont nous pourrions exprimer un vecteur vertical en fonction de vecteurs unitaires.

Étant donné que le vecteur 𝐀 a des composantes zéro et deux, exprimez le vecteur en fonction des vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣.

On nous donne un vecteur écrit sous forme de composantes, que nous devons exprimer en termes de vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣. Pour ce faire, nous commençons par rappeler que nous pouvons représenter un vecteur de composantes 𝑎 et 𝑏 par une flèche partant de l’origine et se terminant au point de coordonnées 𝑎, 𝑏. Puisque les composantes de notre vecteur sont zéro, deux, nous le représentons par une flèche allant de l’origine au point zéro, deux. Alors, comment exprimer cela en fonction de nos vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣 ?

Eh bien, rappelez-vous les composantes de 𝐢 et 𝐣. 𝐢 est égal à un, zéro et 𝐣 est égal à zéro, un. Et ils sont représentés dans le plan cartésien comme indiqué. En particulier, 𝐢 est un vecteur horizontal de longueur un, tandis que 𝐣 est un vecteur vertical également de longueur un. Puisque notre vecteur 𝐀 est purement vertical, la composante 𝑥 étant nulle, pour exprimer 𝐀 en fonction de vecteurs unitaires, il suffit d’utiliser le vecteur 𝐣. Puisque la composante 𝑦 de 𝐀 est deux, nous pouvons y parvenir en empilant deux copies de 𝐣 l’une sur l’autre pour produire le vecteur 𝐀. Cela nous dit que 𝐀 est égal à 𝐣 plus 𝐣, ce qui est deux 𝐣. Par conséquent, en termes de vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣, le vecteur 𝐀 est égal à deux 𝐣.

Dans cet exemple, nous avons exprimé un vecteur vertical en deux dimensions en fonction de vecteurs unitaires. Voyons maintenant comment exprimer un vecteur qui n’est ni vertical ni horizontal en fonction de vecteurs unitaires.

La figure donnée montre un vecteur 𝐀 dans un plan. Exprimez ce vecteur en fonction des vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣.

On nous demande d’exprimer le vecteur montré dans le graphe en fonction de vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣. Rappelons-nous donc à quoi ils ressemblent dans le plan cartésien. 𝐢 est un vecteur horizontal et est 𝐣 un vecteur vertical, et ils commencent tous les deux à une origine donnée se déplaçant dans les directions positives des axes de 𝑥 et 𝑦, respectivement, avec une longueur égale à un.

Maintenant, pour exprimer le vecteur 𝐀 en fonction de 𝐢 et 𝐣, nous devons considérer ses composantes 𝑥 et 𝑦 séparément. Commençons donc par le composante 𝑥. D’après le graphe, nous voyons que la composante 𝑥 est égale à moins trois. En utilisant le vecteur unitaire horizontal 𝐢, qui va dans la direction positive de l’axe des 𝑥, nous retournons ce vecteur unitaire pour qu’il devienne négatif, comme il pointe maintenant dans la direction négative de l’axe des 𝑥. Et pour atteindre 𝑥 égal moins trois, nous ajoutons trois copies de moins 𝐢. Ceci nous indique que la composante 𝑥 de 𝐀 en fonction du vecteur unitaire 𝐢 est moins trois 𝐢.

Ensuite, en considérant la composante 𝑦 de 𝐀, nous voyons qu’elle est plus deux. Et nous pouvons produire cela en ajoutant deux copies de 𝐣. Par conséquent, la composante 𝑦 du vecteur 𝐀 en fonction du vecteur unitaire 𝐣 est deux 𝐣.

Alors maintenant, en ajoutant les deux composantes ensemble, où par convention nous écrivons la composante 𝑥 en premier, nous avons 𝐀 égal à moins trois 𝐢 plus deux 𝐣.

Nous pouvons appliquer la méthode que nous avons utilisée dans cet exemple à n’importe quel vecteur avec des composantes entières. Ceci conduit à une formule générale pour exprimer un vecteur avec des composantes 𝑎, en fonction de vecteurs unitaires. C’est 𝑎 fois 𝐢 plus 𝑏 fois 𝐣. Notez que cette conversion fonctionne également à l’envers. En partant d’un vecteur en fonction de vecteurs unitaires, donc étant donné 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣, nous pouvons le convertir en vecteur de composantes 𝑎 et 𝑏.

Nous avons montré comment convertir entre la forme composante et la forme vectorielle unitaire pour les composantes entières des vecteurs. Mais en fait, cela fonctionne pour toutes les composants à valeur réelle. Dans notre prochain exemple, nous l’utiliserons pour exprimer un vecteur à deux dimensions en fonction de vecteurs unitaires.

Exprimez le vecteur 𝐙 égal à moins cinq sur deux, moins 19 en utilisant les vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣.

On nous donne un vecteur écrit sous forme de composantes, que nous devons exprimer en termes de vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣. Pour ce faire, rappelons qu’un vecteur en deux dimensions de composantes 𝑎 et 𝑏 peut s’écrire en fonction de vecteurs unitaires sous la forme 𝑎 fois 𝐢 plus 𝑏 fois 𝐣. Puisque notre vecteur donné a des composantes 𝑎 égales à moins cinq sur deux et 𝑏 égale à moins 19, nous pouvons écrire 𝐙 comme moins cinq sur deux 𝐢 plus moins 19𝐣. Par conséquent, en fonction de vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣, le vecteur 𝐙 est égal à moins cinq sur deux 𝐢 moins 19𝐣.

Dans cet exemple, nous avons exprimé un vecteur en deux dimensions donné sous forme de composantes en fonction de vecteurs unitaires. Voyons maintenant comment y parvenir lorsque notre vecteur est spécifié par son origine et ses extrémités dans le plan cartésien. Une façon d’écrire ce vecteur en fonction de vecteurs unitaires serait de l’écrire sous forme de ses coordonnées, puis de le convertir pour l’écrire en fonction de vecteurs unitaires. Mais nous n’avons pas besoin de passer par les coordonnées pour y parvenir. Au lieu de cela, nous pouvons simplement identifier les composantes horizontale et verticale de ce vecteur afin de pouvoir l’écrire comme la somme des vecteurs horizontaux et verticaux. Voyons comment cela fonctionne dans un exemple.

La figure donnée montre un vecteur dans un plan. Exprimez ce vecteur en fonction des vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣.

On nous demande d’écrire le vecteur montré dans le graphe en fonction de vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣. Et nous rappelons que les vecteurs unitaires sont définis par 𝐢 est égal au vecteur de composantes un, zéro et 𝐣 est le vecteur de composantes zéro, un. En d’autres termes, ce sont des vecteurs unitaires pointant dans les directions horizontale et verticale positives des axes 𝑥 et respectivement. Ce sont les vecteurs unitaires.

Notez que les vecteurs unitaires ne doivent pas nécessairement commencer à l’origine. Ils décrivent le déplacement d’une distance de un dans le sens horizontal ou vertical à partir d’un point initial donné. Nous devons donc exprimer le vecteur donné comme une somme de vecteurs unitaires horizontaux et verticaux. Commençons par identifier les vecteurs horizontaux et verticaux pertinents sur notre graphe.

Premièrement, notre point initial est le point deux, moins deux. Et à partir de là, nous voyons que le vecteur horizontal s’étend sur deux longueurs de grille dans la direction positive de l’axe des 𝑥. Ainsi la composante horizontale du vecteur est égale à plus deux, que nous pouvons l’écrire comme le vecteur de composantes deux, zéro. Et ceci peut être écrit comme deux fois le vecteur un, zéro, qui est deux fois le vecteur unitaire 𝐢. De même, le vecteur vertical couvre 10 longueurs de grille et pointe dans la direction positive de l’axe des 𝑦 à partir de notre point initial de sorte que sa composante verticale est plus 10. Ceci nous donne que le vecteur vertical est 10 fois le vecteur unitaire 𝐣. L’addition de ces deux vecteurs produira le vecteur donné. Par conséquent, le vecteur donné est égal à deux 𝐢 plus 10𝐣.

Dans cet exemple, nous avons exprimé un vecteur représenté graphiquement sur une grille en fonction de vecteurs unitaires. C’est une méthode parfaitement valable. Mais pour l’utiliser, nous devons représenter graphiquement les points sur le plan cartésien. Il est utile de connaître la formule pour y parvenir lorsque nous n’avons que les coordonnées du point initial et du point final du vecteur.

Considérons un vecteur du point initial 𝐴 avec les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un jusqu’au point final 𝐵 avec les coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux. Dans ce cas, la composante 𝑥 du vecteur 𝐀𝐁 est 𝑥 deux moins 𝑥 un et la composante 𝑦 est 𝑦 deux moins 𝑦 un. Nous pouvons alors écrire le vecteur 𝐀𝐁 du point initial 𝐴 au point final 𝐵 en fonction de vecteurs unitaires comme 𝑥 deux moins 𝑥 un 𝐢 plus 𝑦 deux moins 𝑦 un 𝐣.

Il convient de noter ici qu’il est très important que nous sachions clairement quel est le point initial et quel est le point final d’un vecteur. Ici, notre point initial est 𝐴 et le point final est 𝐵. Cependant, si l’on part de 𝐵 et que l’on va dans le sens inverse de 𝐵 vers 𝐴, le vecteur 𝐁𝐀 a des composantes 𝑥 un moins 𝑥 deux et 𝑦 un moins 𝑦 deux, qui ne sont pas les mêmes que celles du vecteur 𝐀𝐁 dans le sens opposé.

Dans notre dernier exemple, appliquons cette formule pour écrire un vecteur à deux dimensions en fonction de vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣.

Étant donné que 𝐴 a les coordonnées deux, trois et 𝐵 a les coordonnées cinq, neuf, exprimez le vecteur 𝐀𝐁 en fonction des vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣.

Dans cet exemple, étant donné le point initial et le point final d’un vecteur en deux dimensions, nous voulons exprimer le vecteur en termes de vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣. Pour ce faire, nous rappelons qu’un vecteur 𝐀𝐁 avec le point initial 𝐴 𝑥 un, 𝑦 un et le point final 𝐵 𝑥 deux, 𝑦 deux peut être écrit en fonction des vecteurs unitaires comme 𝐀𝐁 est égal à 𝑥 deux moins 𝑥 un fois 𝐢 plus 𝑦 deux moins 𝑦 un fois 𝐣.

On nous donne les points 𝐴 et 𝐵. Et puisque 𝐴 est le point initial et le point final, nous avons 𝑥 un égal deux et 𝑥 deux égal cinq, 𝑦 un égal trois et 𝑦 deux égal neuf. Utilisant la formule nous donne 𝐀𝐁 est égal à cinq moins deux fois 𝐢 plus neuf moins trois fois 𝐣, c’est-à-dire trois 𝐢 plus six 𝐣. Par conséquent, en fonction de vecteurs unitaires, le vecteur avec le point initial 𝐴 deux, trois et le point final 𝐵 cinq, neuf est 𝐀𝐁 est égal à trois 𝐢 plus six 𝐣.

Complétons maintenant cette vidéo en récapitulant quelques points importants que nous avons abordés. Les vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣 sont des vecteurs horizontaux et verticaux de longueur un pointant respectivement dans les directions positives des axes des 𝑥 et 𝑦. La forme composante de 𝐢 est le vecteur un, zéro, et la forme composante de 𝐣 est le vecteur zéro, un. Un vecteur sous forme de composantes 𝑎, 𝑏 peut être écrit en fonction de vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣 comme 𝑎 fois 𝐢 plus 𝑏 fois 𝐣. De même, étant donné un vecteur en fonction de vecteurs unitaires, nous pouvons l’écrire sous forme des composantes 𝑎, 𝑏. Et enfin, un vecteur 𝐀𝐁 avec le point initial 𝐴 𝑥 un, 𝑦 un et le point final 𝐵 𝑥 deux, 𝑦 deux peut être écrit en termes de vecteurs unitaires comme 𝐀𝐁 est égal à 𝑥 deux moins 𝑥 un fois 𝐢 plus 𝑦 deux moins 𝑦 un fois 𝐣 .

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.