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Soit 𝐿 la droite passant par le point de coordonnées moins six, huit, neuf qui forme des angles égaux avec les trois axes de coordonnées. Déterminez la distance entre le point de coordonnées moins quatre, cinq, trois et 𝐿, au centième près.
On nous demande de déterminer la distance entre le point moins quatre, cinq, trois et la droite 𝐿 passant par le point moins six, huit, neuf et formant des angles égaux avec les trois axes de coordonnées. Pour ce faire, on va utiliser la formule indiquée. C'est-à-dire que 𝐷, la distance entre le point et la droite, est la norme du produit vectoriel du vecteur 𝚨𝐏 et du vecteur directeur 𝐝 sur la norme du vecteur directeur 𝐝. Où 𝐎𝐏 est le vecteur position du point, qui dans notre cas est le vecteur dont les composantes sont moins quatre, cinq et trois. Où 𝐎𝚨 est le vecteur position d'un point de la droite, qui a pour composantes moins six, huit et neuf. Et 𝐝 est le vecteur directeur de la droite.
On doit donc trouver le vecteur directeur de la droite. On nous dit que la droite forme des angles égaux avec les trois axes de coordonnées. Examinons ce que cela nous indique. Si on considère d'abord la situation en deux dimensions, une droite formant des angles égaux avec les axes des 𝑥 et des 𝑦 doit avoir un coefficient directeur égale à un. Chaque fois que nous déplaçons une unité dans la direction des 𝑥, nous nous déplaçons d'une unité dans la direction des 𝑦. Ainsi, une telle droite possède un vecteur directeur de composantes un, un.
Maintenant, si on applique la même logique en trois dimensions, le vecteur directeur de la droite formant des angles égaux avec les trois axes de coordonnées aura les composantes un, un et un. Ainsi, nous avons notre point avec un vecteur position moins quatre, cinq, trois. Ce point de la droite a un vecteur position moins six, huit, neuf. Et notre vecteur directeur a pour composantes un, un et un.
Pour utiliser la formule afin de déterminer la distance entre le point et la droite, nous devons trouver le vecteur 𝚨𝐏. Il s'agit de 𝐎𝐏 moins 𝐎𝚨, c'est-à-dire moins quatre, cinq, trois moins moins six, huit, neuf. Pour soustraire un vecteur d'un autre vecteur, on soustrait les composantes correspondantes. Ce qui nous donne moins quatre moins moins six, soit deux, cinq moins huit, soit moins trois, et trois moins neuf, soit moins six.
Le prochain élément de notre formule, consiste à trouver le produit vectoriel du vecteur 𝚨𝐏 et du vecteur directeur 𝐝. Ce produit est donné par le déterminant de la matrice trois fois trois dont la première ligne est constituée des vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 et dont les deuxième et troisième lignes sont constituées des deux vecteurs 𝚨𝐏 et du vecteur directeur 𝐝.
En développant suivant la première ligne, on obtient le déterminant de la matrice deux fois deux dont les éléments sont moins trois, moins six, un, un multiplié par 𝐢 moins le déterminant de la matrice deux fois deux dont les éléments sont deux, moins six, un, un multiplié par 𝐣 plus le déterminant de la matrice deux fois deux dont les éléments sont deux, moins trois, un, un multiplié par le vecteur unitaire 𝐤. Rappelons maintenant que le déterminant d'une matrice deux fois deux d'éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐, cela nous donne moins trois moins moins six 𝐢 moins deux moins moins six 𝐣 plus deux moins moins trois 𝐤, c'est-à-dire trois 𝐢 moins huit 𝐣 plus cinq 𝐤.
Notre prochaine étape consiste à trouver la norme de ce produit vectoriel. Ceci est donné par la racine carrée de la somme des carrés des composantes. C'est donc la racine carrée de trois au carré plus moins huit au carré plus cinq au carré. C'est la racine carrée de neuf plus 64 plus 25, ce qui donne la racine carrée de 98.
Le dernier élément de notre formule est la norme du vecteur directeur 𝐝. Et comme les trois composantes du vecteur 𝐝 sont égales à un, sa norme est la racine carrée de un au carré plus un au carré plus un au carré, soit la racine carrée de trois. On a donc maintenant tout ce dont on a besoin pour calculer la distance 𝐝. Et celle-ci est donnée par la racine carrée de 98 sur la racine carrée de trois, qui est la racine carrée de 98 sur trois, qui dans sa forme simplifiée égale sept racine de six sur trois. Cela donne 5,715 à trois décimales près. Ainsi, au centième près, la distance entre le point moins quatre, cinq, trois et la droite 𝐿, qui passe par le point moins six, huit, neuf et forme des angles égaux avec les trois axes de coordonnées, est de 5,72 unités.
