Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer la distance perpendiculaire entre un point et une droite, ou entre deux droites parallèles dans l'espace en utilisant une formule.
Pour commencer, on rappelle qu’une droite est définie dans l’espace, uniquement, soit si elle passe par un point fixe connu et a une direction connue, comme montré dans la figure 1 ci-dessous, soit si elle passe par deux points fixes connus, comme montré dans la figure 2.
Dans le premier cas, la droite, qui possède le vecteur directeur , passe par le point , repéré par un vecteur position . Si est un point quelconque sur cette droite et est le vecteur position de , alors est l’ équation vectorielle de la droite. Ici, est un nombre réel et chaque valeur de donne le vecteur position d’un point unique sur la droite. À partir de cette formulation, rappelons que nous pouvons exprimer l’équation d’une droite en trois dimensions sous les formes suivantes.
Définition : Formes de l’équation d’une droite en trois dimensions
En général, on peut écrire l’équation d’une droite parallèle au vecteur directeur (où , et sont les vecteurs unitaires dans les directions , et ) et passant par le point comme
Le point de coordonnées est l’un d’une infinité de points sur la droite et , et sont appelés les rapports directeurs.
Dans le second cas (figure 2), pour une droite passant par deux points fixes connus et associés aux vecteurs position et , le vecteur directeur de cette droite est donné par . C’est-à-dire
Les rapports directeurs sont alors , et en utilisant l’un des points, ou , en tant que point fixe, on peut à nouveau écrire la droite sous forme vectorielle, paramétrique ou cartésienne.
En trois dimensions, nous pouvons utiliser la propriété du produit vectoriel entre les vecteurs pour calculer la distance perpendiculaire.
Théorème : Produit vectoriel entre les vecteurs
Pour tout vecteur en trois dimensions et , est l’aire du parallélogramme construit à partir de vecteurs et .
Nous voulons trouver la distance perpendiculaire entre le point et la droite d’équation .
La direction de la droite est donnée par , et le vecteur nous donne un point sur la droite que nous appellerons . On peut alors construire un parallélogramme comme montré dans la figure suivante.
Il y a deux façons de déterminer l’aire de ce parallélogramme. Premièrement, nous pouvons représenter les côtés non parallèles comme des vecteurs et , alors l’aire du parallélogramme est égale à la norme du produit vectoriel de ces deux vecteurs :
Deuxièmement, nous pouvons également déterminer cette aire en rappelant que l’aire d’un parallélogramme est la longueur de la base multipliée par sa hauteur.
En ajoutant la distance perpendiculaire, , menée du point à la droite sur la figure, on trouve que peut représenter la base du parallélogramme et peut représenter la hauteur correspondante de la base ; on a alors
En réécrivant ces deux expressions sous forme d’équation pour calculer l’aire du parallélogramme on obtient
On peut réécrire cette équation pour isoler :
Nous résumons la formule pour déterminer la distance perpendiculaire entre un point et une droite.
Théorème : Formule de la distance entre un point et une droite en trois dimensions
La distance perpendiculaire, , entre un point et une droite de vecteur directeur est donnée par où est un point quelconque de la droite.
Il est à noter que nous pouvons montrer que cela correspond à la distance la plus courte entre un point et une droite. Si on choisit un point arbitraire sur une droite , alors on peut toujours tracer la perpendiculaire suivante :
On peut alors observer que est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, qui est donc plus longue que la distance perpendiculaire.
Puisqu’il s’agit de la distance la plus courte entre un point et une droite en trois dimensions, nous appelons cela la distance entre un point et une droite en trois dimensions.
Examinons quelques exemples d’application de cette formule pour déterminer la distance perpendiculaire entre un point et une droite en trois dimensions.
Exemple 1: Déterminer la longueur de la perpendiculaire tracée entre un point et une droite
Soit la droite passant par le point dans la direction du vecteur . Déterminez la distance entre et le point au centième près.
Réponse
Nous voulons déterminer la distance perpendiculaire entre un point et une droite. Nous pouvons le faire en rappelant la formule suivante.
La distance perpendiculaire, , entre un point et une droite de vecteur directeur est donnée par où est un point quelconque de la droite.
Dans notre cas, , et . Pour trouver la distance perpendiculaire, nous devons d’abord déterminer .
On commence par déterminer :
On peut utiliser ce résultat pour calculer le produit vectoriel :
Ensuite, nous pouvons calculer la norme de ce vecteur :
Enfin, la distance perpendiculaire est donnée par
En arrondissant au centième près, on obtient
Par conséquent, la distance perpendiculaire entre le point et la droite passant par le point dans la direction du vecteur au centième près est de 4,98 unités de longueur.
Exemple 2: Déterminer la longueur de la perpendiculaire tracée entre un point et une droite
Déterminez la longueur de la perpendiculaire tracée à partir du point à la droite d’équation arrondie au centième près.
Réponse
Nous voulons déterminer la distance perpendiculaire entre un point et une droite. Nous pouvons le faire en rappelant la formule suivante.
La distance perpendiculaire, , entre le point et la droite de vecteur directeur est donnée par où est un point quelconque de la droite.
On rappelle aussi qu’une droite donnée sous forme vectorielle passe par le point repéré par le vecteur position et dont la direction est donnée par le vecteur directeur .
Dans notre cas, , et . Pour trouver la distance perpendiculaire, nous devons d’abord déterminer .
On commence par déterminer :
Ensuite, on peut utiliser ce résultat pour calculer le produit vectoriel :
Puis, nous pouvons calculer la norme de ce vecteur :
Enfin, la distance perpendiculaire est donnée par
En arrondissant au centième près, on obtient
Par conséquent, la distance perpendiculaire entre le point et la droite au centième près est de 13,64 unités de longueur.
Maintenant, étudions un exemple où nous devons déterminer la distance perpendiculaire entre un point et une droite dont l’équation est donnée sous forme cartésienne.
Exemple 3: Déterminer la longueur de la perpendiculaire tracée entre un point et une droite
Déterminez, au centième près, la longueur de la perpendiculaire tracée à partir du point à la droite d’équation .
Réponse
Nous voulons déterminer la longueur de la perpendiculaire entre un point et une droite dont l’équation est donnée sous forme cartésienne. Pour ce faire, nous allons d’abord rappeler la formule suivante.
La distance perpendiculaire, , entre un point et une droite de vecteur directeur peut être trouvé en utilisant la formule où est un point quelconque de la droite.
Par conséquent, nous pouvons calculer la distance perpendiculaire en déterminant un point sur la droite ainsi que son vecteur directeur. On peut déduire le vecteur directeur à partir des dénominateurs de l’équation de la droite comme suit . De plus, en égalisant à zéro chaque partie de l’équation, nous pouvons trouver un point sur la droite, cela nous donne le point .
Puisque l’on connait le point , on peut déterminer :
Ensuite, le produit vectoriel entre ce vecteur et est
On peut l’utiliser pour calculer la distance perpendiculaire entre le point et la droite :
Enfin, en arrondissant au centième près, nous avons
Ainsi, nous avons déterminé la plus courte distance entre le point et la droite d’équation ; au centième près, la distance est de 14,19.
Dans le prochain exemple, nous verrons comment appliquer cette formule à partir de deux points distincts sur la droite au lieu de son équation.
Exemple 4: Déterminer la distance perpendiculaire d’un point donné à la droite définie par deux points donnés
Déterminez, au dixième près, la distance perpendiculaire du point à la droite passant par les points et .
Réponse
Rappelons que la distance perpendiculaire, , entre un point et une droite de vecteur directeur peut être trouvé en utilisant la formule où est un point quelconque de la droite.
Nous devons trouver son vecteur directeur. Si on pose et , alors on peut trouver le vecteur directeur de cette droite à partir des coordonnées de ces points :
Puis, on choisit le point , ce qui donne où
En calculant le produit vectoriel on obtient
Alors,
Par conséquent,
Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé la distance perpendiculaire entre un point et une droite définie par deux points. La méthode utilisée dans cet exemple nous donne la formule suivante pour le calcul de la distance perpendiculaire.
Distance entre un point et une droite définie par deux points
La distance perpendiculaire, , entre et la droite passant par deux points distincts et est donnée par
Cette formule est équivalente à celle que nous avons précédemment obtenue pour la distance entre un point et une droite en utilisant l’équation d’une droite. Nous pouvons vérifier ceci en observant que le vecteur est en fait le vecteur directeur de cette droite. Ainsi, en remplaçant par le vecteur directeur on récupère la formule précédente.
Dans notre dernier exemple, nous verrons comment prolonger ce processus pour déterminer la distance entre deux droites parallèles.
Exemple 5: Déterminer la distance entre deux droites parallèles
Déterminez, au centième près, la distance entre les droites parallèles et .
Réponse
Pour déterminer la distance entre et , nous devons d’abord déterminer exactement ce que cela signifie. Considérons la distance entre un point arbitraire sur chaque droite, disons par exemple et , comme indiqué sur la figure suivante.
Nous pouvons remarquer que cela ne correspond pas à la distance la plus courte entre ces deux droites comme le montre le triangle rectangle suivant.
Le segment est l’hypoténuse du triangle rectangle, de sorte qu’il est plus long que la distance perpendiculaire entre les deux droits, . Puisque le choix des points et était arbitraire, on peut noter que la distance sera plus courte que la distance entre toute paire de points situés sur l’une des droites.
De plus, compte tenu que les droites sont parallèles, la distance perpendiculaire restera la même. Ainsi, nous pouvons calculer cette distance perpendiculaire n’importe où sur les droites. Si on choisit un point arbitraire sur , la distance perpendiculaire entre un point et une droite sera la même que la plus courte distance entre et .
On rappelle la formule pour calculer la distance perpendiculaire entre un point et une droite. La distance perpendiculaire, , entre un point et une droite de vecteur directeur peut être déterminé en utilisant la formule où est un point quelconque sur la droite.
On peut égaliser à zéro chaque partie de l’équation de la droite pour trouver que est situé sur la droite . On peut aussi égaliser à zéro chaque partie de l’équation de la droite pour trouver que est situé sur la droite . Le vecteur directeur des deux droites est donné par les dénominateurs de leurs équations cartésiennes : .
Pour calculer la distance perpendiculaire, nous devons déterminer :
Ensuite, nous devons calculer le produit vectoriel entre et le vecteur directeur :
Enfin, la distance perpendiculaire entre les deux droites parallèles est donnée par
En arrondissant au centième près, on obtient
Par conséquent, la distance entre et au centième près est 18,03 unités de longueur.
Terminons par résumer quelques points importants de cette fiche explicative.
Points Clés
- La distance perpendiculaire entre un point et une droite est la distance la plus courte entre ces deux objets.
- En trois dimensions, la distance perpendiculaire, , entre un point et une droite de vecteur directeur est donnée par où est un point quelconque de la droite.
- En trois dimensions, la distance perpendiculaire, , entre un point et une droite passant par les points distincts et est donnée par
- Nous pouvons déterminer la distance perpendiculaire entre deux droites parallèles distinctes en déterminant la distance perpendiculaire entre une droite et un point quelconque de l’autre droite.
