Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer la distance perpendiculaire entre un point et une droite ou entre deux droites parallèles dans l’espace en utilisant une formule. Et comme nous allons le voir, on peut utiliser la même formule dans les deux cas.
Pour commencer, considérons ce premier cas, déterminer la distance perpendiculaire entre un point et une droite. Si voici notre point et notre droite, alors cette distance ressemblerait à ceci, et on peut l’appeler 𝑑. Pour déterminer 𝑑, il nous faut trois informations. Tout d’abord, nous devons connaître les coordonnées de notre point dans l’espace. Nous allons appeler ce point 𝑃. Nous devrons également connaître les coordonnées d’un point sur la droite. Cela pourrait être n’importe où sur la droite, et nous allons appeler ce point 𝐿. Enfin, nous devrons connaître les composantes d’un vecteur parallèle à notre droite, et nous allons appeler ce vecteur 𝐬.
Dans notre scénario, nous allons appeler ce point 𝑃, et supposer que nous connaissons également un point sur la droite. Et comme nous l’avons dit, cela peut être un point quelconque sur la droite. Et enfin, supposons aussi que nous connaissons les composantes d’un vecteur, que nous avons appelé 𝐬, qui est parallèle à notre droite. Notre affirmation est qu’une fois qu’on a ces informations, on peut déterminer la distance minimale, la distance perpendiculaire, entre notre point et la droite. Voici comment nous pouvons le faire. Tout d’abord, nous allons créer un vecteur qui va du point 𝑃 au point 𝐿. Nous allons appeler ce vecteur 𝐏𝐋. Et remarquez comment le vecteur 𝐏𝐋 et le vecteur 𝐬 forment les deux côtés d’un parallélogramme. Si on appelle l’aire de ce parallélogramme 𝐴, alors on peut dire que la norme du produit vectoriel du vecteur 𝐏𝐋 et du vecteur 𝐬 est égale à cette aire.
Maintenant, sur notre dessin, voici quelque chose d’intéressant. Si on considère la distance perpendiculaire 𝑑 et qu’on la déplace pour qu’elle soit en contact avec l’extrémité arrière du vecteur 𝐬, alors cette distance 𝑑 multipliée par la norme du vecteur 𝐬 nous donne l’aire de ce rectangle. Et l’aire de ce rectangle en orange et l’aire du parallélogramme en rose sont identiques. Donc, non seulement on peut dire que la norme du produit vectoriel de 𝐏𝐋 et 𝐬 est égal à 𝐴, mais on peut aussi dire que 𝑑 fois la norme de 𝐬 est égal à 𝐴. Cela signifie qu’on peut écrire cette équation ici. Et si on divise les deux côtés par la norme du vecteur 𝐬, ce qui élimine ce facteur à gauche, on obtient cette expression pour la distance perpendiculaire 𝑑. Et comme nous l’avons vu, les trois choses dont nous avons besoin pour calculer 𝑑 sont un point dans l’espace, un point sur notre droite et un vecteur parallèle à la droite.
Sachant cela, changeons notre scénario et déterminons maintenant la distance perpendiculaire entre deux droites parallèles. Ce qui est intéressant ici c’est à quel point ça ressemble au cas précédent. Encore une fois, pour calculer 𝑑, nous devons savoir trois choses : un point sur la première droite, nous allons appeler ce point 𝐿 ; un point quelque part sur la deuxième droite, nous allons appeler ce point 𝑃 ; et nous avons aussi besoin d’un vecteur parallèle aux deux droites. Sachant tout cela, nous pouvons à nouveau définir un vecteur du point 𝑃 au point 𝐿 et l’utiliser ainsi que le vecteur 𝐬 dans notre équation pour déterminer 𝑑. La meilleure façon d’assimiler tout cela est en traitant quelques exemples. Voyons maintenant un exemple.
Déterminez, au dixième près, la distance perpendiculaire du point moins trois, moins quatre, zéro à la droite donnée par les points un, trois, un et quatre, trois, deux.
Bien, nous avons donc ces deux points dans l’espace avec les coordonnées un, trois, un et quatre, trois, deux. Et on nous dit qu’une droite passe par ces deux points. En plus de cela, il y a un troisième point dont nous connaissons les coordonnées. Et nous voulons déterminer la distance perpendiculaire entre ce troisième point et la droite. Nous allons appeler cette distance 𝑑.
Pour commencer, nous pouvons rappeler l’équation de la distance perpendiculaire entre une droite et un point dans l’espace. Pour effectuer ce calcul, nous devons connaître les coordonnées d’un point dans l’espace, nous les avons, ainsi que les coordonnées d’un point sur notre droite, et nous en avons deux. La dernière chose à faire pour utiliser cette équation pour 𝑑, est de trouver les composantes d’un vecteur qui est parallèle à notre droite. On ne nous donne pas cette information.
Mais notez que si nous dessinions un vecteur d’un point donné de notre droite à l’autre, alors ce vecteur serait parallèle à notre droite et nous pourrions l’utiliser dans notre équation pour déterminer 𝑑. Si on appelle ce vecteur 𝐬, on peut voir que ses composantes sont égales aux coordonnées de notre premier point sur la droite - un, trois, un - moins celles du second point. On obtient un vecteur avec des composantes moins trois, zéro, moins un. Maintenant que nous connaissons le vecteur 𝐬 que nous allons utiliser dans notre équation pour 𝑑, considérons ce vecteur 𝐏𝐋. Ici, 𝑃 est un point dans l’espace tridimensionnel et 𝐿 est un point quelque part sur notre droite.
Supposons que sur notre droite, on choisit le point un, trois, un pour représenter le point 𝐿. Cela signifie que le vecteur 𝐏𝐋 ressemblera à ceci. Et on peut déterminer les composantes de ce vecteur de la même manière que celles de 𝐬. On soustrait les coordonnées du point 𝑃 de celles du point 𝐿. Et on obtient que 𝐏𝐋 a les composantes quatre, sept et un. Nous avons maintenant toutes les informations nécessaires pour commencer à calculer notre distance perpendiculaire. Nous allons commencer par calculer le produit vectoriel de 𝐏𝐋 et 𝐬. C’est égal au déterminant de cette matrice trois trois. Ici, notre première ligne contient les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Et les deuxième et troisième lignes sont les composantes respectives des vecteurs 𝐏𝐋 et 𝐬.
Si on évalue composante par composante, on obtient 𝐢 fois moins sept moins 𝐣 fois moins un plus 𝐤 fois 21. Nous pouvons également écrire cela comme le vecteur avec les composantes moins sept, un, 21. Ce sont les composantes du produit vectoriel de 𝐏D et 𝐬. Et maintenant, nous pouvons prendre la norme de ce produit vectoriel et la diviser par la norme de 𝐬. La norme du produit vectoriel de 𝐏𝐋 et 𝐬 est égale à la racine carrée de moins sept au carré plus un au carré plus 21 au carré. Et on divise ensuite cela par la norme de 𝐬, qui est égale à la racine carrée de moins trois au carré plus zéro au carré plus moins un au carré. Si on saisit cette expression sur une calculatrice tout en gardant le résultat au dixième près, on obtient une réponse de 7,0. Notre réponse finale est alors que la distance perpendiculaire du point donné à la droite donnée est égale à 7,0 unités de longueur.
Voyons maintenant un autre exemple dans lequel on calcule la distance minimale entre un point et une droite.
Déterminez, au centième près, la longueur de la droite perpendiculaire du point moins cinq, moins sept, moins 10 à la droite 𝑥 plus huit sur deux est égal à 𝑦 moins neuf sur huit est égal à 𝑧 plus sept sur moins huit.
Alors, nous avons donc ce point dans l’espace et nous savons également qu’une droite traverse l’espace. Et nous voulons connaître la longueur de la perpendiculaire de la droite au point. Nous appellerons cette longueur 𝑑. On peut rappeler que 𝑑 est donnée par cette expression, où 𝐬 et 𝐏𝐋 sont des vecteurs. La condition du vecteur 𝐬 est qu’il soit parallèle à notre droite donnée. En ce qui concerne le vecteur 𝐏𝐋, il s’agit d’un vecteur qui pointe de notre point dans l’espace, et nous appellerons ce point 𝑃, en un point situé quelque part sur notre droite. Et nous appellerons ce point 𝐿. Voici donc à quoi ressemble ce vecteur. On peut voir que, pour déterminer la distance 𝑑, on doit connaître les composantes d’un vecteur parallèle à notre droite, les coordonnées d’un point sur la droite et les coordonnées d’un point dans l’espace.
On nous donne les coordonnées du point 𝑃. Et pour déterminer 𝐬 et 𝐿, nous allons utiliser l’équation de notre droite donnée ici. Nous devons convertir la forme de cette équation en ce qu’on appelle la forme vectorielle. Elle nous est donnée sous la forme cartésienne. Et nous pouvons l’écrire de cette façon car ces trois fractions sont égales à un facteur d’échelle que nous pouvons appeler 𝑡. Cela signifie qu’on peut écrire des équations séparées pour les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de notre droite. Par exemple, le fait que 𝑥 plus huit sur deux égale 𝑡 signifie que 𝑥 doit être égal à deux fois 𝑡 moins huit. De même, puisque 𝑦 moins neuf sur huit est égal à 𝑡, on peut dire que 𝑦 est égal à huit 𝑡 plus neuf. Et enfin, 𝑧 plus sept sur moins huit égale 𝑡 implique que 𝑧 est égal à moins huit 𝑡 moins sept.
Maintenant, notre droite est exprimée sous ce qu’on appelle la forme paramétrique. Et avec seulement quelques petits changements, on peut l’écrire sous forme vectorielle. Si on rassemble les équations 𝑥, 𝑦 et 𝑧, on peut dire que les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de la droite sont égales à un vecteur moins huit, neuf, moins sept plus le facteur d’échelle 𝑡 fois le vecteur deux, huit, moins huit. Si on rassemble ces composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 en un seul vecteur que nous allons appeler 𝐫, alors 𝐫 est égal au vecteur moins huit, neuf, moins sept plus le facteur d’échelle 𝑡 fois le vecteur deux, huit, moins huit.
Ce premier vecteur de notre équation est un vecteur de l’origine du repère à un point sur la droite. Cela nous dit alors que le point avec les coordonnées moins huit, neuf, moins sept se trouve sur notre droite. Et puis ici, ce vecteur qu’on multiplie par 𝑡 est un vecteur qui est sur notre droite. En d’autres termes, c’est parallèle à la droite
Tout cela signifie que nous connaissons les composantes d’un vecteur parallèle à notre droite et les coordonnées d’un point sur celle-ci. Les composantes du vecteur 𝐬 sont deux, huit, moins huit, et les coordonnées du point 𝐿 sont moins huit, neuf, moins sept. Sachant cela, nous pouvons maintenant définir les composantes du vecteur 𝐏𝐋 dans notre scénario. C’est égal aux coordonnées du point 𝐿 moins celles du point 𝑃. On obtient un vecteur dont les composantes sont moins trois, 16, trois.
Maintenant que nous connaissons les composantes de 𝐬 et 𝐏𝐋, nous pouvons calculer le produit vectoriel de ces vecteurs. C’est égal au déterminant de cette matrice trois trois. Ici, dans notre première ligne se trouvent les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 et dans les deuxième et troisième lignes les composantes correspondantes des vecteurs 𝐏𝐋 et 𝐬, respectivement. Ceci est égal à 𝐢 fois moins 152 moins 𝐣 fois 18 plus 𝐤 fois moins 56 ou, en d’autres termes, un vecteur avec les composantes moins 152, moins 18, moins 56.
Nous pouvons maintenant calculer la norme de ce produit vectoriel, puis la diviser par la norme de 𝐬. La norme du produit vectoriel de 𝐏𝐋 et 𝐬 est égale à la racine carrée de moins 152 au carré plus moins 18 au carré plus moins 56 au carré. On divise ensuite cela par la norme de 𝐬, elle-même égale à la racine carrée de deux au carré plus huit au carré plus moins huit au carré. Lorsqu’on évalue toute cette fraction, le résultat, arrondi au centième près, est 14,19. Voici donc la longueur de la perpendiculaire du point donné à la droite donnée.
Voyons maintenant un exemple dans lequel on calcule la distance entre deux droites parallèles.
Déterminez, au centième près, la distance entre les droites parallèles 𝐷 un, 𝑥 plus sept sur neuf égale 𝑦 plus un sur cinq égale 𝑧 moins sept sur moins six, et 𝐷 deux, 𝑥 plus trois sur neuf égale 𝑦 plus 10 sur cinq égale 𝑧 plus 10 sur moins six.
Eh bien, nous avons ces deux droites qui sont parallèles, 𝐷 un et 𝐷 deux. Notre question nous demande de déterminer la distance entre elles, ce qui signifie la distance minimale ou perpendiculaire entre ces droites. Appelons cette distance 𝑑, et rappelons la relation mathématique pour cette distance. Ce que nous devrons connaitre sont les composantes d’un vecteur, nous l’avons appelé 𝐬, qui est parallèle à nos deux droites. Et nous devrons également connaître les composantes d’un vecteur 𝐏𝐋 qui s’étend d’un point sur notre seconde droite à un point sur notre première droite. On peut alors dire que, pour calculer 𝑑, les coordonnées des points 𝑃 et 𝐿 et les composantes du vecteur 𝐬 sont ce que nous devons connaitre.
Pour déterminer cette information, regardons les équations données des droites un et deux. En commençant par la première droite, elle est sous sa forme cartésienne. Nous pouvons écrire ces trois fractions comme étant égales l’une à l’autre car nous disons qu’elles sont aussi égales à un facteur d’échelle. Nous pouvons l’appeler 𝑡 un. Le fait que ces trois fractions soient toutes égales à 𝑡 un signifie qu’on peut écrire des équations séparées pour les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de la droite 𝐷 un. Autrement dit, puisque 𝑥 plus sept divisé par neuf est égal à 𝑡 un, on peut écrire 𝑥 égale neuf fois 𝑡 un moins sept. De la même manière, puisque 𝑦 plus un divisé par cinq est égal à 𝑡 un, 𝑦 est égal à cinq fois 𝑡 un moins un. Et puis, 𝑧 moins sept sur moins six égale 𝑡 un implique que 𝑧 est égal à moins six 𝑡 un plus sept.
La droite 𝐷 un est maintenant sous forme paramétrique. Nous pouvons combiner ces trois équations en une équation vectorielle. Le vecteur de composantes 𝑥, 𝑦, 𝑧 est égal au vecteur moins sept, moins un, sept plus le facteur d’échelle 𝑡 un fois le vecteur neuf, cinq, moins six.
Maintenant, si on prend les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 et on les écrit comme le vecteur 𝐫, alors cela est égal au vecteur moins sept, moins un, sept plus 𝑡 un fois le vecteur neuf, cinq, moins six. Ce premier vecteur est un vecteur de l’origine du repère jusqu’à un point sur la droite 𝐷 un. Autrement dit, le point avec les coordonnées moins sept, moins un, sept se trouve sur 𝐷 un. Et puis, en ce qui concerne le second vecteur, c’est un vecteur qui se trouve le long de cette droite. Cela signifie que c’est parallèle à la droite. Et par conséquent, nous pouvons dire que voici notre vecteur 𝐬.
Jusqu’ici, nous avons les composantes d’un vecteur parallèle à nos deux droites. Et nous avons aussi les coordonnées d’un point sur notre première droite. Pour trouver les coordonnées d’un point sur notre seconde droite, examinons l’équation de cette droite. Encore une fois, cette équation nous est donnée sous forme cartésienne Cela signifie qu’on peut dire que chacune de ces fractions est égale à un autre facteur d’échelle que nous appellerons 𝑡 deux. Si on écrit à nouveau des équations distinctes pour 𝑥, 𝑦 et 𝑧, on constate que 𝑥 est égal à neuf 𝑡 deux moins trois, 𝑦 est égal à cinq 𝑡 deux moins 10 et 𝑧 est égal à moins six 𝑡 deux moins 10.
Encore une fois, on peut écrire ces équations paramétriques sous forme vectorielle. Un vecteur avec les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 est égal au vecteur moins trois, moins 10, moins 10 plus 𝑡 deux fois le vecteur neuf, cinq, moins six. Écrit ainsi, nous savons que ce vecteur va de l’origine du repère à un point sur notre droite 𝐷 deux. Cela nous indique que les coordonnées de ce point sont simplement les composantes du vecteur. Nous pouvons dire que les coordonnées du point que nous avons appelé 𝑃 sont moins trois, moins 10, moins 10. Notre prochaine étape consiste à utiliser les coordonnées des points 𝐿 et 𝑃 pour déterminer le vecteur 𝐏𝐋. Il s’agit du vecteur avec des composantes égales à la différence entre les coordonnées du point 𝐿 et celles du point 𝑃. 𝐏𝐋 a donc les composantes moins quatre, neuf, 17.
Nous pouvons à présent procéder à calculer le produit vectoriel des vecteurs 𝐏𝐋 et 𝐬. Cela est égal au déterminant de cette matrice. Et notez que, par colonne, nous avons les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de nos deux vecteurs. Lorsqu’on effectue ce produit vectoriel, on obtient 𝐢 fois moins 139 moins 𝐣 fois moins 129 plus 𝐤 fois moins 101. Nous pouvons alors écrire ce résultat comme un vecteur avec les composantes moins 139, plus 129 et moins 101. Maintenant que nous connaissons le produit vectoriel de 𝐏𝐋 et 𝐬, nous pouvons calculer la norme de ce produit vectoriel et la diviser par la norme de 𝐬.
La norme du produit vectoriel de 𝐏𝐋 et 𝐬 est égale à la racine carrée de moins 139 au carré plus 129 au carré plus moins 101 au carré. On divise cela par la norme de 𝐬, qui est elle-même la racine carrée de neuf au carré plus cinq au carré plus moins six au carré. Lorsqu’on évalue toute cette fraction, et on arrondit au centième près, on obtient une réponse de 18,03. On dit alors que la distance entre ces deux droites est de 18,03 unités de longueur.
Terminons maintenant notre leçon en résumant quelques points clés. Dans cette leçon, nous avons vu que pour un point et une droite dans l’espace, la distance perpendiculaire entre eux est définie par cette expression. 𝐏𝐋 est un vecteur allant d’un point 𝑃 dans l’espace à un point 𝐿 sur la droite en question, et 𝐬 est un vecteur parallèle à cette droite. Nous avons également vu qu’étant donné deux droites parallèles dans l’espace, la distance perpendiculaire entre elles est définie par la même expression. Dans ce cas, 𝐬 est un vecteur qui est parallèle aux deux droites, 𝑃 est un point qui se trouve sur une droite, 𝐿 est un point qui se trouve sur l’autre, et, encore une fois, 𝐏𝐋 est un vecteur qui va du point 𝑃 au point 𝐿.