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Déterminez la valeur de 𝑥 sachant que tangente de 78 degrés est égal à cotangente 𝑥, où 𝑥 est compris entre zéro et 180 degrés.
Dans cette question, on nous donné une équation trigonométrique impliquant les fonctions tangente et cotangente que nous devons résoudre pour trouver 𝑥. Maintenant, notre premier instinct peut être de réécrire cotangente 𝑥 en fonction de tangente 𝑥, de réorganiser l’équation en fonction de tangente 𝑥, et d’appliquer la fonction tangente réciproque pour trouver 𝑥. Cependant, cela nécessite d’utiliser une calculatrice alors qu’en fait cette question peut être résolue sans calculatrice si nous utilisons simplement la bonne identité.
Rappelons que les identités des angles complémentaire nous donnent des formules utiles pour 90 degrés moins 𝜃 de chaque fonction trigonométrique. En particulier, l’identité qui nous dit que tangente de 90 moins 𝜃 est égal à cotangente 𝜃 semble être pertinente pour cette question. C’est parce que nous pouvons réécrire tangente de 78 degrés en fonction de cotangente 𝜃 en le mettant sous la forme correcte.
Posons tangente de 78 degrés par tangente de 90 degrés moins 𝜃. Cela signifie que 78 degrés est égal à 90 degrés moins 𝜃, ce qui signifie que 𝜃 est 90 moins 78 degrés, ce qui est égal à 12 degrés. Par conséquent, en utilisant l’identité des angles complémentaires, tangente de 78 degrés, qui est la même que tangente de 90 moins 12 degrés, est égale à cotangente de 12 degrés.
Maintenant, on nous a indiqué que tangente 78 degrés est égal à cotangente 𝑥. Donc, c’est égal à cotangente 𝑥. Alors, cela nous dit que dans ce cas 𝑥 est égal à 12 plus tout multiple entier 𝑛 de 180 degrés, car cotangente est une fonction périodique. Cependant, on nous a également dit que 𝑥 doit être compris entre zéro et 180 degrés. Par conséquent, la seule valeur valide pour 𝑥, étant donné que tangente de 78 degrés est égal à cotangente 𝑥, est 12 degrés.
