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Claculez la limite de quatre fois le sinus de huit 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋.
Dans cette question, on nous demande de déterminer la limite d’une fonction trigonométrique quand 𝑥 tend vers 𝜋. Lorsqu’on nous demande de déterminer une limite, la première chose à faire est de vérifier s’il est possible d’utiliser la substitution directe. On sait qu’on peut calculer la limite de toute fonction trigonométrique par substitution directe. Il est donc important de vérifier si notre fonction est uniquement une fonction trigonométrique. Par exemple, on peut voir qu’on multiplie 𝑥 par huit et qu’on multiplie le sinus de huit 𝑥 par quatre. Mais pour autant, cela reste une fonction trigonométrique. Donc on peut utiliser la substitution directe.
On considère la limite quand 𝑥 tend vers 𝜋, donc on va simplement remplacer 𝑥 par 𝜋 dans notre fonction. Cela nous donne quatre fois le sinus de huit 𝜋. Pour déterminer la valeur de ce sinus, on peut utiliser le fait que la fonction sinus est périodique de période deux 𝜋. Autrement dit, pour tout entier 𝑛 et tout réel 𝑥, le sinus de 𝑥 est égal au sinus de 𝑥 plus deux 𝑛𝜋. Voyons ce qu’on obtient si on pose que 𝑥 est égal à zéro et 𝑛 est égal à quatre. Cela nous donne que le sinus de zéro est égal au sinus de huit 𝜋.
On sait que le sinus de zéro vaut zéro. Donc on en déduit que le sinus de huit 𝜋 vaut également zéro. Ainsi, notre limite est simplement égale à quatre fois zéro, ce qui fait bien sûr égal à zéro. Et c’est notre réponse finale.
Dans cette question, on nous a demandé de déterminer la limite d’une fonction trigonométrique. On sait qu’on peut utiliser la substitution directe pour déterminer les limites des fonctions trigonométriques. Donc on a simplement remplacé 𝑥 par 𝜋 dans notre fonction trigonométrique. On a alors pu calculer que notre limite était égale à zéro.
