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Fiche explicative de la leçon : Limites par substitution directe Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser la méthode de substitution directe pour déterminer une limite.

La limite d’une fonction en un point nous renseigne sur le comportement de la fonction au voisinage de ce point plutôt que sur sa valeur en ce point. Commençons par rappeler la définition formelle de la limite d’une fonction.

Définition : Limite d’une fonction

Si la valeur de 𝑓(𝑥) tend vers une valeur 𝐿 quand la valeur de 𝑥 tend vers 𝑎 (à gauche et à droite), mais pas nécessairement quand 𝑥=𝑎, alors on dit que la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝐿 et on note cela lim𝑓(𝑥)=𝐿.

Cette définition nous permet de comprendre immédiatement quelle est la limite d’une fonction constante.

Définition : Limite des fonctions constantes

Soit une constante 𝑐. Alors, pour tout réel 𝑎, on a lim𝑐=𝑐.

Ce résultat est dû au fait que la valeur de la fonction constante 𝑐 est toujours 𝑐, quelle que soit la valeur de 𝑥. En effet, les fonctions constantes n’ont pas de variable « 𝑥 » que l’on remplace par les valeurs dont on cherche les images. Une fonction constante prend toujours 𝑐 pour valeur, ainsi on peut affirmer qu’elle tend vers 𝑐 quand 𝑥 tend vers 𝑎, quelle que soit la valeur de 𝑎.

Dans notre premier exemple, nous déterminerons la limite d’une fonction constante.

Exemple 1: Déterminer la limite d’une fonction constante

Déterminez lim(30).

Réponse

Dans cet exemple, on doit déterminer la limite d’une fonction constante. On rappelle que pour toute constante 𝑐 et pour tout réel 𝑎, lim𝑐=𝑐.

Autrement dit, peu importe la valeur en laquelle on l’étudie, la limite d’une fonction constante est toujours égale à la valeur de la constante. Dans notre cas, la constante vaut 30. Par conséquent, lim(30)=30.

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé la limite d’une fonction constante. Intéressons-nous maintenant à des fonctions plus intéressantes.

Pour déterminer la limite d’une fonction en un point, on peut s’aider d’un tableau présentant ses valeurs au voisinage de ce point. Prenons par exemple la fonction 𝑓(𝑥), dont les valeurs au voisinage de 𝑥=0 sont données dans le tableau ci-dessous.

𝑥10,50,10,010,010,10,51
𝑓(𝑥)00,50,90,990,990,90,40

Dans ce tableau, on observe que la valeur de 𝑓(𝑥) tend vers 1 quand 𝑥 tend vers 0 à gauche et à droite. On en déduit que la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 0 est égale à 1. On peut donc écrire lim𝑓(𝑥)=1.

On remarquera cependant que le tableau ci-dessus n’inclut pas la valeur de 𝑓(𝑥) en 𝑥=0. La valeur de la limite et le comportement de la fonction, nous amènent à penser que 𝑓(0)=1. Il faut cependant garder à l’esprit que la valeur de la limite en un point n’est pas nécessairement égale à la valeur de la fonction en ce point. Le fait qu’une fonction tende vers une certaine valeur au voisinage d’un point ne garantit pas qu’elle prenne cette valeur en ce point. Il n’est donc pas impossible que notre fonction 𝑓(𝑥) ait une valeur différente en 𝑥=0, comme par exemple 𝑓(0)=10.

Cependant, la plupart des fonctions dont nous avons l’habitude ne se comportent pas de cette façon. Ainsi, si notre fonction 𝑓(𝑥) est « classique », on peut s’attendre à ce qu’elle vérifie 𝑓(0)=1. Il est donc possible, pour un grand nombre de fonctions, de déterminer la limite en un point en calculant la valeur de la fonction en ce point. Cette méthode d’évaluation des limites est appelée « méthode de substitution directe ».

Dans cette fiche explicative, nous dresserons la liste des fonctions dont on peut attendre un tel comportement. Il faut garder à l’esprit que la méthode de substitution directe n’est pas applicable pour toutes les fonctions:on ne peut l’appliquer qu’aux fonctions « classiques ». Le terme « classique » n’a pas de définition claire. Par conséquent il est très utile de connaître la liste des types de fonctions pour lesquelles la méthode de substitution directe fonctionne.

Règle : Limite des fonctions polynomiales par substitution directe

Soit une fonction polynomiale 𝑓(𝑥). Alors, pour tout 𝑎, lim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎).

Il est important de noter que les fonctions constantes sont un cas particulier de fonctions polynomiales et que l’on peut par conséquent leur appliquer la méthode de substitution directe. Puisqu’on obtient toujours la même valeur constante lorsqu’on applique la méthode de substitution directe à une fonction constante, on peut dire que lim𝑐=𝑐, pour tous réels 𝑎 et 𝑐. On retrouve ainsi une propriété déjà énoncée plus haut.

Pour mieux comprendre la règle de substitution directe, on peut s’aider de la représentation graphique d’une fonction polynomiale. La courbe d’une fonction polynomiale est toujours lisse et continue. Prenons par exemple la représentation graphique d’une fonction polynomiale particulière:

Sur la courbe ci-dessus, il est possible de visualiser la limite de la fonction en 𝑥=2. Il suffit, comme indiqué par les deux flèches bleues, de suivre la courbe tandis que 𝑥 se rapproche de 2, à gauche comme à droite. On observe alors que lorsque 𝑥 tend vers 2, la limite de la fonction correspond à l’ordonnée 𝑦 du point noté en rouge sur la courbe.

D’autre part, on peut voir que le point rouge se situe sur la courbe représentative de la fonction, donc on sait que l’ordonnée 𝑦 de ce point correspond à la valeur de la fonction en 𝑥=2. Par conséquent, si l’on note cette fonction polynomiale 𝑓(𝑥), on peut écrire que lim𝑓(𝑥)=𝑓(2).

L’évaluation d’une limite par substitution directe repose sur ce principe. Dans ce type de problèmes, on ne voit généralement pas la représentation graphique de notre fonction, mais on suppose que si l’on parcourait la courbe jusqu’au point d’étude de la limite, on aboutirait à un point situé sur la courbe représentative de la fonction. Comme on l’a déjà mentionné, cela s’avère généralement vrai. En particulier, la règle ci-dessus énonce que cela est toujours vrai pour les fonctions polynomiales.

Dans le prochain exemple, nous déterminerons la limite d’une fonction polynomiale par substitution directe.

Exemple 2: Déterminer la limite d’une fonction polynomiale

Déterminez lim9𝑥6𝑥9.

Réponse

Dans cet exemple, on doit déterminer la limite d’une fonction polynomiale. On rappelle qu’il est possible d’utiliser la substitution directe pour déterminer la limite d’une fonction polynomiale. La méthode de substitution directe consiste à déterminer la limite de la fonction en un point en calculant la valeur de la fonction en ce point. Pour une fonction 𝑓(𝑥) pour laquelle la méthode de substitution directe est valide, on a lim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎).

Dans cet exemple, 𝑓(𝑥)=9𝑥6𝑥9 et 𝑎=5. On peut donc calculer la valeur de la fonction comme suit:𝑓(5)=9(5)6(5)9=204.

La méthode de substitution directe est applicable pour notre fonction, car il s’agit d’un polynôme. On a donc lim9𝑥6𝑥9=204.

Dans l’exemple précédent, nous avons calculé la limite d’une fonction polynomiale en utilisant la méthode de substitution directe. On rappelle que l’ensemble de définition d’une fonction polynomiale est l’ensemble des nombres réels. Autrement dit, une fonction polynomiale est définie pour n’importe quelle valeur. Il s’agit d’une caractéristique très pratique pour la substitution directe:peu importe en quel réel on étudie la limite, on sera toujours en mesure de la déterminer si notre fonction est un polynôme.

Cela n’est pas vrai pour beaucoup de fonctions que l’on connaît. Lorsque le point d’étude de la limite, noté 𝑎, n’appartient pas à l’ensemble de définition de la fonction 𝑓(𝑥), on ne peut pas calculer 𝑓(𝑎) et l’on ne peut donc pas utiliser la méthode de substitution directe pour déterminer la limite. Avant d’appliquer la méthode de substitution directe, il faut s’assurer que la valeur en laquelle on souhaite étudier la limite appartient bien à l’ensemble de définition de la fonction.

Par chance, la méthode de substitution directe reste applicable pour de nombreuses fonctions malgré les restrictions de leurs ensembles de définition. Dans ce genre de cas, il suffit simplement d’être attentif aux restrictions de l’ensemble de définition.

Règle : Limite des fonctions rationnelles par substitution directe

Soit une fonction rationnelle 𝑓(𝑥) telle que 𝑓(𝑥)=𝑝(𝑥)𝑞(𝑥), 𝑝(𝑥) et 𝑞(𝑥) sont deux fonctions polynomiales. Alors, pour tout 𝑎 tel que 𝑞(𝑎)0, lim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎).

On notera que tant que 𝑞(𝑎)0, 𝑎 appartient bien à l’ensemble de définition de la fonction rationnelle 𝑓(𝑥). Il en découle que l’on peut utiliser la substitution directe sur une fonction rationnelle tant que le point où on étudie la limite appartient à l’ensemble de définition de la fonction.

Dans le prochain exemple, nous chercherons la valeur d’une inconnue dans une fonction rationnelle à partir de la valeur de sa limite.

Exemple 3: Déterminer une inconnue dans une fonction rationnelle à partir de sa limite en un point

Sachant que lim𝑎𝑥1=6, quelle est la valeur de 𝑎?

Réponse

L’expression donnée dans l’énoncé implique la limite d’une fonction rationnelle. On rappelle qu’il est possible de déterminer la limite d’une fonction rationnelle par substitution directe à condition que le point d’étude de la limite appartienne à l’ensemble de définition de la fonction. La méthode de substitution directe consiste à déterminer la limite de la fonction en un point en calculant la valeur de la fonction en ce point. Pour une fonction 𝑓(𝑥) pour laquelle la méthode de substitution directe est applicable, on a lim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑏).

Dans cet exemple, on étudie la limite en 𝑥=5 et la fonction rationnelle est 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥1. On rappelle que l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est l’ensemble des réels pour lesquels le dénominateur est non nul. Ainsi, notre fonction est définie lorsque 𝑥10 soit 𝑥1. Étant donné que 51, on sait que 5 appartient à l’ensemble de définition de notre fonction.

On peut donc calculer 𝑓(5)=𝑎51=𝑎6.

On peut à présent appliquer la méthode de substitution directe, ce qui nous donne lim𝑎𝑥1=𝑎6.

On sait d’après l’énoncé que cette limite est égale à 6, donc on peut écrire l’équation suivante:𝑎6=6.

Par conséquent, 𝑎=36.

Si l’on a deux fonctions pour lesquelles la méthode de substitution directe est applicable, alors elle est également applicable pour leur somme, leur différence, leur produit et leur quotient, à condition que le dénominateur du quotient soit non nul au point d’étude de la limite.

Propriété : Limite par substitution directe de somme, différence, produit et quotient de fonctions

Soit deux fonctions 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) telles que limlim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎),𝑔(𝑥)=𝑔(𝑎).

Alors, limlimlimlimsi(𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥))=𝑓(𝑎)+𝑔(𝑎),(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))=𝑓(𝑎)𝑔(𝑎),(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))=𝑓(𝑎)𝑔(𝑎),𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=𝑓(𝑎)𝑔(𝑎)𝑔(𝑎)0.

Dans le prochain exemple, nous utiliserons cette propriété pour déterminer la limite d’une fonction par substitution directe.

Exemple 4: Déterminer la limite en un point d’une combinaison de fonctions rationnelles en utilisant la substitution directe

Déterminez lim𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, on doit déterminer la limite d’une expression. La méthode la plus simple pour déterminer la limite demandée est la substitution directe. Pour cela, on remplace la variable par le point d’étude de la limite, 𝑥=5, dans l’expression de la fonction pour obtenir la limite. On sait cependant qu’on ne peut pas appliquer cette méthode à n’importe quelle fonction. Voyons ce qu’il en est pour la fonction donnée dans l’énoncé.

Le numérateur de notre fonction est une différence de deux fractions. La première, 1𝑥+7, est une fonction rationnelle. On sait que l’on peut déterminer la limite d’une fonction rationnelle par substitution directe à condition que le point d’étude de la limite appartienne à l’ensemble de définition de la fonction. L’ensemble de définition de cette fonction rationnelle est l’ensemble des valeurs telles que 𝑥7. Étant donné que 57, cette valeur appartient à l’ensemble de définition et par conséquent, la méthode de substitution directe est applicable pour 1𝑥+7. La seconde fraction, 17, est une constante que l’on peut considérer comme un polynôme. Par conséquent, la méthode de substitution directe est applicable.

On rappelle également qu’il est toujours possible d’appliquer la méthode de substitution directe à une différence de deux fonctions compatibles avec la méthode de substitution directe. On en déduit qu’il est possible d’appliquer la méthode de substitution directe au numérateur, 1𝑥+717, de notre fonction.

Passons maintenant au dénominateur, 𝑥. On rappelle qu’il est possible d’appliquer la méthode de substitution directe au quotient de deux fonctions compatibles avec la méthode de substitution directe à condition que le dénominateur du quotient soit non nul au point d’étude de la limite. On constate que le dénominateur 𝑥 n’est pas égal à zéro quand 𝑥=5. On peut donc appliquer la méthode de substitution directe à notre limite.

En remplaçant par 5 dans notre fonction, on obtient lim𝑥=5=5=5=5=514×15=114.

Par conséquent, la limite est égale à 114.

Jusqu’à présent, nous avons utilisé la substitution directe pour déterminer des limites de fonctions polynomiales et rationnelles. Tant que le point d’étude de la limite appartient à l’ensemble de définition de la fonction, on peut appliquer cette méthode à une famille beaucoup plus large fonctions.

Propriété : Déterminer la limite d’une fonction par substitution directe

La méthode de substitution directe est applicable pour toute fonction composée à partir des fonctions listées ci-dessous, à condition que le point d’étude de la limite appartienne à l’ensemble de définition de la fonction composée résultante:

  • fonctions polynomiales ou constantes;
  • fonctions rationnelles;
  • fonctions puissances ou racines:𝑥 pour une constante 𝑝;
  • fonctions trigonométriques:sin𝑥, cos𝑥, tan𝑥;
  • fonctions exponentielles et logarithmiques:𝑏 ou log𝑥 pour 𝑏>0 et 𝑏1;
  • fonction valeur absolue:|𝑥|.

Passons à présent à un exemple dans lequel nous chercherons la limite de la racine carrée d’un polynôme en un point.

Exemple 5: Déterminer la limite en un point de fonctions racines par substitution directe

Déterminez lim4𝑥9𝑥+1.

Réponse

Dans cet exemple, on doit déterminer la limite d’une fonction. On observe que la fonction donnée dans l’énoncé est la composée d’une racine carrée et d’une fonction polynomiale. On rappelle qu’il est possible de déterminer la limite de la composée de fonctions polynomiales et racines par substitution directe à condition que le point d’étude de la limite appartienne à l’ensemble de définition de la fonction.

L’ensemble de définition de notre fonction racine est l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles le polynôme sous la racine est positif. Pour déterminer si le point d’étude de la limite, à savoir 9, appartient à l’ensemble de définition de notre fonction, on doit vérifier si le polynôme sous la racine est bien positif quand 𝑥=9. On calcule donc:4(9)9×9+1=244.

La valeur 244 étant positive, on en déduit que 9 appartient à l’ensemble de définition de notre fonction racine. On peut donc appliquer la méthode de substitution directe pour écrire lim4𝑥9𝑥+1=4(9)9×9+1=244=261.

Par conséquent, notre limite est égale à 261.

Passons à un nouvel exemple qui impliquera cette fois des fonctions valeurs absolues.

Exemple 6: Déterminer la limite d’une fonction impliquant une valeur absolue

Sachant que 𝑓(𝑥)=|𝑥+11||𝑥18|, déterminez lim𝑓(𝑥).

Réponse

Dans cet exemple, on doit déterminer la limite d’une fonction. On observe que la fonction donnée dans l’énoncé est la différence de deux fonctions valeurs absolues. On rappelle qu’il est possible de déterminer la limite de toute fonction absolue par substitution directe. On sait aussi que si la méthode de substitution directe est applicable pour deux fonctions données, alors elle l’est également pour la différence de ces deux fonctions. Par conséquent, on peut déterminer notre limite par la méthode de substitution directe, qui nous permet d’écrire que lim𝑓(𝑥)=𝑓(4).

On remplace par 𝑥=4 dans la fonction et on trouve |4+11||418|=1514=1.

Par conséquent, notre limite est égale à 1.

Dans le dernier exemple, nous calculerons la limite d’une fonction impliquant des fonctions trigonométriques.

Exemple 7: Déterminer une limite impliquant la combinaison d’une fonction trigonométrique et d’une fonction du second degré

Déterminez limcos𝑥(24𝑥)𝑥+𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, on doit déterminer la limite d’une fonction. La fonction donnée dans l’énoncé est constituée de polynômes et d’une fonction trigonométrique, combinés à l’aide de la composition, du produit et du quotient. On sait que la méthode de substitution directe est applicable pour la composition, le produit et le quotient de polynômes et de fonctions trigonométriques, à condition que le point d’étude de la limite appartienne à l’ensemble de définition de la fonction. Nous devons donc commencer par vérifier si le point d’étude de la limite, à savoir 12, appartient bien à l’ensemble de définition de notre fonction.

On sait qu’il n’y a aucune restriction sur les ensembles de définition de la fonction cosinus et des fonctions polynomiales. Par conséquent, 12 appartient à l’ensemble de définition à condition que le dénominateur du quotient soit non nul pour cette valeur. Calculons le dénominateur 𝑥+𝑥 en 𝑥=12, 12+12=14+12=34.

Le dénominateur n’étant pas égal à zéro pour cette valeur, 12 appartient à l’ensemble de définition de notre fonction. On peut donc appliquer la méthode de substitution directe pour calculer limcoscoscos𝑥(24𝑥)𝑥+𝑥=24×+=(0).

Sachant que cos0=1, le résultat précédent est équivalent à =12×43=23.

Par conséquent, notre limite est égale à 23.

Récapitulons, pour finir, quelques concepts importants vus dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Déterminer la limite d’une fonction par substitution directe consiste à calculer la limite en substituant le point d’étude de la limite dans l’expression de la fonction. Cela signifie que pour les fonctions compatibles, on a lim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎).
  • Pour toute constante 𝑐 et pour tout point d’étude de la limite 𝑎, lim𝑐=𝑐.
  • La méthode de substitution directe est compatible avec toute fonction composée à partir des fonctions listées ci-dessous, à condition que le point d’étude de la limite appartienne à l’ensemble de définition de la fonction:
    • fonction polynomiale ou constante;
    • fonction rationnelle;
    • fonction puissance ou racine;
    • fonction exponentielle ou logarithmique;
    • fonction trigonométrique;
    • fonction valeur absolue.

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