Vidéo : Limites par substitution directe

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la méthode de substitution directe pour évaluer les limites.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la méthode de substitution directe pour évaluer les limites. Certaines conditions doivent être remplies pour puissance utiliser la substitution directe. Nous allons couvrir ces conditions et regarder quelques exemples.

Commençons par rappeler la définition d’une limite. Nous disons que, pour une fonction 𝑓 de 𝑥, qui est défini autour de 𝑎, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche 𝑎 est 𝐿. Cela signifie que plus 𝑥 se rapproche de 𝑎, plus la valeur de 𝑓 de 𝑥 se rapproche de 𝐿. Formellement, nous écrivons ceci comme ceci. La limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿.

Afin de trouver une limite en utilisant la substitution directe, nous substituons simplement 𝑥 égale 𝑎 dans 𝑓 de 𝑥. Et donc le résultat que nous obtenons pour la substitution directe est que la limite que 𝑥 va 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑎. C’est ce que nous allons utiliser pour trouver des limites en utilisant la substitution directe.

Cependant, dans certains cas, nous sommes autorisés à utiliser la substitution directe afin de déterminer une limite. Les fonctions que nous prenons la limite — si c’est 𝑓 de 𝑥 — doivent satisfaire au moins l’une des conditions suivantes.

La première condition qui nous permettra d’utiliser la substitution directe est que si 𝑓 de 𝑥 est un polynôme, qui est, si 𝑓 de 𝑥 est de la forme donnée ici, où 𝑎 zéro à 𝑎 𝑛 sont toutes les constantes. Rappelez-vous que cela inclut également les fonctions constantes.

La deuxième condition qui pourrait nous permettre d’utiliser la substitution directe est si 𝑓 de 𝑥 est une fonction rationnelle. Cela signifie que 𝑓 de 𝑥 est égale à un certain 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥, où 𝑝 de 𝑥 et 𝑞 de 𝑥 sont tous deux polynômes. Nous exigeons également que 𝑞 de 𝑎 est non nulle, car si 𝑞 de 𝑎 est égal à zéro, le dénominateur de 𝑓 de 𝑎 sera égal à zéro. Et ainsi 𝑓 de 𝑎 sera indéfinie.

La troisième condition est que 𝑓 de 𝑥 est soit une fonction trigonométrique, exponentielle, logarithmique ou rationnelle. Pour la quatrième condition, nous avons que 𝑓 de 𝑥 est une fonction puissance. Cela signifie donc que 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance 𝑝, où 𝑝 est un nombre réel. Notons que cela inclut aussi les puissances négatives et fractionnaires, tels que 𝑥 à la puissance moins un demi, ce qui est égal à un sur la racine carrée de 𝑥.

Pour la cinquième condition, nous avons que si 𝑓 de 𝑥 est une somme, la différence, le produit ou le quotient de fonctions pour lesquelles fonctionne la substitution directe. Cela pourrait donc être une combinaison de n’importe quel type de fonctions que nous avons déjà couvertes dans ces conditions.

La dernière condition est si 𝑓 de 𝑥 est une composition de fonctions pour lesquelles fonctionne la substitution directe. Ce que cela signifie est que si 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑔 de ℎ de 𝑥, où ℎ de 𝑥 permet la substitution à 𝑎 et 𝑔 de 𝑥 permet la substitution à ℎ de 𝑎. Nous avons maintenant couvert toutes les conditions dans lesquelles nous pouvons utiliser la substitution directe afin de résoudre une limite. Nous sommes maintenant prêts à regarder un exemple.

Déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq de moins neuf 𝑥 au carré moins six 𝑥 moins neuf.

Ici, on nous demande de trouver la limite de la fonction moins neuf 𝑥 carré moins six 𝑥 moins neuf. Et donc nous pouvons écrire cela comme 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 est tout simplement un polynôme. Par conséquent, nous pouvons utiliser la substitution directe afin de trouver cette limite.

La substitution directe nous dit que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égal à 𝑓 de 𝑎. En appliquant cela à notre question, nous pouvons dire que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins cinq est égale à 𝑓 de moins cinq. Afin d’atteindre notre solution, nous substituons simplement moins cinq dans 𝑓 de 𝑥. Cela nous donne un nombre de moins neuf multiplié par moins cinq au carré moins six multiplié par un moins cinq moins neuf. Vous trouverez peut-être utile de mettre des crochets autour des nombres négatifs afin que, lorsque nous multiplions les nombres négatifs, nous n’oublions pas le signe moins.

Tout d’abord, développons le moins cinq carré. Si nous nous rappelons qu’un nombre négatif multiplié par un nombre négatif donne un nombre positif, nous obtiendrons que le carré de moins cinq égal à 25. Ainsi, nous pouvons écrire le nombre moins neuf multiplié par 25. Ensuite, nous pouvons multiplier le nombre moins six par le nombre suivant moins cinq, pour être plus 30. Ensuite, il suffit de soustraire le neuf à la fin. Multiplier moins neuf par 25 nous donne moins 225. Et nous soustrayons neuf de 30 pour nous donner plus 21. Ajouter 21 à moins 225 donne une solution de moins 204.

Dans cet exemple, nous avons vu comment appliquer la substitution directe pour trouver la limite d’une fonction polynomiale. Nous allons ensuite examiner certaines fonctions et essayer de déterminer si elles remplissent ou non les conditions pour utiliser la substitution directe.

Laquelle des fonctions suivantes satisfait aux conditions de substitution directe de la limite, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro ? A) 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 carré plus cinq 𝑥 plus 𝑥 au carré moins deux 𝑥. B) 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 plus six sur 𝑥 moins deux sin 𝑥. C) 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 si 𝑥 est supérieur à trois et 𝑥 moins trois si 𝑥 est inférieur ou égal à trois. D) 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 plus un sur 𝑥. Et E) 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 si 𝑥 est supérieur à zéro et deux 𝑥 moins un si 𝑥 est inférieur ou égal à zéro.

Pour trouver laquelle de ces fonctions nous pouvons utiliser la substitution directe afin de trouver la limite, nous devons tester les conditions pour lesquelles la substitution directe fonctionne sur chacune des fonctions. Pour la fonction A, nous avons 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 carré plus cinq 𝑥 plus 𝑥 carré moins deux 𝑥. C’est une fonction rationnelle. Et si nous écrivons 𝑓 de 𝑥 comme 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥, on obtient alors que 𝑝 de 𝑥 est égal à 𝑥 carré plus cinq 𝑥 et 𝑞 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré moins deux 𝑥.

Étant donné que 𝑝 de 𝑥 et 𝑞 de 𝑥 sont des polynômes, la seule condition que nous devons vérifier est que le dénominateur de la fraction est différent de zéro lorsque 𝑥 est égal à zéro. Le dénominateur de notre fonction est 𝑞 de 𝑥. Voyons donc ce que 𝑞 de zéro vaut. Nous substituons simplement zéro dans 𝑥 carré moins deux 𝑥, ce qui nous donne zéro au carré moins deux fois zéro. Et zéro carré et deux fois zéro sont tous deux égaux à zéro. Donc, donc, 𝑞 de zéro est égal à zéro. Cela signifie que le dénominateur de notre fonction est égal à zéro lorsque 𝑥 est égal à zéro. Nous ne sommes donc pas en mesure d’utiliser la substitution directe pour trouver cette limite.

Passant à la fonction B, nous avons 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 carré moins cinq 𝑥 plus six sur 𝑥 moins deux sin 𝑥. Et voici un quotient de deux fonctions. Nous pouvons donc écrire 𝑓 de 𝑥 comme étant 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥, où 𝑝 de 𝑥 est égal à 𝑥 carré moins cinq 𝑥 plus six et 𝑞 de 𝑥 est égal à 𝑥 moins deux sin 𝑥.

Afin d’utiliser la substitution directe pour trouver la limite de cette fonction, nous devons vérifier à nouveau ce que vaut le dénominateur lorsque 𝑥 est égal à zéro. Nous trouvons que 𝑞 de zéro est égal à zéro moins deux multiplié par un sin de zéro. Et ceci est également égal à moins deux sin de zéro. Cependant, le sin de zéro est égal à zéro. Et cela nous donne que 𝑞 de zéro doit aussi être égal à zéro.

De manière similaire à la fonction A, nous avons constaté que le dénominateur de la fonction B est également égal à zéro lorsque 𝑥 est égal à zéro. Et donc, encore une fois, nous ne pouvons pas utiliser la substitution directe pour trouver la limite de cette fonction.

En regardant à présent la fonction C, nous avons que 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 si 𝑥 est supérieur à trois et 𝑥 moins trois si 𝑥 est inférieur ou égal à trois. Afin de déterminer si nous pouvons utiliser la substitution directe pour déterminer la limite de cette fonction, nous devons d’abord déterminer si la limite existe réellement pour cette fonction. Pour que la limite existe, nous exigeons que les limites unilatérales de part et d’autre de zéro soient égales.

Cela signifie donc que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro par valeurs supérieures de 𝑓 de 𝑥 doit être égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro par valeurs inférieures de 𝑓 de 𝑥. Comme 𝑥 tend vers zéro plus, nous avons que 𝑓 de 𝑥 sera égal à 𝑥 moins trois. Et cela parce que quand 𝑥 est juste supérieure à zéro, 𝑥 sera toujours inférieur ou égal à trois. Et donc, par conséquent, notre fonction 𝑓 de 𝑥 sera égale à 𝑥 moins trois. Et ce n’est qu’une fonction polynomiale.

Nous pouvons donc utiliser la substitution directe afin de trouver la limite par valeurs supérieures. Nous trouvons donc que la limite lorsque 𝑥 s’approche de zéro au-dessus de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑓 de zéro, ce qui correspond également à zéro moins trois, ou tout simplement à moins trois.

Ensuite, si nous considérons que la limite lorsque 𝑥 s’approche de zéro par en dessous, nous savons que 𝑓 de 𝑥 est à nouveau égal à 𝑥 moins trois, puisque zéro est inférieur ou égal à trois, ce qui signifie que notre valeur 𝑥 est inférieure ou égale à trois. Donc, donc, 𝑓 de 𝑥 doit être égal à 𝑥 moins trois. Encore une fois, c’est un polynôme. Nous allons donc utiliser la substitution directe afin de trouver la limite lorsque 𝑥 s’approche de zéro par le bas, ce qui nous donne que la limite est égale à 𝑓 égale à zéro, ce qui correspond à nouveau à zéro moins trois ou à moins trois.

Nous avons donc constaté que la limite lorsque 𝑥 s’approche de zéro d’en haut et que la limite lorsque 𝑥 s’approche de zéro d’en bas sont égales. Et donc, cela satisfait notre condition pour que la limite existe. On peut ajouter à la fin de notre condition que ces deux limites à sens unique sera également égale à la limite lorsque 𝑥 se rapproche de zéro de 𝑓 de 𝑥.

Maintenant que nous savons que la limite existe, nous devons juste vérifier que nous pouvons utiliser la substitution directe pour la résoudre. Si 𝑥 est égal à zéro, 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 moins trois, ce qui est une fonction polynomiale, ce qui signifie que nous pouvons utiliser la substitution directe pour trouver la limite de cette fonction.

La fonction D est 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 plus un sur 𝑥. C’est encore une fonction rationnelle. Et nous pouvons encore dire qu’elle est égale à 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥, où 𝑝 de 𝑥 est égal à 𝑥 plus un et 𝑞 de 𝑥 est juste égal à 𝑥. Nous substituons 𝑥 est égal à zéro dans le dénominateur de la fraction, qui est 𝑞 de 𝑥. Nous constatons que 𝑞 de zéro est égal à zéro. Par conséquent, le dénominateur de 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro lorsque 𝑥 est égal à zéro. La substitution directe ne peut donc pas être utilisée pour trouver cette limite.

Pour la fonction E, nous avons 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 si 𝑥 est supérieur à zéro et deux 𝑥 moins un si 𝑥 est inférieur ou égal à zéro. Pour cette fonction définie par morceaux, nous devons à nouveau considérer les limites unilatérales à gauche et à droite de zéro afin de vérifier si la limite elle-même existe. Se souvenant que, pour que la limite existe, la limite lorsque 𝑥 se rapproche de zéro par valeurs supérieures doit être égale à la limite que 𝑥 se rapproche de zéro par valeurs inférieures de 𝑓 de 𝑥.

Lorsque 𝑥 est proche de zéro plus — cela signifie que 𝑥 est juste un peu plus grand que zéro — nous avons que 𝑓 de 𝑥 est égale à deux 𝑥, puisque 𝑥 est juste supérieure à zéro. 𝑓 de 𝑥 est égale à deux 𝑥 est juste un polynôme. Nous pouvons donc trouver la limite lorsque 𝑥 approche de zéro par valeurs supérieures en utilisant la substitution directe. Nous trouvons que c’est égal à 𝑓 de zéro, ce qui est égal à deux fois zéro, ou juste zéro.

Ensuite, nous considérerons la limite lorsque 𝑥 approche de zéro par en dessous. Quand 𝑥 est inférieur ou égal à zéro, nous avons que 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 moins un, ce qui est encore un polynôme. Nous pouvons donc trouver la limite en utilisant la substitution directe. Cela nous donne que la limite lorsque 𝑥 s’approche de zéro moins de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑓 de zéro, ou deux fois zéro moins un. Et comme deux fois zéro est juste zéro, nous obtenons que cela est égal à moins un.

Maintenant, si nous comparons ces limites unilatérales, nous pouvons voir qu’elles ne sont pas égales les unes aux autres. Cela nous indique que la limite n’existe pas ici. Nous ne pouvons donc pas utiliser la substitution directe pour trouver cette limite. Nous trouvons que la solution à cette question est C.

Compte tenu de 𝑓 de 𝑥 est égal à valeur absolue de 𝑥 plus 11 moins la valeur absolue de 𝑥 moins 18, trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers quatre 𝑓 de 𝑥.

Notre liste de conditions dans lesquelles les travaux de substitution directe ne comprennent pas la fonction valeur absolue. Cependant, nous pouvons penser à la fonction valeur absolue d’une autre manière. Nous pouvons écrire la valeur absolue de 𝑥 en tant que racine carrée de 𝑥 au carré. Puisque trouver la valeur absolue d’un nombre, c’est simplement prendre la valeur absolue de ce nombre et prendre le carré puis la racine d’un nombre nous donnera également la valeur absolue de ce nombre. La racine carrée de 𝑥 carré peut aussi être écrite comme 𝑥 carré à la puissance un demi.

𝑥 carré et 𝑥 à la puissance un demi sont les deux fonctions de puissance. Nous savons que nous pouvons appliquer une substitution directe aux fonctions de puissance. Et 𝑥 au carré à la puissance un demi est simplement une composition de deux fonctions de puissance. Par conséquent, nous pouvons également appliquer une substitution directe à cela. De là, nous pouvons voir que nous pouvons appliquer la substitution directe à la fonction valeur absolue de 𝑥.

Maintenant, nous sommes prêts à considérer la fonction 𝑓 de 𝑥. Nous considérons la valeur absolue de 𝑥 plus 11 et la valeur absolue de 𝑥 moins 18. Ici, nous prenons simplement les valeurs absolues de deux fonctions polynômes, qui sont 𝑥 plus 11 et 𝑥 moins 18. Ceci est simplement une composition d’une fonction polynomiale et une fonction de module. Et comme nous savons que nous pouvons appliquer une substitution directe aux fonctions polynomiales et aux fonctions valeurs absolues, nous savons que nous pouvons également appliquer une substitution directe à ces fonctions composées.

Maintenant 𝑓 de 𝑥 est tout simplement la différence de ces deux fonctions composées. On peut donc également appliquer la substitution directe à 𝑓 de 𝑥. Donc, la limite lorsque 𝑥 approche quatre 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑓 de quatre, qui est aussi égal à valeur absolue de quatre plus 11 moins la valeur absolue de quatre moins 18, ou abs 15 moins abs moins 14, ce qui est aussi égale à 15 moins 14. À partir de cela, nous trouvons que la solution à cette question est tout simplement un.

Nous avons maintenant vu une variété de limites qui peuvent être trouvées en utilisant la substitution directe et d’autres qui ne peuvent pas. Récapitulons certains des points clés de cette vidéo. Nous avons vu que la formule pour utiliser une substitution directe est que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche 𝑎 est égale à 𝑓 de 𝑎. Pour utiliser la substitution directe, la limite doit exister et la fonction doit être définie au point où nous prenons la limite. Enfin, la fonction dont nous prenons la limite doit être une fonction polynomiale, rationnelle, trigonométrique, exponentielle, logarithmique ou de puissance, ou une somme, une différence, un produit, un quotient ou une composition quelconque de ces types de fonctions.

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