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Vidéo de la leçon: Limites avec la méthode de substitution directe Mathématiques • Deuxième année secondaire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la méthode de substitution directe pour calculer des limites.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la méthode de substitution directe pour calculer des limites. Certaines conditions doivent être remplies pour pouvoir utiliser la méthode de substitution directe. Nous allons présenter ces conditions et regarder quelques exemples.

Commençons par rappeler la définition d’une limite. Pour une fonction 𝑓 de 𝑥, qui est définie aux alentours de 𝑎, on dit que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝐿. Cela signifie que plus 𝑥 se rapproche de 𝑎, plus la valeur de 𝑓 de 𝑥 se rapproche de 𝐿. De manière formelle, on écrit ceci de cette manière. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝐿.

Pour calculer une limite en utilisant la méthode de substitution directe, il faut simplement remplacer 𝑥 par 𝑎 dans 𝑓 de 𝑥. Et donc le résultat que nous obtenons par substitution directe est que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑓 de 𝑎. C’est ce que nous allons utiliser pour déterminer des limites en utilisant la méthode de substitution directe.

Cependant, il n’est possible d’utiliser la méthode de substitution directe pour trouver une limite que dans certains cas. La fonctions dont on cherche la limite – 𝑓 de 𝑥 - doit satisfaire au moins une des conditions suivantes.

La première condition qui nous permet d’utiliser la substitution directe est si la fonction 𝑓 de 𝑥 est un polynôme, c’est-à-dire si 𝑓 de 𝑥 est de la forme donnée ici, où les termes 𝑎 zéro à 𝑎 𝑛 sont tous des constantes. Alors, rappelons que cela inclut également les fonctions constantes.

La deuxième condition qui nous permet d’utiliser la substitution directe est si la fonction 𝑓 de 𝑥 est une fonction rationnelle. Cela signifie que 𝑓 de 𝑥 est égale à une fonction 𝑝 de 𝑥 sur une fonction 𝑞 de 𝑥, où 𝑝 de 𝑥 et 𝑞 de 𝑥 sont toutes les deux des fonctions polynômiales. Et il est aussi nécessaire que 𝑞 de 𝑎 soit non nulle, car si 𝑞 de 𝑎 est égale à zéro, alors le dénominateur de 𝑓 de 𝑎 est égal à zéro. Et donc 𝑓 de 𝑎 n’est pas définie.

La troisième condition est si 𝑓 de 𝑥 est une fonction trigonométrique, exponentielle ou logarithmique. La quatrième condition est si 𝑓 de 𝑥 est une fonction puissance. C’est-à-dire que 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 puissance 𝑝, où 𝑝 est un nombre réel. Notons que cela inclut également les puissances négatives et fractionnaires, telles que 𝑥 puissance moins un demi, ce qui est aussi égal à un sur racine carrée de 𝑥.

La cinquième condition est si 𝑓 de 𝑥 est la somme, la différence, le produit ou le quotient de fonctions pour lesquelles la substitution directe est autorisée. Donc, il peut s’agir de n’importe quelle combinaison des types de fonctions que nous avons déjà vues dans les conditions précédentes.

La dernière condition est si 𝑓 de 𝑥 est une fonction composée de fonctions pour lesquelles la substitution directe est autorisée. Cela signifie que si 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑔 de ℎ de 𝑥, où ℎ de 𝑥 permet la substitution en 𝑎 et 𝑔 de 𝑥 permet la substitution en ℎ de 𝑎. Alors, nous avons vu toutes les conditions pour lesquelles la méthode de substitution directe peut être utilisée pour calculer une limite. Nous sommes maintenant prêts pour regarder un exemple.

Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq de moins neuf 𝑥 au carré moins six 𝑥 moins neuf.

Ici, on nous demande de déterminer la limite de la fonction moins neuf 𝑥 au carré moins six 𝑥 moins neuf. Et donc nous pouvons appeler cette fonction 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 est simplement un polynôme. Par conséquent, nous pouvons utiliser la substitution directe pour calculer cette limite.

La méthode de substitution directe nous dit que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑓 de 𝑎. En appliquant cela à notre question, nous pouvons dire que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins cinq est égale à 𝑓 de moins cinq. Pour trouver la limite, nous remplaçons simplement moins cinq dans 𝑓 de 𝑥. Cela nous donne moins neuf multiplié par moins cinq au carré moins six multiplié par moins cinq moins neuf. Il peut être utile de mettre des parenthèses pour les nombres négatifs pour ne pas oublier le signe moins dans les multiplications de nombres négatifs.

Tout d’abord, développons moins cinq au carré. Souvenons-nous qu’un nombre négatif multiplié par un nombre négatif donne un nombre positif et nous obtenons que moins cinq au carré est égal à 25. Nous pouvons donc écrire moins neuf multiplié par 25. Ensuite, nous pouvons multiplier le moins six par le moins cinq, ce qui nous donne 30. Et puis nous devons simplement soustraire le neuf pour finir. En multipliant moins neuf par 25, nous obtenons moins 225. Et en faisant 30 moins neuf, nous obtenons 21. En ajoutons 21 à moins 225 nous obtenons un résultat de moins 204.

Dans cet exemple, nous avons vu comment appliquer la méthode de substitution directe pour déterminer la limite d’une fonction polynomiale. Nous allons ensuite considérer quelques fonctions et essayer de déterminer si elles remplissent ou non les conditions pour utiliser la substitution directe.

Laquelle des fonctions suivantes remplit les conditions pour utiliser la substitution directe pour le calcul de la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro ? A) 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 sur 𝑥 au carré moins deux 𝑥. B) 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 plus six sur 𝑥 moins deux sin 𝑥. C) 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 si 𝑥 est plus grand que trois et 𝑥 moins trois si 𝑥 est iplsu petit ou égal à trois. D) 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 plus un sur 𝑥. Et E) 𝑓 de 𝑥 égale à deux 𝑥 si 𝑥 est plus grand que zéro et deux 𝑥 moins un si 𝑥 plus petit ou égal à zéro.

Afin de déterminer pour laquelle de ces fonctions nous pouvons utiliser la substitution directe pour calculer la limite, il faut vérifier pour chaque fonction les conditions qui permettent d’appliquer la substitution directe. Pour la fonction A, nous avons 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 sur 𝑥 au carré moins deux 𝑥. Il s’agit d’une fonction rationnelle. Et si nous écrivons 𝑓 de 𝑥 comme 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥, alors nous avons 𝑝 de 𝑥 égale à 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 et 𝑞 de 𝑥 égale à 𝑥 au carré moins deux 𝑥.

Comme 𝑝 de 𝑥 et 𝑞 de 𝑥 sont des polynômes, la seule condition que nous devons vérifier est que le dénominateur de la fraction est non nul pour 𝑥 égal à zéro. Le dénominateur de la fonction est 𝑞 de 𝑥. Alors déterminons la valeur de 𝑞 de zéro. Nous remplaçons simplement 𝑥 par zéro dans 𝑥 au carré moins deux 𝑥, ce qui nous donne zéro au carré moins deux fois zéro. Et zéro carré et deux fois zéro donnent tous les deux zéro. Donc, 𝑞 de zéro est égal à zéro. Cela signifie que le dénominateur de la fonction est égal à zéro lorsque 𝑥 est égal à zéro. Nous ne pouvons donc pas utiliser la méthode de substitution directe pour calculer cette limite.

Passons à la fonction B, nous avons 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 plus six sur 𝑥 moins deux sin 𝑥. Et il s’agit d’un quotient de deux fonctions. Nous pouvons donc écrire 𝑓 de 𝑥 comme 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥, où 𝑝 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 plus six et 𝑞 de 𝑥 est égal à 𝑥 moins deux sin 𝑥.

Afin d’utiliser la substitution directe pour trouver la limite de cette fonction, il faut de nouveau vérifier la valeur du dénominateur pour 𝑥 égal à zéro. Nous obtenons que 𝑞 de zéro est égal à zéro moins deux multiplié par sin de zéro. Et cela est égal à moins deux sin de zéro. Cependant, le sin de zéro est égal à zéro. Et nous obtenons que 𝑞 de zéro est également égal à zéro.

Donc, de la même manière que pour la fonction A, nous avons obtenu que le dénominateur de la fonction B est nul lorsque 𝑥 est égal à zéro. Et donc, encore une fois, nous ne pouvons pas utiliser la substitution directe pour trouver la limite de cette fonction.

Passons à la fonction C, nous avons 𝑓 de 𝑥 égal à 𝑥 si 𝑥 est plus grand que trois et 𝑥 moins trois si 𝑥 est plus petit ou égal à trois. Afin de déterminer si nous pouvons utiliser la substitution directe pour trouver la limite de cette fonction, il faut d’abord déterminer si la limite existe réellement pour cette fonction. Pour que la limite existe, il faut que les limites des deux côtés de zéro soient égales.

Cela signifie donc que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro plus doit être égale à la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro moins. Lorsque 𝑥 tend vers zéro plus, nous avons 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 moins trois. Et c’est parce que lorsque 𝑥 est juste plus grand que zéro, 𝑥 est aussi plus petit ou égal à trois. Et donc, par conséquent, la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 moins trois. Et il s’agit simplement d’une fonction polynomiale.

Nous pouvons donc utiliser la méthode de substitution directe pour trouver la limite en zéro plus. Et donc nous obtenons que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro plus est égale à 𝑓 de zéro, ce qui est égal à zéro moins trois, soit simplement moins trois.

Ensuite, si nous considérons la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro moins, nous savons que 𝑓 de 𝑥 est à nouveau égale à 𝑥 moins trois, puisque zéro est inférieur ou égal à trois, ce qui signifie que la valeur de 𝑥 est plus petite ou égale à trois. Donc, 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 moins trois. Encore une fois, il s’agit d’un polynôme. Nous allons donc utiliser la substitution directe afin de trouver la limite lorsque 𝑥 tend zéro moins, ce qui nous donne que la limite est égale à 𝑓 de zéro, ce qui est encore égal à zéro moins trois, soit moins trois.

Nous avons donc obtenu que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro plus et la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro moins sont égales. Et donc, cela satisfait à la condition qui dit que la limite doit exister. Nous pouvons ajouter à la fin de la condition que ces deux limites en zéro moins et zéro plus sont également égales à la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro

Maintenant que nous savons que la limite existe, il suffit de vérifier que nous pouvons utiliser la substitution directe pour la résoudre. En 𝑥 égal zéro, 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 moins trois, ce qui est une fonction polynôme, ce qui signifie que nous pouvons utiliser la substitution directe pour trouver la limite de cette fonction.

La fonction D est 𝑓 de 𝑥 égal 𝑥 plus un sur 𝑥. C’est encore une fois une fonction rationnelle. Et nous pouvons encore dire qu’elle est égale à 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥, où 𝑝 de 𝑥 est égal à 𝑥 plus un et 𝑞 de 𝑥 est simplement égal à 𝑥. Nous remplaçons 𝑥 par zéro au dénominateur de la fraction, qui est 𝑞 de 𝑥. Nous obtenons que 𝑞 de zéro est égal à zéro. Par conséquent, le dénominateur de 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro lorsque 𝑥 est égal à zéro. La substitution directe ne peut donc pas être utilisée pour déterminer cette limite.

Pour la fonction E, nous avons 𝑓 de 𝑥 égal à deux 𝑥 si 𝑥 est plus grand que zéro et deux 𝑥 moins un si 𝑥 est plus petit ou égal à zéro. Pour cette fonction définie par morceaux, il faut à nouveau considérer les limites à gauche et à droite de zéro afin de vérifier si la limite elle-même existe. Rappelons que, pour que la limite existe, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro plus doit être égale à la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro moins.

Lorsque 𝑥 tend vers zéro plus - cela signifie donc que 𝑥 est juste un peu plus grand que zéro - nous avons 𝑓 de 𝑥 égal à deux 𝑥, puisque 𝑥 est juste plus grand que zéro. 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 est juste un polynôme. Nous pouvons donc trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro plus en utilisant la substitution directe. Nous obtenons que la limite est égale à 𝑓 de zéro, ce qui est égal à deux fois zéro, soit simplement zéro.

Ensuite, nous allons considérer la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro moins. Lorsque 𝑥 est plus petit ou égal à zéro, nous avons 𝑓 de 𝑥 égal à deux 𝑥 moins un, ce qui est encore un polynôme. Nous pouvons donc trouver la limite en utilisant la substitution directe. Cela nous donne que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro moins est égale à 𝑓 de zéro, soit deux fois zéro moins un. Et puisque deux fois zéro est égal à zéro, nous obtenons que la limite est égale à moins un.

Maintenant, si nous comparons ces limites à droite et à gauche, nous pouvons voir qu’elles ne sont pas égales. Cela nous indique que la limite n’existe pas ici. Nous ne pouvons donc pas utiliser la substitution directe pour trouver cette limite. La réponse à cette question est la fonction C.

Sachant que 𝑓 de 𝑥 est égal au module de 𝑥 plus 11 moins le module de 𝑥 moins 18, déterminez la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers quatre.

Alors, la liste de conditions associée à la méthode de substitution directe ne comprend pas la fonction module. Cependant, nous pouvons écrire la fonction module d’une autre manière. Nous pouvons écrire le module de 𝑥 comme racine carrée de 𝑥 au carré. Comme prendre le module d’un nombre revient à prendre la valeur absolue de ce nombre et que prendre le carré puis la racine d’un nombre nous donne également la valeur absolue de ce nombre. La racine carrée de 𝑥 au carré peut également s’écrire comme 𝑥 au carré puissance un demi.

𝑥 au carré et 𝑥 puissance un demi sont toutes les deux des fonctions puissance. Nous savons que nous pouvons utiliser la substitution directe pour les fonctions puissance. Et 𝑥 au carré puissance un demi est simplement la composée de deux fonctions puissance. Par conséquent, nous pouvons également utiliser la substitution directe ici. Nous avons donc montré que nous pouvons utiliser la substitution directe pour la fonction mod 𝑥.

Maintenant, nous sommes prêts à travailler avec la fonction 𝑓 de 𝑥. Nous avons module de 𝑥 plus 11 et module de 𝑥 moins 18. Ici, nous prenons simplement les modules de deux fonctions polynomiales, qui sont 𝑥 plus 11 et 𝑥 moins 18. Il s’agit simplement de la composée d’une fonction polynomiale et de la fonction module. Et puisque nous savons que nous pouvons utiliser la substitution directe avec les fonctions polynomiales et la fonction module, nous savons que nous pouvons également utiliser la substitution directe avec les fonctions composées.

Alors, 𝑓 de 𝑥 est simplement la différence de ces deux fonctions composées. Par conséquent, nous pouvons également utiliser la substitution directe pour 𝑓 de 𝑥. Donc, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers quatre est égale à 𝑓 de quatre, ce qui est également égal au module de quatre plus 11 moins le module de quatre moins 18, ou mod 15 moins mod de moins 14, qui est également égal à 15 moins 14. Nous obtenons donc que la réponse à cette question est simplement un.

Alors, nous avons vu qu’il est possible de déterminer différents types de limites en utilisant la substitution directe et que certaines limites ne peuvent pas être calculées. Rappelons quelques points clés de cette vidéo. La formule pour utiliser la substitution directe est que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑓 de 𝑎. Pour utiliser la substitution directe, la limite doit exister et la fonction doit être définie au point où l’on cherche la limite. Et enfin, la fonction dont on cherche la limite doit être soit une fonction polynomiale, une fonction rationnelle, une fonction trigonométrique, une fonction exponentielle, une fonction logarithmique ou une puissance, soit la somme, la différence, le produit, le quotient ou la composée d’une de ces fonctions.

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