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Déterminez la valeur de sinus moins 60 degrés multiplié par cosinus 30 degrés plus tangente 57 degrés sur cotangente 33 degrés, en donnant la réponse dans sa forme la plus simple.
Nous répondrons à cette question en examinant séparément les deux parties de notre expression. Nous commençons par rappeler que puisque la fonction sinus est une fonction impaire, sinus moins 𝜃 est égal à moins sinus 𝜃. Cela signifie que sinus moins 60 degrés est égal à moins sinus 60 degrés. La première partie de notre expression peut être réécrite comme moins sinus 60 degrés multiplié par cosinus 30 degrés.
Nous savons que 30 degrés et 60 degrés sont deux de nos angles spéciaux. Le sinus de 60 degrés et le cosinus de 30 degrés sont tous deux égaux à racine de trois sur deux. Cela signifie que cette partie de notre expression est égale à moins racine de trois sur deux multiplié par racine de trois sur deux. Puisque racine de trois multiplié par racine de trois égale trois et que deux multiplié par deux égale quatre, cela se simplifie en moins trois quarts.
Considérons maintenant la seconde partie de notre expression. Les angles 57 degrés et 33 degrés sont complémentaires car leur somme est 90 degrés. Cela signifie que 57 degrés est égal à 90 degrés moins 33 degrés. Cela signifie que nous pouvons réécrire le numérateur comme tangente 90 degrés moins 33 degrés. Ensuite, nous rappelons l’une des identités des angles complémentaires. Nous avons tangente 90 degrés moins 𝜃 égale cotangente 𝜃. Cela signifie que tangente 90 degrés moins 33 degrés égale cotangente 33 degrés. Nous avons cotangente 33 degrés divisé par cotangente 33 degrés. Cela est égal à un.
L’expression sinus moins 60 degrés multiplié par cosinus 30 degrés plus tangente 57 degrés divisé par cotangente 33 degrés est égale à moins trois quarts plus un, ce qui est égal à un quart. La valeur de l’expression dans sa forme la plus simple est un quart.
