Video Transcript
Soit 𝑋 une variable aléatoire continue dont la loi de probabilité a pour densité la fonction 𝑓 de 𝑥 représentée par le graphique suivant. Déterminez la valeur de 𝑎 pour laquelle la probabilité que 𝑋 soit supérieur à cinq mais inférieur à 𝑎 est égale à un tiers.
On rappelle tout d’abord que pour une variable aléatoire continue 𝑋, la probabilité que 𝑋 appartienne à un intervalle donné est égale à l’aire sous la courbe de sa fonction de densité 𝑓 de 𝑥 sur cet intervalle. On veut trouver la probabilité que 𝑋 soit supérieur à cinq mais inférieur à une certaine valeur 𝑎. Donc, cette probabilité correspond à l’aire hachurée en orange.
Et on sait combien cette aire hachurée en orange doit valoir. Elle doit être égale à un tiers. On connaît également la longueur de ce rectangle. On peut voir sur la courbe représentative de la fonction de densité que la longueur de ce rectangle est égale à un sixième. Dans le sens de la largeur, le rectangle va de cinq à notre valeur inconnue 𝑎. Donc, une expression de la largeur de notre rectangle est 𝑎 moins cinq. On sait que pour calculer l’aire d’un rectangle, on multiplie sa longueur par sa largeur et cela nous permet de former une équation. Un sixième fois 𝑎 moins cinq est égal à un tiers. On peut maintenant déterminer la valeur de 𝑎 en résolvant cette équation.
On commence par multiplier les deux membres de l’équation par six. Sur le côté gauche de l’équation, on a 𝑎 moins cinq, et sur le côté droit, on a six fois un tiers, c’est-à-dire six divisé par trois, ce qui est égal à deux. Puis on additionne cinq aux deux membres de l’équation et on obtient 𝑎 égale sept.
Donc, sachant que, pour une variable aléatoire continue 𝑋, la probabilité que 𝑋 appartienne à un intervalle donné est égale à l’aire sous le graphe de sa fonction de densité sur cet intervalle, on a pu déterminer que la valeur de 𝑎 qui vérifie «la probabilité que 𝑋 soit supérieur à cinq mais inférieur à 𝑎 est égale à un tiers» est sept.
