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Sachant que la matrice 𝐴 égale moins un, quatre, moins un, 11 et 𝐼 est la matrice identité du même ordre que 𝐴, déterminez le produit de 𝐴 fois 𝐼 et 𝐼 au carré.
On peut commencer par rappeler que la matrice identité est une matrice carrée avec des uns le long de la diagonale principale et des zéros partout ailleurs. Dans ce cas, la matrice identité deux fois deux a des éléments un, zéro, zéro, un. Pour la première partie de cette question, on doit multiplier la matrice identité par la matrice 𝐴. Pour multiplier deux matrices, on multiplie les éléments de chaque ligne de la première matrice par chaque colonne de la deuxième matrice. On commence par multiplier les éléments de la première ligne de la première matrice par la première colonne de la deuxième matrice. Cela nous donne moins un fois un plus quatre fois zéro.
On obtient ensuite moins un fois zéro plus quatre fois un. On répète ensuite ce processus avec les éléments de la deuxième ligne de la première matrice. On obtient moins un fois un plus 11 fois zéro, et l'élément en bas à droite est moins un fois zéro plus 11 fois un. On obtient donc la matrice moins un, quatre, moins un, 11. Et la matrice 𝐴𝐼 est donc identique à la matrice 𝐴. Cela nous amène à la règle générale qui stipule que le produit de la matrice 𝐴 et la matrice identité est égal à la matrice 𝐴. Dans le cas de la matrice identité, cette relation est commutative. On a 𝐴 multiplié par 𝐼 égale 𝐼 multiplié par 𝐴, qui est égale à la matrice 𝐴.
La deuxième partie de notre question nous demande de calculer la matrice 𝐼 au carré. Il faut multiplier la matrice un, zéro, zéro, un par la matrice un, zéro, zéro, un. L'élément en haut à gauche sera égal à un puisque nous avons un fois un plus zéro fois zéro. En haut à droite, nous avons zéro. On multiplie les éléments de la première ligne de la première matrice par la deuxième colonne de la deuxième matrice.
En répétant ce processus, on obtient l'élément zéro et un dans la deuxième ligne. Donc 𝐼 au carré sera égale à un, zéro, zéro, un, qui est la matrice identité. On peut donc conclure que 𝐼 au carré égale 𝐼. Cela nous conduit à une deuxième règle générale relative à la multiplication matricielle. En élevant la matrice identité à une puissance quelconque, on obtient la matrice identité. Si la matrice 𝐴 est égale à moins un, quatre, moins un, 11, alors 𝐴𝐼 égale 𝐴 et 𝐼 au carré égale 𝐼.
