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Soit la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale cinq plus 𝑎 fois 𝑥 plus 𝑏 fois 𝑥 au carré. Supposons que la variation en 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 change de moins un à deux est égale à six, et que le taux d’accroissement de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale 2 est égal à 17. Déterminez 𝑎 et 𝑏.
Dans cette question, on nous donne une fonction polynomiale 𝑓 de 𝑥 qui comprend deux constantes inconnues, 𝑎 et 𝑏. On nous demande de déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏 à partir des informations suivantes. La variation en 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 varie de moins un à deux est égale à six. Le taux d’accroissement de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale deux est égal à 17.
Nous rappelons que la variation d’une fonction 𝑔 de 𝑥 entre 𝑥 égale 𝑐 et 𝑥 égale 𝑑 est donnée par 𝑔 de 𝑑 moins 𝑔 de 𝑐. Il s’agit de la variation de notre fonction 𝑔 quand 𝑥 varie de 𝑐 à 𝑑.
Il est précisé dans l’énoncé que la variation en 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 varie de moins un à deux est égale six. Autrement dit, 𝑓 de deux moins 𝑓 de moins un est égal à six. En remplaçant 𝑥 par deux et par moins un dans notre fonction 𝑓 de 𝑥, nous trouve que la variation en 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 varie de moins un à deux est égale à cinq plus 𝑎 fois deux plus 𝑏 fois deux au carré moins cinq plus 𝑎 fois moins un plus 𝑏 fois moins un au carré. En développant, nous obtenons cinq plus deux 𝑎 plus quatre 𝑏 moins cinq plus 𝑎 moins 𝑏.
Enfin, remarquons que cinq moins cinq est égal à zéro. Aussi, deux 𝑎 plus 𝑎 est égal à trois 𝑎. Enfin, quatre 𝑏 moins 𝑏 est égal à trois 𝑏. Ainsi, en utilisant le fait que la variation en 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 varie entre moins un et deux est égale à six, nous avons montré que six est égal à trois 𝑎 plus trois 𝑏.
Nous pouvons d’ailleurs diviser par trois les deux membres de cette équation pour obtenir deux égale 𝑎 plus 𝑏. Sachant que 𝑎 et 𝑏 pourraient être n’importe quelles constantes, l’équation deux égale 𝑎 plus 𝑏 admet de nombreuses solutions. Ainsi, nous avons besoin d’informations supplémentaires pour déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏.
Nous allons donc utiliser la seconde information donnée dans l’énoncé. On nous dit que le taux d’accroissement de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale deux est égal à 17. Nous rappelons que le taux d’accroissement de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale 𝑎 est donné par 𝑓 prime de 𝑎 égale la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎, le tout divisé par ℎ, si cette limite existe.
Puisqu’on nous dit que le taux d’accroissement de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale deux est égal à 17, nous posons que 𝑎 est égal à deux. Ainsi, nous obtenons 17 est égal 𝑓 prime de deux. D’après notre définition du taux d’accroissement, ceci est aussi égal à la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de deux plus ℎ moins 𝑓 de deux, le tout divisé par ℎ.
Nous évaluons 𝑓 de deux plus ℎ et 𝑓 de deux et nous obtenons la limite quand ℎ tend vers zéro de cinq plus 𝑎 fois deux plus ℎ plus 𝑏 fois deux plus ℎ au carré moins cinq plus 𝑎 fois deux plus 𝑏 fois deux au carré, le tout divisé par ℎ. Nous voyons que nous avons cinq et moins cinq. Ils se simplifient donc.
Nous pouvons maintenant commencer à simplifier notre limite. En développant le premier terme, nous obtenons deux 𝑎 plus ℎ𝑎. En développant le second terme, deux plus ℎ le tout au carré, nous obtenons quatre plus quatre ℎ plus ℎ au carré. Puis, nous soustrayons deux 𝑎 et 𝑏 fois deux au carré, c’est-à-dire quatre 𝑏. Enfin, nous divisons le tout par ℎ.
Nous pouvons simplifier cette expression davantage. Nous avons deux 𝑎 et moins deux 𝑎, ils se simplifient donc. Puis, nous voyons que nous multiplions 𝑏 par quatre, ce qui nous donne quatre 𝑏. Or, nous avons également moins quatre 𝑏. Ainsi, nous pouvons simplifier ces deux termes. Enfin, nous finissons de développer le numérateur pour obtenir la limite quand ℎ tend vers zéro de ℎ fois 𝑎 plus quatre ℎ𝑏 plus ℎ au carré fois 𝑏, le tout divisé par ℎ.
Cependant, nous ne pouvons pas encore utiliser la substitution directe pour calculer cette limite. Pour remédier à cela, nous simplifions par le facteur commun ℎ au numérateur et au dénominateur pour obtenir la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑎 plus quatre 𝑏 plus ℎ𝑏. Nous remarquons alors que la fonction dans notre limite est une fonction affine de ℎ. Nous en déduisons que nous pouvons utiliser la substitution directe.
Ainsi, nous remplaçons ℎ par zéro, ce qui nous donne 𝑎 plus quatre fois 𝑏 plus zéro fois 𝑏. Zéro fois 𝑏 est égal à zéro. Ainsi, le taux d’accroissement de notre fonction 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale deux est égal à 𝑎 plus quatre 𝑏. Nous savons aussi que ce taux d’accroissement est aussi égal à 17. Ainsi, nous avons maintenant un système de deux équations d’inconnues 𝑎 et 𝑏. Nos deux équations sont deux égale 𝑎 plus 𝑏 et 17 égale 𝑎 plus quatre 𝑏.
Il existe plusieurs façons de résoudre ce système d’équations. Nous choisissons de soustraire l’équation du bas à celle du haut. Nous soustrayons 17 à deux, ce qui nous donne moins 15. Puis, nous soustrayons 𝑎 à 𝑎, ce qui nous donne zéro. Enfin, nous soustrayons quatre 𝑏 à 𝑏, ce qui nous donne moins trois 𝑏. Ainsi, nous obtenons que moins 15 est égal à moins trois 𝑏. En divisant les deux membres de cette équation par moins trois, nous trouvons que 𝑏 est égal à cinq.
À présent, nous pouvons trouver la valeur de 𝑎 en remplaçant 𝑏 par cinq dans l’une ou l’autre de nos deux équations. Nous choisissons de remplacer 𝑏 par cinq dans l’équation du haut, deux égale 𝑎 plus 𝑏, ce qui nous donne deux égale 𝑎 plus cinq. Enfin, nous soustrayons cinq des deux côtés pour obtenir que 𝑎 est égal à moins trois.
Ainsi, si 𝑓 de 𝑥 est égal à cinq plus 𝑎𝑥 plus 𝑏 au carré. Puis, si la variation de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 varie de moins un à deux est égale six. Enfin, si le taux de variation de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale deux est égal à 17. Alors, 𝑎 est égal à moins trois et 𝑏 est égal à cinq.
