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On considère les points 𝐴 un, 𝑥 ; 𝐵 𝑦, un ; 𝐶 trois, moins un ; et 𝐷 deux, cinq, déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦 si l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 vaut deux unités carrées, et que les points 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont alignés.
Dans cette question, on nous donne quatre points, 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷, et nous pouvons voir que les points 𝐴 et 𝐵 ont une coordonnée inconnue. Nous devons trouver les valeurs de ces coordonnées inconnues en utilisant les informations fournies. On nous dit que l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 est de deux unités carrées, et on nous dit également que les points 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont alignés. Et il existe de nombreuses façons différentes de déterminer les valeurs de 𝑥 et 𝑦 ; cependant, nous n’utiliserons que l’une d’entre elles.
Nous pouvons commencer par remarquer que nous pouvons calculer à la fois l’aire d’un triangle à partir des coordonnées de ses sommets et déterminer si trois points sont alignés en utilisant des déterminants. Nous allons donc répondre à cette question en utilisant des déterminants. Nous pourrions être tentés de commencer par la première information qui nous est donnée que l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 est de deux unités carrées. Cependant, deux des sommets de ce triangle sont 𝐴 et 𝐵, et nous ne connaissons pas la valeur de 𝑥 ni la valeur de 𝑦. Donc, cela nous donnerait une expression impliquant deux inconnues. Au lieu de cela, en utilisant le fait que 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont alignés, nous trouverons une expression impliquant uniquement 𝑦.
Donc, nous allons commencer par rappeler que si trois points 𝑥 indice un, 𝑦 indice un ; 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux ; et 𝑥 indice trois, 𝑦 indice trois sont alignés, alors le déterminant de la matrice trois fois trois 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, un, 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux, un, 𝑥 indice trois, 𝑦 indice trois, un doit être égal à zéro. Par conséquent, comme on nous dit que les points 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont alignés, nous pouvons remplacer leurs coordonnées dans cette équation. Cela nous donne que le déterminant de la matrice trois fois trois 𝑦, un, un, trois, moins un, un, deux, cinq, un doit être égal à zéro.
Maintenant, nous pouvons trouver la valeur de 𝑦 en évaluant le déterminant. Pour ce faire, nous allons développer selon la première ligne. N’oubliez pas que la parité de la somme des numéros de ligne et de colonne changera le signe du terme. En particulier, dans ce cas, nous multiplions le premier terme par plus un, le deuxième terme par moins un, et le troisième terme par plus un. Nous obtenons 𝑦 fois le déterminant de moins un, un, cinq, un moins le déterminant de trois, un, deux, un plus le déterminant de trois, moins un, deux, cinq. Maintenant, tout ce qui reste à faire est d’évaluer cette expression.
Rappelez-vous, pour trouver le déterminant d’une matrice deux fois deux, nous devons trouver la différence entre les produits des diagonales. Nous obtenons 𝑦 fois moins un moins cinq moins trois moins deux plus 15 plus deux. Si nous distribuons et simplifions, nous obtenons moins six 𝑦 moins un plus 17. Et rappelez-vous, c’est égal à zéro. Enfin, nous pouvons trouver 𝑦. Moins un plus 17 vaut 16. Nous soustrayons 16 des deux côtés de l’équation et divisons par moins six. Donc 𝑦 vaut moins 16 divisé par moins six, ce qui se simplifie pour nous donner huit divisé par trois.
Maintenant que nous avons déterminé la valeur de 𝑦, nous pouvons utiliser l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 pour déterminer la valeur de 𝑥. Pour ce faire, commençons par libérer de l’espace et gardons à l’esprit que 𝑦 vaut huit divisé par trois. Nous devons maintenant nous rappeler comment déterminer l’aire d’un triangle compte tenu des coordonnées de ses sommets en utilisant des déterminants. Nous rappelons l’aire d’un triangle de sommets 𝑥 indice un, 𝑦 indice un ; 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux ; 𝑥 indice trois, 𝑦 indice trois est la moitié de la valeur absolue du déterminant de la matrice trois fois trois 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, un, 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux, un, 𝑥 indice trois, 𝑦 indice trois, un.
Par conséquent, nous pouvons simplement substituer les coordonnées de 𝐴, 𝐵 et 𝐶 dans cette formule pour trouver l’aire du triangle. Cela nous donne l’aire du triangle qui est la moitié de la valeur absolue du déterminant de la matrice trois fois trois : un, 𝑥, un, huit sur trois, un, un, trois, moins un, un. Et on nous dit dans la question que l’aire de ce triangle est de deux unités carrées, donc cela doit être égal à deux.
Nous voulons maintenant résoudre ce problème pour 𝑦. Nous allons commencer par multiplier les deux côtés de l’équation par deux. Maintenant, nous devons évaluer le déterminant de la matrice trois fois trois. Nous le ferons une fois de plus en développant selon la première ligne. Cela nous donne que quatre est égal à la valeur absolue du déterminant de la matrice deux fois deux : un, un, moins un, un moins 𝑥 fois le déterminant de la matrice deux fois deux : huit sur trois, un, trois, un plus le déterminant de la matrice deux fois deux : huit sur trois, un, trois, moins un.
Ensuite, nous évaluerons le déterminant des matrices deux fois deux. Nous prenons la différence des produits des diagonales. Cela nous donne que quatre est égal à la valeur absolue de un plus un moins 𝑥 fois huit sur trois moins trois plus moins huit sur trois moins trois. Maintenant, nous allons distribuer sur nos parenthèses et simplifier. Nous obtenons quatre est égal à la valeur absolue de 𝑥 sur trois moins 11 sur trois. Et maintenant, nous avons juste besoin de résoudre cette équation de valeur absolue. Pour faciliter les choses, nous allons commencer par mettre le facteur d’un tiers en dehors de la valeur absolue. Cela nous donne quatre est égal à un tiers de la valeur absolue de 𝑥 moins 11. Et nous pouvons simplifier davantage en multipliant les deux côtés de notre équation par trois. Nous obtenons 12 est égal à la valeur absolue de 𝑥 moins 11.
Et enfin, pour que la valeur absolue d’un nombre soit égale à 12, ce nombre doit être égal à 12 ou moins 12. En d’autres termes, la seule solution à cette équation est lorsque 𝑥 moins 11 vaut 12 ou lorsque 𝑥 moins 11 vaut moins 12. Et nous pouvons résoudre ces deux équations séparément. Dans notre première équation, nous ajoutons 11 aux deux côtés pour obtenir 𝑥 égale 23. Et dans notre deuxième équation, nous ajoutons 11 aux deux côtés pour obtenir 𝑥 égale moins un. Et cela nous donne alors notre réponse finale : 𝑥 peut être égal à 23 ou moins un et 𝑦 doit être égal à huit sur trois.
