Transcription de la vidéo
Vrai ou faux : l’ensemble des couples suivant représente une fonction : l’ensemble contenant un, trois ; deux, six ; trois, neuf ; quatre, 12.
Dans cette question, on nous donne un ensemble de couples, et nous devons déterminer si cet ensemble représente une fonction. Pour cela, commençons par rappeler ce que nous entendons par une fonction. Une fonction associe à chaque élément d’un ensemble exactement un élément d’un autre ensemble. Et il y a quelques points importants à noter. Par exemple, les deux ensembles mentionnés peuvent être égaux. Et la chose importante à noter est qu’une fonction associe une valeur de départ à exactement une seule valeur de l’ensemble d’arrivée, son image. Et cela signifie que lorsque nous passons une valeur de départ à une fonction, nous obtenons toujours la même image par la fonction.
Cependant, dans cette question, on ne nous donne une expression algébrique de la fonction ; on nous donne un ensemble de couples. Et un ensemble de couples est appelé une relation. En fait, c’est une relation binaire. Et donc pour répondre à cette question, nous devons nous rappeler comment une relation peut représenter une fonction. Nous rappelons que pour qu’une relation représente une fonction, la première valeur du couple doit représenter la valeur de départ et la seconde valeur, son image. Par exemple, si 𝑥, 𝑦 est un élément de notre relation, alors nous disons que 𝑥 est la valeur de départ de la fonction et 𝑦 l’image de 𝑥 par la fonction.
Nous pourrions maintenant commencer à regarder la relation qui nous est donnée dans la question. Cependant, nous allons nous poser la question suivante : comment garantir qu’une relation représente une fonction ? Nous savons que les fonctions associent chaque élément d’un ensemble à exactement un élément du second ensemble. En d’autres termes, chaque valeur de départ est associée à exactement une valeur d’arrivée. Et nous posons la question, qu’est-ce que cela signifie pour notre relation ? Si les premières valeurs de nos couples représentent les valeurs de départ et que nous devons les associer à exactement un élément de l’ensemble d’arrivée, alors nous avons besoin que chaque valeur de départ n’apparaisse qu’une seule fois dans notre relation. Sinon, nous essayerions d’associer une valeur de départ à deux images différentes.
Et nous pouvons voir que cela est vrai dans cet ensemble. La valeur d’entrée un n’apparaît qu’une seule fois, deux n’apparaît qu’une seule fois, trois n’apparaît qu’une seule fois et quatre n’apparaît qu’une seule fois. Nous n’avons même pas besoin de regarder les valeurs d’arrivée pour déterminer si cette relation représente une fonction. Par conséquent, nous avons pu montrer qu’il est vrai que la relation définie par l’ensemble contenant un, trois ; deux, six ; trois, neuf ; quatre, 12 représente une fonction.
