Vidéo question :: Déterminer l’ensemble image de fonctions du second degré Mathématiques • Deuxième secondaire

Transcription de la vidéo

On pose 𝑓 une fonction définie sur l’ensemble constitué des éléments moins quatre, moins un, quatre et moins deux et à valeurs dans l’intervalle fermé six, 25, avec 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus cinq, déterminez l’ensemble image de 𝑓.

Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥 définie explicitement. Notre fonction 𝑓 de 𝑥 est une fonction du second degré. À une valeur 𝑥, elle associe la valeur 𝑥 au carré plus cinq. On nous demande de déterminer l’ensemble image de notre fonction 𝑓. Pour cela, commençons par rappeler ce qu’est l’ensemble image d’une fonction. L’ensemble image d’une fonction est l’ensemble des valeurs que cette fonction peut prendre. Et il y a bien sûr ici quelque chose qu’il est important de rappeler. Les valeurs prises par la fonction dépendent des valeurs de 𝑥.

Autrement dit, l’ensemble image d’une fonction dépend toujours de son ensemble de définition. Et on ne peut pas chercher les images d’une fonction tant qu’on ne connaît pas toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles cette fonction est définie. Donc, on doit commencer par déterminer l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓, c’est-à-dire toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓 est définie. On peut trouver cette information directement dans l’énoncé, où on nous dit que 𝑓 est une fonction définie sur l’ensemble constitué des éléments moins quatre, moins un, quatre et moins deux. Notre fonction est définie pour les valeurs de cet ensemble et uniquement pour les valeurs de cet ensemble. Donc, il s’agit de l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓.

On pourrait alors être tenté de dire que l’intervalle fermé six, 25 est l’ensemble image de notre fonction 𝑓. Mais cela serait faux. À ce stade, la seule chose dont on est sûr c’est que l’ensemble image est un sous-ensemble de cet intervalle, car cette notation indique seulement que 𝑓 associe aux valeurs de son ensemble de définition des valeurs de cet intervalle. Cela ne nous dit pas comment sont associées ces valeurs, ni où sont les images dans cet intervalle. C’est pourquoi nous avons besoin de la définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥. On est maintenant prêt à commencer à déterminer l’ensemble image de notre fonction 𝑓. On rappelle qu’il s’agit de toutes les valeurs possibles pour notre fonction 𝑓 étant donné son ensemble de définition. L’ensemble de définition ne contient que quatre éléments, donc il suffit simplement de calculer les images de ces quatre éléments par la fonction.

Commençons par moins quatre, la première valeur à apparaître dans l’ensemble de définition tel qu’il est donné dans l’énoncé. Pour calculer l’image de moins quatre, on remplace 𝑥 par moins quatre dans notre expression de 𝑓 de 𝑥. On obtient moins quatre au carré plus cinq. Ce qui est bien sûr égal à 21. Donc, on a trouvé que 𝑓 de moins quatre est égal à 21 et on en déduit que 21 appartient à l’ensemble image de 𝑓, car il s’agit de l’une des images de notre fonction. On peut procéder exactement de la même façon pour la prochaine valeur de l’ensemble de définition, moins un. 𝑓 de moins un est égal à moins un au carré plus cinq, ce qui est égal à six. Comme précédemment, on peut en déduire que six appartient à l’ensemble image de notre fonction 𝑓.

Faisons exactement la même chose pour notre prochaine valeur de 𝑥, quatre. 𝑓 de quatre est égal à quatre au carré plus cinq. On fait le calcul et on obtient 21. Cela ne nous apprend rien de nouveau, car on savait déjà que 21 appartenait à l’ensemble image de notre fonction 𝑓. Et lorsqu’on cherche à déterminer l’ensemble image d’une fonction, on s’intéresse seulement aux valeurs des images. Qu’une image soit associée à une seule ou plusieurs valeurs de 𝑥 n’a pas d’importance. Donc, savoir que la valeur 21 était l’image d’au moins une valeur de 𝑥 était déjà suffisant.

Passons à notre dernière valeur de 𝑥 dans l’ensemble de définition, moins deux. Pour calculer son image, on remplace 𝑥 par moins deux dans notre expression de 𝑓. Cela nous donne moins deux au carré plus cinq. On fait le calcul et on obtient neuf. Donc, il existe une valeur de 𝑥 qui a pour image neuf et comme précédemment, on peut en déduire que neuf appartient à l’ensemble image de notre fonction 𝑓. On a maintenant trouvé toutes les images de notre fonction 𝑓, car on a testé toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction 𝑓 est définie. Par conséquent, les trois valeurs qu’on a trouvées sont les seules valeurs possibles pour notre fonction.

Donc on peut maintenant donner notre réponse. N’oublions pas que l’ensemble image d’une fonction est un ensemble, donc on doit exprimer notre réponse sous forme d’ensemble. On rappelle que l’ordre dans lequel les éléments d’un ensemble apparaissent n’a pas d’importance. L’ensemble reste le même peu importe l’ordre dans lequel ses éléments sont notés. Donc, notre réponse est l’ensemble qui contient les éléments neuf, 21 et six. Cependant, vous pouvez écrire ces nombres dans l’ordre que vous voulez.

Ainsi, on a montré que si 𝑓 est une fonction définie sur l’ensemble moins quatre, moins un, quatre, moins deux et qu’elle est à valeurs dans l’intervalle fermé six, 25, avec 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus cinq, alors l’ensemble image de cette fonction 𝑓 est l’ensemble neuf, 21, six.