Transcription de la vidéo
Utilisez l’intégration par parties pour déterminer la valeur exacte de l’intégrale de 𝑥 au carré sinus de deux 𝑥 𝑑𝑥 entre zéro et 𝜋 sur quatre.
L’intégration par parties utilise la formule selon laquelle l’intégrale de 𝑢𝑣 prime est égale à 𝑢𝑣 moins l’intégrale de 𝑣𝑢 prime, où 𝑢 prime est la dérivée de 𝑢, et 𝑣 prime est la dérivée de 𝑣. Notre première étape consiste à séparer notre expression initiale 𝑥 au carré sinus de deux 𝑥 en 𝑢 et 𝑣 prime. Nous allons poser 𝑢 égal à 𝑥 au carré et 𝑣 prime égal à sinus de deux 𝑥.
Pour calculer une expression pour 𝑢 prime, nous devons dériver 𝑥 au carré. 𝑥 au carré se dérive en deux 𝑥. Pour élaborer une expression pour 𝑣, nous devons intégrer sinus de deux 𝑥, car l’intégration est le contraire de la dérivation. L’intégrale de sinus de deux 𝑥 est égale à moins cosinus de deux 𝑥 sur deux. La multiplication de 𝑥 au carré par moins cosinus de deux 𝑥 sur deux nous donne moins 𝑥 au carré cosinus de deux 𝑥 sur deux. La multiplication de deux 𝑥 par moins cosinus de deux 𝑥 sur deux nous donne moins deux 𝑥 cosinus de deux 𝑥 sur deux.
Puisque nous avons deux signes négatifs, cela pourrait se simplifier en moins 𝑥 carré cosinus de deux 𝑥 sur deux plus l’intégrale de deux 𝑥 cosinus de deux 𝑥 divisé par deux. Nous pouvons également annuler les deux après le signe de l’intégration, en divisant le numérateur et le dénominateur par deux. Nous devons maintenant essayer d’intégrer 𝑥 cosinus de deux 𝑥. Nous pouvons intégrer cette expression par parties une fois de plus.
Nous allons poser 𝑢 égal à 𝑥 et 𝑣 prime égale à cosinus de deux 𝑥. La dérivation de 𝑥 nous donne un. Par conséquent, 𝑢 prime est égal à un. L’intégration de cosinus de deux 𝑥 nous donne sinus de deux 𝑥 sur deux. En multipliant 𝑢 et 𝑣, 𝑥 et sinus de deux 𝑥 sur deux, nous obtenons 𝑥 sinus de deux 𝑥 sur deux. La multiplication de 𝑢 prime et 𝑣 nous donne le sinus de deux 𝑥 sur deux. Il nous reste maintenant moins 𝑥 carré cosinus de deux 𝑥 sur deux plus 𝑥 sinus de deux 𝑥 sur deux moins l’intégrale de sinus de deux 𝑥 sur deux.
L’intégration du troisième terme, sinus de deux 𝑥 sur deux, nous donne moins cosinus de deux 𝑥 sur quatre. Encore une fois, nos deux sinus négatifs peuvent devenir positifs. Cela signifie que l’intégrale de 𝑥 au carré sinus de deux 𝑥 est égale à moins 𝑥 au carré cosinus de deux 𝑥 sur deux plus 𝑥 sinus de deux 𝑥 sur deux plus cosinus de deux 𝑥 sur quatre. Notre dernière étape consiste à substituer nos deux limites, 𝜋 sur quatre et zéro, et à soustraire les deux réponses.
Tout d’abord, substituons 𝑥 égal à 𝜋 sur quatre. Avant de commencer, il convient de noter que nos fonctions trigonométriques sont cosinus de deux 𝑥 et sinus de deux 𝑥. Par conséquent, nous devons calculer cosinus de deux 𝜋 sur quatre et sinus de deux 𝜋 sur quatre. Deux 𝜋 sur quatre radians est la même chose que 𝜋 sur deux radians. 𝜋 sur deux radians est égal à 90 degrés. Nous savons avec nos graphiques trigonométriques que cosinus de 90 est égal à zéro. Par conséquent, le cosinus de 𝜋 sur deux radians doit également être égal à zéro.
Le sinus de 90 degrés est égal à un. Par conséquent, le sinus de 𝜋 sur deux radians est également égal à un. Puisque cosinus de 𝜋 sur deux est égal à zéro, nous savons que les premier et troisième termes de notre expression seront égaux à zéro lorsque 𝑥 est égal à 𝜋 sur quatre. Le seul terme qui nous donnera une valeur est 𝑥 sinus de deux 𝑥 sur deux. Puisque 𝑥 est égal à 𝜋 sur quatre et sinus de deux 𝑥 est égal à un, ce terme nous donne 𝜋 sur quatre multiplié par un divisé par deux. Cela équivaut à 𝜋 sur huit, car 𝜋 sur quatre divisé par deux est égal à 𝜋 sur huit. Lorsque 𝑥 est égal à 𝜋 sur quatre, l’intégrale de 𝑥 au carré sinus de deux 𝑥 est égale à 𝜋 sur huit.
Nous devons également considérer la limite inférieure lorsque 𝑥 est égal à zéro. Encore une fois, à partir de nos graphiques trigonométriques, nous savons que cosinus de de zéro est égal à un et sinus de zéro est égal à zéro. Cela signifie que le terme du milieu 𝑥 sinus de deux 𝑥 sur deux sera égal à zéro. Il est possible que le premier et le troisième terme aient des valeurs non nulles, car cosinus de deux 𝑥 est égal à un.
Le premier terme moins 𝑥 carré cosinus de deux 𝑥 sur deux a également un terme 𝑥. Puisque 𝑥 est égal à zéro, tout ce terme sera également égal à zéro. Par conséquent, le seul terme non nul est cosinus de deux 𝑥 sur quatre. Nous savons déjà que cosinus de deux 𝑥 est égal à un. Par conséquent, cosinus de deux 𝑥 sur quatre est égal à un quart. Puisque nous avons calculé les valeurs exactes des limites supérieure et inférieure, nous pouvons maintenant dire que l’intégrale de 𝑥 au carré sinus de deux 𝑥 entre zéro et 𝜋 sur quatre est 𝜋 sur huit moins un quart.
