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Deux événements incompatibles 𝐴 et 𝐵 ont des probabilités telles que la probabilité de 𝐴 est égale à un dixième et la probabilité de 𝐵 est égale à un cinquième. Déterminez la probabilité de 𝐴 union 𝐵.
Commençons par rappeler la définition d’événements incompatibles. On dit que deux ou plusieurs événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire en même temps. Cela peut être représenté sur un diagramme de Venn comme indiqué. Comme les deux cercles ne se superposent pas, la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 est nulle. Nous savons que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 correspond à la probabilité que 𝐴 ou 𝐵 ou les deux se produisent. Cependant, dans ce cas, ces évènements ne peuvent pas se produire simultanément. Donc pour des évènements incompatibles, la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵.
Ces deux règles sont vraies pour tous les événements incompatibles. Dans l’énoncé, on nous dit que la probabilité de 𝐴 est d’un dixième. La probabilité de 𝐵 est d’un cinquième. Cela signifie que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à un dixième plus un cinquième. La fraction un cinquième s’écrit aussi deux dixièmes. Nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par deux. Comme un dixième plus deux dixièmes égale trois dixièmes, nous avons donc la probabilité de 𝐴 union 𝐵.
Même si cela n’est pas demandé dans cette question, nous pouvons compléter le diagramme de Venn en calculant la probabilité que les événements 𝐴 et 𝐵 ne se produisent pas. Comme la somme des probabilités fait un, la probabilité est égale à un moins trois dixièmes, ce qui est égal à sept dixièmes. Sur le diagramme de Venn, la fraction sept dixièmes se trouve en dehors du cercle 𝐴 et en dehors du cercle 𝐵 comme indiqué.
