Vidéo de la leçon: Évènements incompatibles Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les évènements incompatibles et non incompatibles, et à déterminer leurs probabilités. Avant de discuter les évènements incompatibles, récapitulons les évènements composés et la formule d’addition des probabilités.

Nous rappelons que l’intersection des évènements 𝐴 et 𝐵 est le regroupement de toutes les issues qui sont des éléments des deux ensembles 𝐴 et 𝐵. Et c’est l’équivalent de la réalisation des deux évènements en même temps. L’union des évènements 𝐴 et 𝐵 est le regroupement de tous les résultats qui sont des éléments de l’un ou l’autre des ensembles 𝐴 et 𝐵 ou des deux. C’est l’équivalent de la réalisation de l’un ou l’autre des évènements.

Nous rappelons également que si un évènement 𝐴 dans univers 𝑠 ne peut pas se produire, alors sa probabilité est zéro. Cela signifie qu’il n’y a pas d’éléments dans 𝐴. Et nous appelons un ensemble sans éléments l’ensemble vide. Enfin, nous rappelons que la formule d’addition des probabilités indique que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵.

Voyons maintenant ce qui se passe lorsque la probabilité de cette intersection est égale à zéro. Si la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à zéro, alors la formule d’addition des probabilités se simplifierait en la probabilité de 𝐴 union 𝐵 égale la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵. Cela nous mène à une définition non formelle d’évènements incompatibles. Deux évènements 𝐴 et 𝐵 où la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à zéro sont des évènements incompatibles. En effet, les deux évènements ne peuvent pas se produire en même temps.

Plus formellement, cela peut être écrit comme suit. 𝐴 et 𝐵 sont des évènements incompatibles si 𝐴 inter 𝐵 est égal à l’ensemble vide. Cela revient à dire que les évènements ne peuvent pas se produire en même temps puisque la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à la probabilité de l’ensemble vide, qui est égale à zéro comme nous le savons.

Nous disons qu’une liste d’évènements 𝐴 un, 𝐴 deux, et ainsi de suite jusqu’à 𝐴 𝑛 est incompatible s’il s’agit d’évènements deux à deux incompatibles. Ainsi, l’intersection de 𝐴 𝑖 et 𝐴 𝑗 est égale à l’ensemble vide pour tout 𝑖 et 𝑗 existant dans l’ensemble des nombres un, deux, et ainsi de suite jusqu’à 𝑛. En résumé, si 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, alors la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵. Cela peut être représenté sur un diagramme de Venn comme indiqué, où les deux cercles représentant les évènements 𝐴 et 𝐵 ne se coupent pas.

Nous allons maintenant examiner quelques exemples spécifiques. Et dans notre premier exemple, nous déterminerons si les paires d’évènements donnés sont incompatibles.

Amelia a un jeu de 52 cartes. Elle sélectionne au hasard une carte et considère les évènements suivants : l’évènement 𝐴, choisir une carte qui est un cœur ; l’évènement 𝐵, choisir une carte qui est noire ; et l’évènement 𝐶, choisir une carte qui n’est pas un pique. Les évènements 𝐴 et 𝐵 sont-ils incompatibles ? Les évènements 𝐴 et 𝐶 sont-ils incompatibles ? Les évènements 𝐵 et 𝐶 sont-ils incompatibles ?

Dans les trois parties de cette question, nous devons déterminer si deux évènements sont incompatibles. Nous rappelons que deux évènements 𝑥 et 𝑦 sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire tous les deux en même temps, autrement dit, la probabilité de 𝑥 inter 𝑥 est égale à zéro.

Dans cette question, on nous dit qu’Amelia a un jeu régulier de 52 cartes. Nous savons que celles-ci sont divisées en quatre combinaisons, les carreaux, les cœurs, les trèfles et les piques, où les deux premières combinaisons sont des cartes rouges et les deux suivantes sont noires. Chacune des combinaisons compte 13 cartes : un as, les nombres de deux à 10, un valet, une reine et un roi.

Amelia doit prendre en compte trois évènements : tout d’abord, l’évènement 𝐴, choisir une carte qui est un cœur. Cela impliquerait de choisir l’une des 13 cartes de la deuxième rangée. L’évènement 𝐵 impliquerait de choisir une carte qui est noire. Cela impliquerait de choisir une carte qui est soit un trèfle, soit un pique, une carte quelconque des 26 cartes dans les deux rangées inférieures. Enfin, nous avons l’évènement 𝐶, qui consiste à choisir une carte qui n’est pas un pique. Cela pourrait être un carreau, un cœur ou un trèfle, l’une des 39 cartes des trois premières rangées.

Pour déterminer si les évènements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, nous devons déterminer s’il y a une issue qui se produit dans les deux évènements. Est-il possible de choisir une carte qui est un cœur et de choisir une carte qui est noire ? Nous savons que tous les cœurs sont rouges, donc il n’y a pas de cartes qui sont à la fois noires et un cœur. Et nous pouvons donc conclure que lorsque Amelia sélectionne une carte, les deux évènements ne peuvent pas se produire. Et les évènements sont donc incompatibles.

Ensuite, nous devons examiner si les évènements 𝐴 et 𝐶 sont incompatibles. Cette fois, nous avons les évènements suivants : choisir une carte qui est un cœur et choisir une carte qui n’est pas un pique. Le point clé ici est que tous les cœurs ne sont pas des piques. Cela signifie que le choix de n’importe quel cœur vérifiera les deux évènements. Et comme les deux évènements peuvent se produire en même temps, nous pouvons conclure qu’ils ne sont pas incompatibles. Il y a une intersection entre choisir une carte qui est un cœur et choisir une carte qui n’est pas un pique.

Enfin, nous devons déterminer si les évènements 𝐵 et 𝐶 sont incompatibles. Cette fois, nous avons les évènements de choisir une carte qui est noire et de choisir une carte qui n’est pas un pique. Cette fois, l’essentiel est que tous les trèfles soient noirs. Et qu’ils ne soient pas non plus un pique. Cela signifie que le choix d’un des trèfles vérifie les deux évènements. Et nous pouvons donc conclure que les évènements 𝐵 et 𝐶 ne sont pas incompatibles. Les évènements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, alors que les évènements 𝐴 et 𝐶 et 𝐵 et 𝐶 ne sont pas incompatibles.

Dans notre prochain exemple, nous utiliserons l’incompatibilité de deux évènements et leurs probabilités pour déterminer la probabilité que l’un ou l’autre se produise.

Deux évènements incompatibles 𝐴 et 𝐵 ont des probabilités. La probabilité de 𝐴 est égale à un dixième et la probabilité de 𝐵 est égale à un cinquième. Trouvez la probabilité de 𝐴 union 𝐵.

Nous commençons par rappeler que deux évènements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire en même temps. Cela signifie qu’il n’y a pas d’éléments dans l’évènement 𝐴 et l’évènement 𝐵, et que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à zéro. D’après la formule d’addition des probabilités, lorsque 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵. Les évènements incompatibles peuvent également être représentés sur un diagramme de Venn comme indiqué, où il n’y a pas d’intersection entre les cercles représentant les évènements 𝐴 et 𝐵.

On nous dit que la probabilité de l’évènement 𝐴 est un dixième et que la probabilité de l’évènement 𝐵 est égale à un cinquième. La probabilité de 𝐴 union 𝐵 est donc égale à un dixième plus un cinquième, qui peut être réécrite comme un dixième plus deux dixièmes, ce qui équivaut à trois dixièmes. La probabilité de 𝐴 union 𝐵 est de trois dixièmes.

Dans notre prochain exemple, nous utiliserons l’incompatibilité de trois évènements et les propriétés de probabilité pour déterminer la probabilité d’un évènement composé.

Un sac contient des balles rouges, bleues et vertes, et une balle doit être tirée sans regarder. La probabilité que la balle choisie soit rouge est égale à sept fois la probabilité que la balle choisie soit bleue. La probabilité que la balle choisie soit bleue est la même que la probabilité que la balle choisie soit verte. Trouvez la probabilité que la balle choisie soit rouge ou verte.

Nous commencerons par nommer les évènements de choix d’une balle rouge, d’une balle bleue et d’une balle verte comme R, B et G respectivement. Comme la balle sélectionnée doit être parmi l’une de ces trois couleurs, nous pouvons conclure que les évènements sont incompatibles. Notre objectif dans cette question est de trouver la probabilité que la balle choisie soit rouge ou verte. C’est la probabilité de l’union des deux évènements. Et nous rappelons que pour deux évènements incompatibles 𝑥 et 𝑦, la probabilité de 𝑥 union 𝑦 est égale à la probabilité de 𝑥 plus la probabilité de 𝑦. Cela signifie que nous devons trouver la somme de la probabilité que la balle choisie soit rouge et de la probabilité que la balle choisie soit verte.

On nous dit que la probabilité que la balle choisie soit rouge est sept fois la probabilité que la balle choisie soit bleue. Cela peut être écrit comme indiqué. On nous dit également que la probabilité que la balle choisie soit bleue est la même que la probabilité que la balle choisie soit verte.

Enfin, comme il n’y a que des balles rouges, bleues et vertes dans le sac et que ce sont des évènements incompatibles, nous avons la probabilité de la couleur rouge plus la probabilité de la couleur bleue plus la probabilité de la couleur verte est égale à un. En remplaçant la probabilité du rouge et la probabilité du vert en utilisant les équations un et deux, nous avons l’équation suivante. Sept multiplié par la probabilité du bleu plus la probabilité du bleu plus la probabilité du bleu est égal à un. Cela se simplifie à neuf fois la probabilité d’obtenir bleu soit égal à un. Et la probabilité que la balle sélectionnée soit bleue est donc égale à un neuvième.

Cela signifie que la probabilité que la balle choisie soit verte est égale à un neuvième. Et la probabilité que la balle choisie soit rouge est de sept neuvièmes. Après avoir libéré de l’espace, nous pouvons maintenant calculer la probabilité que la balle choisie soit rouge ou verte. Cela équivaut à sept neuvièmes plus un neuvième, ce qui équivaut à huit neuvièmes. Quand une balle est tirée du sac sans regarder, la probabilité que la balle choisie soit rouge ou verte est de huit neuvièmes.

Dans notre dernier exemple, nous verrons deux évènements qui ne sont pas icompatibles.

La probabilité qu’un élève réussisse son examen de physique est de 0,71. La probabilité qu’il réussisse son examen de mathématiques est de 0,81. La probabilité qu’il réussisse les deux examens est de 0,68. Quelle est la probabilité que l’élève passe uniquement son examen de mathématiques ?

Nous commencerons par nommer les évènements de réussite aux examens de physique et de mathématiques respectivement P et M. On nous dit que la probabilité qu’un élève passe l’examen de physique est de 0,71. Et la probabilité de passer l’examen de mathématiques est de 0,81. Puisqu’il est possible de passer les deux examens, les deux évènements ne sont pas incompatibles. Et on nous dit que la probabilité de passer les deux examens est de 0,68.

Cette information peut être représentée sur un diagramme de Venn, où le chevauchement ou l’intersection des deux cercles représente la probabilité qu’un élève réussisse les deux examens. Comme déjà mentionné, cela équivaut à 0,68. La question nous demandait de calculer la probabilité que l’élève ne réussisse que son examen de mathématiques. Cela sera égal à la probabilité de réussir en mathématiques moins la probabilité de réussir les deux examens. Nous devons soustraire 0,68 de 0,81. Cela équivaut à 0,13. La probabilité que l’élève réussisse uniquement en mathématiques, c’est-à-dire qu’il réussisse en mathématiques et non en physique, est de 0,13.

Nous pouvons ajouter cela sur notre diagramme de Venn, comme indiqué. Et nous pourrions répéter ce processus pour trouver la probabilité que l’élève ne réussisse que son examen de physique. En soustrayant 0,68 de 0,71, on obtient 0,03. Il reste une option pour compléter le diagramme de Venn : la probabilité que l’élève ne réussisse pas en physique ou en mathématiques, en d’autres termes, qu’il échoue aux deux examens. 0,03 plus 0,68 plus 0,13 est égal à 0,84. Puisque les probabilités doivent être égales à un et un moins cela est égal à 0,16, la probabilité qu’un élève échoue en physique et en mathématiques est de 0,16.

Nous avons complété maintenant le diagramme de Venn, qui montre que la probabilité que l’élève ne réussisse que son examen de mathématiques est de 0,13.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Deux évènements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles si l’intersection de 𝐴 et 𝐵 est égale à l’ensemble vide. Cela signifie que les évènements incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps puisque la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à la probabilité de l’ensemble vide, qui est égal à zéro. Une liste d’évènements sont incompatibles s’ils sont deux à deux incompatibles. Enfin, si les évènements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, alors la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵.