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Fiche explicative de la leçon : Évènements incompatibles Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier des évènements compatibles et incompatibles et à déterminer leurs probabilités.

Avant de parler d’évènements incompatibles, rappelons les règles concernant l’union et l’intersection d’évènements et la règle d’addition des probabilités.

Vocabulaire important : Union et intersection d’évènements et règle d’addition des probabilités

L’intersection des évènements 𝐴 et 𝐵, notée 𝐴𝐵, est l’ensemble de toutes les issues à la fois dans l’ensemble 𝐴 et dans l’ensemble 𝐵, cela équivaut à la réalisation des deux évènements.

L’union des évènements 𝐴 et 𝐵, notée 𝐴𝐵, est l’ensemble de toutes les issues soit dans l’ensemble 𝐴, soit dans l’ensemble 𝐵 ou dans les deux ensembles, cela équivaut à la réalisation de l’un ou l’autre des évènements.

Si un évènement 𝐴 dans un ensemble 𝑆 ne peut pas se réaliser alors sa probabilité est égale à 0. Comme 𝑃(𝐴)=𝑛(𝐴)𝑛(𝑆)=0, alors 𝑛(𝐴)=0. Autrement dit, il n’y a aucun élément dans 𝐴. Cet ensemble est appelé l’ensemble vide et on le note .

La règle d’addition des probabilités dit que 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐵).

Nous pouvons utiliser cette règle comme base pour une définition. Si 𝑃(𝐴𝐵)=0, alors la règle d’addition des probabilité se simplifie en 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).

Des évènements pour lesquels 𝑃(𝐴𝐵)=0 sont appelés des évènements incompatibles car les deux évènements ne peuvent pas se réaliser en même temps. Cela s’énonce de la manière suivante:

Définition : Évènements incompatibles et règle d’addition pour les évènements incompatibles

On dit que 𝐴 et 𝐵 sont des évènements incompatibles si 𝐴𝐵=. Cela revient à dire que les évènements ne peuvent pas se réaliser en même temps car 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃()=0.

On dit qu’un ensemble d’évènements 𝐴,𝐴,,𝐴 est incompatible si ces évènements sont deux à deux incompatibles, c’est-à-dire que 𝐴𝐴=, pour tout 𝑖 et 𝑗{1;2,,𝑛}.

Si 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, alors 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).

Avant de regarder un exemple d’évènements incompatibles, rappelons que l’intersection de deux évènements 𝐴 et 𝐵 est représentée sur un diagramme de Venn par la partie où 𝐴 et 𝐵 se chevauchent. Donc, sur un diagramme de Venn, les évènements incompatibles ont une intersection vide.

Sur le premier diagramme, il n’y a pas d’intersection entre les évènements, donc les évènements sont incompatibles. Mais, sur le deuxième diagramme, il existe une zone d’intersection entre « aimer les chats » et « aimer les chiens », ces deux évènements sont donc compatibles. Même s’il existe une zone d’intersection, il faut quand même vérifier qu’il y ait au moins un élément dans cette intersection.

Dans le premier exemple, nous allons déterminer si plusieurs paires d’évènements données sont incompatibles.

Exemple 1: Déterminer si des évènements sont incompatibles

Clémentine a un jeu de 52 cartes. Elle sélectionne une carte au hasard et considère les évènements suivants:

Évènement A:choisir une carte de cœur

Évènement B:choisir une carte noire

Évènement C:choisir une carte qui n’est pas un pique

  1. Les évènements A et B sont-ils incompatibles?
  2. Les évènements A et C sont-ils incompatibles?
  3. Les évènements B et C sont-ils incompatibles?

Réponse

Commençons par rappeler que deux évènements 𝑋 et 𝑌 sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser simultanément. Autrement dit, 𝑃(𝑋𝑌)=0.

Donc pour déterminer si les évènements données sont incompatibles, il faut vérifier s’il existe des cartes dans le jeu de 52 cartes qui permettent de réaliser les deux évènements.

Partie 1

Il y a deux façons de vérifier si les évènements « choisir une carte de cœur » et « choisir une carte noire » sont incompatibles.

Nous pouvons d’abord remarquer que toutes les cartes de cœur sont rouges, donc il n’y a aucune carte qui soit à la fois de cœur et noire. Les deux évènements ne peuvent pas se réaliser simultanément et les évènements sont donc incompatibles.

Nous pouvons aussi associer les cartes à chaque évènement et vérifier si les deux ensembles se chevauchent.

Repérons toutes les cartes de cœur en rouge (évènement A) et toutes les cartes noires en vert (évènement B). Nous pouvons voir que ces deux ensembles ne se chevauchent pas, les évènements ne peuvent donc pas se réaliser simultanément.

La réponse est donc que les évènements A et B sont incompatibles.

Partie 2

Comme dans la première partie, il y a deux façons de vérifier si les évènements « choisir une carte de cœur » et « choisir une carte qui n’est pas un pique » sont incompatibles.

Nous pouvons d’abord remarquer que toutes les cartes de cœur ne sont pas des piques, donc si nous choisissons une carte de cœur, les deux évènements peuvent se réaliser. Et si les évènements peuvent se réaliser simultanément, nous pouvons conclure qu’ils ne sont pas incompatibles.

Nous pouvons aussi associer toutes les cartes à chaque évènement et vérifier si les ensembles se chevauchent.

Nous repérons les cartes de cœur en rouge (évènement A) et toutes les cartes qui ne sont pas des piques en bleu (évènement C). Nous pouvons voir que toutes les cartes de cœur permettent de réaliser les deux évènements A et C, les évènements ne sont donc pas incompatibles.

La réponse est donc que les évènements A et C ne sont pas incompatibles.

Partie 3

Il y a deux façons de vérifier si les évènements « choisir une carte noire » et de « choisir une carte qui n’est pas un pique » sont incompatibles.

Nous pouvons d’abord remarquer que tous les trèfles sont noirs et ne sont pas des piques, donc choisir une carte de trèfle permet de réaliser les deux évènements.

Nous pouvons aussi associer toutes les cartes à chaque évènement et vérifier si les ensembles se chevauchent.

Nous repérons toutes les cartes noires en violet (évènement B) et toutes les cartes qui ne sont pas des piques en bleu (évènement C). Nous pouvons voir que toutes les cartes de trèfles permettent de réaliser les deux évènements B et C, donc les évènements ne sont pas incompatibles.

La réponse est donc que les évènements B et C ne sont pas incompatibles.

Dans le deuxième exemple, nous allons utiliser le fait que des évènements soient incompatibles pour déterminer la probabilité que l’un ou l’autre des évènements se réalise.

Exemple 2: Calcul de la probabilité de l’union de deux évènements incompatibles

Deux évènements incompatibles 𝐴 et 𝐵 ont des probabilités 𝑃(𝐴)=110 et 𝑃(𝐵)=15. Déterminez 𝑃(𝐴𝐵).

Réponse

Rappelons que comme 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, nous avons 𝑃(𝐴𝐵)=0. Ainsi, la règle d’addition des probabilités nous dit que lorsque 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).

On peut alors remplacer 𝑃(𝐴)=110 et 𝑃(𝐵)=15 dans cette équation pour obtenir 𝑃(𝐴𝐵)=110+15=310.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la règle d’addition des probabilité pour des évènements incompatibles pour déterminer la probabilité que l’un ou l’autre des évènements se produise.

Exemple 3: Calcul de la probabilité d’un évènement en utilisant une relation donnée entre des évènements incompatibles

Supposons que 𝐴 et 𝐵 soient deux évènements incompatibles. La probabilité de réalisation de l’évènement 𝐵 est cinq fois plus grande que celle de l’évènement 𝐴. Sachant que la probabilité que l’un ou l’autre des deux évènements se réalise est de 0,18, déterminez la probabilité que l’évènement 𝐴 se réalise.

Réponse

Nous savons que la probabilité que 𝐴 ou 𝐵 se réalise (𝑃(𝐴𝐵)) vaut 0,18. Nous savons que 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles et rappelons que cela signifie que 𝑃(𝐴𝐵)=0. On sait aussi que la probabilité que 𝐵 se réalise est cinq fois plus grande que celle de 𝐴, de sorte que 𝑃(𝐵)=5𝑃(𝐴). Rappelons alors que comme 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, la règle d’addition des probabilités nous dit que 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).

En remplaçant 𝑃(𝐴𝐵)=0,18 et 𝑃(𝐵)=5𝑃(𝐴) dans la formule, nous obtenons 0,18=𝑃(𝐴)+5𝑃(𝐴)0,18=6𝑃(𝐴).

Nous pouvons alors diviser l’équation par 6 pour obtenir 𝑃(𝐴)=0,186=0,03.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser l’énoncé d’un problème pour déduire si les évènements donnés sont incompatibles ou non et utiliser cela pour déterminer la probabilité qu’un évènement se réalise.

Exemple 4: Utilisation de la règle d’addition pour déterminer la probabilité de l’union d’évènements incompatibles

Dans une petite chorale, il y a un chanteur ténor, 3 chanteurs soprano, un chanteur baryton et un chanteur mezzo-soprano. On tire au hasard le nom de l’un des chanteurs de la chorale, déterminez la probabilité qu’il s’agisse du nom d’un chanteur ténor ou d’un chanteur soprano.

Réponse

Nous pouvons commencer par représenter la composition de la chorale à partir des informations données.

Si on suppose que les chanteurs ne chantent que dans un seul registre, c’est-à-dire qu’un chanteur soprano ne chante pas de parties de ténor ou de baryton et vice versa, alors les évènements associés au choix d’un soprano, d’un ténor, d’un baryton ou d’un mezzo-soprano sont incompatibles car aucun de ces évènements pris deux à deux ne peuvent se réaliser simultanément.

Dans ce cas, pour déterminer la probabilité de choisir au hasard un chanteur ténor ou soprano, nous pouvons utiliser la règle de probabilité 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵), car comme les évènements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, 𝑃(𝐴𝐵)=0.

Comme il y a 6 chanteurs au total et qu’un seul est un chanteur ténor, la probabilité qu’un chanteur choisi au hasard soit un chanteur ténor est 𝑃()==16.ténornombredeténorseectifdelachorale

De même, il y a 3 chanteurs soprano, donc 𝑃()==36=12.sopranonombredesopranoseectifdelachorale

En appliquant la règle qui dit que pour des évènements incompatibles, 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵), nous avons 𝑃()=𝑃()+𝑃()=16+12=23.ténorsopranoténorsoprano

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser le fait que trois évènements soient incompatibles pour déterminer la probabilité de l’union d’évènements dans un problème.

Exemple 5: Calcul de l’union de deux évènements incompatibles

Un sac contient des boules rouges, bleues et vertes;il faut choisir une boule sans regarder. La probabilité que la boule choisie soit rouge est égale à sept fois la probabilité que la boule choisie soit bleue. La probabilité que la boule choisie soit bleue est égale à la probabilité que la boule choisie soit verte.

Déterminez la probabilité que la boule choisie soit rouge ou verte.

Réponse

Appelons les évènements associés au tirage d’une boule rouge, bleue et verte respectivement 𝑅, 𝐵 et 𝑉. Étant donné qu’une boule ne peut être que d’une de ces trois couleurs, nous pouvons conclure que les évènements sont incompatibles. Nous cherchons à déterminer la probabilité que la boule choisie soit rouge ou verte, c’est-à-dire 𝑃(𝑅𝑉).

La règle d’addition des probabilité dit que 𝑃(𝑅𝑉)=𝑃(𝑅)+𝑃(𝑉)𝑃(𝑅𝑉).

Étant donné que les évènements sont incompatibles, nous savons que 𝑃(𝑅𝑉)=0, alors 𝑃(𝑅𝑉)=𝑃(𝑅)+𝑃(𝑉).

On nous dit dans l’énoncé que la probabilité que la boule choisie soit rouge est égale à sept fois la probabilité que la boule choisie soit bleue, donc 𝑃(𝑅)=7𝑃(𝐵).

On nous dit aussi que la probabilité que la boule choisie soit bleue est égale à la probabilité que la boule choisie soit verte, donc 𝑃(𝐵)=𝑃(𝑉).

Enfin, comme il n’y a que des boules rouges, bleues et vertes dans le sac et que ce sont des évènements incompatibles, nous avons 𝑃(𝑅)+𝑃(𝐵)+𝑃(𝑉)=1.

En remplaçant 𝑃(𝑉)=𝑃(𝐵) et 𝑃(𝑅)=7𝑃(𝐵) dans cette équation, cela donne 7𝑃(𝐵)+𝑃(𝐵)+𝑃(𝐵)=19𝑃(𝐵)=1.

En divisant l’équation par 9, nous obtenons 𝑃(𝐵)=19.

Étant donné que la probabilité que la boule choisie soit bleue est égale à la probabilité que la boule choisie soit verte, nous avons 𝑃(𝑉)=19.

Comme la probabilité que la boule choisie soit rouge est égale à sept fois la probabilité que la boule choisie soit bleue, nous avons 𝑃(𝑅)=79.

En remplaçant ces valeurs dans la règle d’addition des probabilités pour les évènements incompatibles, nous obtenons 𝑃(𝑅𝑉)=79+19=89.

Dans le dernier exemple, nous allons identifier que deux évènements ne sont pas incompatibles, puis nous allons utiliser les probabilités données avec la règle d’addition pour déterminer la probabilité d’un évènement.

Exemple 6: Calcul de la différence entre deux probabilités de deux évènements connaissant la probabilité de chaque évènement ainsi que celle de leur intersection

La probabilité qu’un élève réussisse son examen de physique est de 0,71. La probabilité qu’il réussisse son examen de mathématiques est de 0,81. La probabilité qu’il réussisse les deux examens est de 0,68. Quelle est la probabilité que l’élève réussisse uniquement son examen de mathématiques?

Réponse

Pour déterminer la probabilité que l’élève réussisse en mathématiques mais pas en physique, représentons les évènements sur un diagramme de Venn. Remarquons que comme les deux évènements se chevauchent, ils ne sont donc pas incompatibles et ils peuvent se réaliser simultanément. Cela nous donne les ensembles suivants:

Maintenant, si nous mettons en évidence les probabilités que nous connaissons concernant l’évènement « réussir en maths » sur le diagramme, c’est-à-dire 𝑃()=0,81Maths et 𝑃()=0,68MathsPhysique, nous avons

L’évènement « réussir en maths » correspond à toute la partie située dans l’ovale rouge, qui a une probabilité de 0,81. La partie où les deux ovales se chevauchent, au centre du diagramme, correspond à « réussir à la fois en maths et en physique » et a une probabilité de 0,68. Mais nous cherchons à déterminer la probabilité de réussir en maths mais pas en physique, ce qui correspond à la partie en violet dans le diagramme ci-dessous.

Comme la probabilité de réussir en maths est composée de la probabilité de réussir en maths mais pas en physique et de la probabilité de réussir les deux, nous avons 𝑃()=𝑃()+𝑃()0,81=𝑃()+0,68.MathsMathsmaispasphysiqueMathsPhysiqueMathsmaispasphysique

En modifiant cette équation, nous avons 𝑃()=0,810,68=0,13.Mathsmaispasphysique

La probabilité qu’un élève réussisse en mathématiques mais pas en physique est donc de 0,13.

Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative

Points clés

  • On dit que 𝐴 et 𝐵 sont des évènements incompatibles si 𝐴𝐵=. Cela revient à dire que les évènements ne peuvent pas se produire en même temps, car 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃()=0.
  • On dit qu’un ensemble d’évènements est incompatible s’ils sont incompatibles deux à deux.
  • Si les évènements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, alors 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).
  • Si les évènements 𝐴 et 𝐵 ne sont pas incompatibles, alors 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐵). avec 𝑃(𝐴𝐵)0

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