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Un objet de masse sept kilogrammes se déplace de manière rectiligne. Son vecteur position à l’instant 𝑡 est donné par la relation 𝑟 en fonction de 𝑡 égale 𝑡 au carré plus cinq quantités dans la direction 𝑖 plus 𝑡 au cube plus 𝑡 quantité dans la direction 𝑗, où la norme de 𝑟 est mesurée en mètres et 𝑡 en secondes. Déterminez la quantité de mouvement de l’objet après deux secondes.
Nous allons appeler la masse du corps de sept kilogrammes 𝑚. La valeur de temps qui nous intéresse - deux secondes – nous allons appeler 𝑡 indice deux. On nous donne la position de l’objet en fonction du temps - 𝑟 en fonction de 𝑡 - et avec cela l’on peut calculer la quantité de mouvement, que nous allons représenter par la lettre minuscule.
Pour commencer à résoudre la question, rappelons l’équation qui décrit la quantité de mouvement. La quantité de mouvement d’un objet de masse est égale à la masse de cet objet multipliée par son vecteur vitesse. Nous savons bien que le vecteur vitesse d’un objet est défini comme son changement de position par rapport au temps - 𝑑𝑟 𝑑𝑡.
En combinant ces équations, nous pouvons écrire que la quantité de mouvement que nous voulons calculer est égale à la masse de l’objet multipliée par la variation de sa position par rapport au temps. Tout d’abord, déterminons la dérivée de la position par rapport au temps. La dérivée par rapport au temps de 𝑟 en fonction de 𝑡 est égale à 𝑑 𝑑𝑡 de 𝑡 au carré plus cinq dans la direction 𝑖 et 𝑡 au cube plus 𝑡 dans la direction 𝑗.
En utilisant la règle de la dérivation en chaîne, ceci est égal à deux 𝑡 dans la direction 𝑖 plus trois 𝑡 au carré plus un dans la direction 𝑗. Nous pouvons réécrire notre expression pour en fonction de 𝑑𝑟 𝑑𝑡. Cependant nous voulons calculer à une valeur particulière de 𝑡 quand 𝑡 est égal à ce que nous avons appelé 𝑡 indice deux ou deux secondes. Eh bien nous remplaçons 𝑡 indice deux à la place de 𝑡 dans notre équation.
Nous avons maintenant une expression pour la quantité de mouvement donnée entièrement en fonction de constantes ou de variables dont nous connaissons la valeur soient 𝑚 et 𝑡 indice deux. Nous sommes prêts à remplacer les valeurs et à calculer . Lorsque nous le faisons après avoir simplifier l’expression pour le vecteur vitesse, nous obtenons pour cette valeur de temps que ceci est égal à quatre 𝑖 plus 13 𝑗. En multipliant par notre masse, nous trouvons que est 28 𝑖 plus 91 𝑗. C’est la quantité de mouvement de notre masse à 𝑡 égale à deux secondes.
