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Si 𝐀 est le vecteur deux 𝐢 et 𝐁 est le vecteur 𝐢 moins neuf 𝐣, calculez le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁.
Dans cette question, on nous donne deux vecteurs, le vecteur 𝐀 et le vecteur 𝐁, en fonction des vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣. On nous demande de calculer le produit scalaire du vecteur 𝐀 et du vecteur 𝐁. Pour ce faire, commençons par rappeler ce que nous entendons exactement par produit scalaire. Nous représentons ce produit scalaire de deux vecteurs par un point. Il s’agit d’une opération entre deux vecteurs qui génère un scalaire. Et pour calculer cela, nous devons multiplier une à une les composantes correspondantes de nos vecteurs, puis additionner tous ces produits.
Donc en termes de vecteurs unitaires, cela nous donne que le produit scalaire entre 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣 et 𝑐𝐢 plus 𝑑𝐣 est 𝑎𝑐 plus 𝑏𝑑. Nous multiplions la première composante de chaque vecteur ; soit 𝑎 multiplié par 𝑐. Et puis nous ajoutons à cela le produit des deuxièmes composantes. C’est-à-dire 𝑏 multiplié par 𝑑. Nous sommes maintenant prêts à trouver le produit scalaire entre les deux vecteurs qui nous ont été donnés dans la question. C’est le produit scalaire entre deux 𝐢 et 𝐢 moins neuf 𝐣. Pour cela, il peut être intéressant de noter que nous pouvons réécrire le vecteur deux 𝐢 en 𝐢 plus zéro 𝐣.
Maintenant, pour calculer le produit scalaire entre ces deux vecteurs, nous devons multiplier une à une les composantes correspondantes, puis ajouter les résultats. Multiplier la première composante de chaque vecteur en nous rappelant que le coefficient de 𝐢 est un nous donne deux fois un. Et en nous rappelant que notre premier vecteur a un coefficient de 𝐣 égal à zéro, en les multipliant nous obtenons zéro multiplié par moins neuf. Et bien sûr, nous pouvons calculer cela. Cela est égal à deux. Par conséquent, nous avons pu montrer si 𝐀 est le vecteur deux 𝐢 et 𝐁 est le vecteur 𝐢 moins neuf 𝐣, alors le produit scalaire entre 𝐀 et 𝐁 est égal à deux.
