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Déterminez les extrema locaux de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 à la puissance quatre sur quatre moins deux 𝑥 au carré plus cinq.
La première chose à faire est de comprendre ce que sont les extrema locaux. J’ai fait un croquis. Et sur ce croquis, nous avons trois points remarquables. Nous avons les maxima locaux et les minima locaux soit deux minima locaux et un maximum local. Et comme vous pouvez le voir ici, ce sont les points de notre fonction où la pente est égale à zéro. Donc, si nous savons qu’en ces points, la pente va être égale à zéro, la première chose que nous devons faire est de trouver la fonction qui nous donne la pente de notre fonction. Et nous trouvons cette fonction en dérivant notre fonction. Nous allons donc dériver la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 à la puissance quatre sur quatre moins deux 𝑥 au carré plus cinq.
Le premier terme devient 𝑥 au cube. On se rappelle que nous dérivons en multipliant le coefficient par son exposant. Donc dans ce cas, on a quatre fois un quart car nous avons 𝑥 à la puissance quatre sur quatre. Cela nous donne un. Nous avons donc un seul 𝑥. Et puis nous réduisons l’exposant d’une unité. Comme quatre moins un nous donne trois. Nous obtenons donc 𝑥 au cube. Et puis nous avons moins quatre 𝑥 car, encore une fois, nous avions deux multiplié par deux, ce qui nous donne quatre. Et puis nous avons réduit deux d’une unité pour obtenir donc un. Nous obtenons ainsi 𝑥 tout simplement ou 𝑥 à la puissance un. Et puis si nous dérivons plus cinq, nous obtenons simplement zéro parce que la dérivée d’une constante est égale à zéro.
Alors, ce que nous allons faire maintenant, c’est d’utiliser les informations que nous avions précédemment. A savoir que la pente sera égale à zéro en nos extrema locaux. Nous allons donc poser que notre fonction de pente est égale à zéro. Et la raison pour laquelle nous allons faire cela, c’est que nous pouvons de cette façon déterminer les abscisses possibles pour nos extrema. Nous avons donc que 𝑥 au cube moins quatre 𝑥 est égal à zéro. Nous allons maintenant résoudre cette équation pour trouver nos valeurs de 𝑥.
On commence par factoriser. Nous pouvons factoriser car il y a le terme 𝑥 qui est commun à nos deux termes. Nous pouvons donc placer 𝑥 à l’extérieur des parenthèses. Nous avons donc que 𝑥 multiplié par 𝑥 au carré moins quatre est égal à zéro. Si nous regardons ceci, nous pouvons voir que 𝑥 au carré moins quatre est en fait la différence de deux carrés. Nous savons donc comment factoriser cela. Et nous obtenons ainsi que 𝑥 multiplié par 𝑥 plus deux multiplié par 𝑥 moins deux est égal à zéro.
Donc, ce que nous avons ici, c’est le produit de trois valeurs. Ainsi 𝑥, 𝑥 plus deux et 𝑥 moins deux sont égaux à zéro. Et comme nous l’avons dit, lorsque nous les multiplions ensemble, cela équivaut à zéro. Donc, au moins une de ces valeurs doit être égale à zéro. Donc, soit 𝑥, soit 𝑥 plus deux, soit 𝑥 moins deux doit être égal à zéro. Par conséquent, notre première valeur possible pour 𝑥 est 𝑥 est égal à zéro parce que ce sera zéro multiplié par le reste. Donc, cela nous donnera un résultat de zéro. Ensuite, nous avons 𝑥 plus deux est égal à zéro. Nous savons donc que cette valeur doit être égale à zéro. Pour que cela se produise, que doit donc être la valeur de 𝑥?
Eh bien, 𝑥 doit être égal à moins deux. Et puis enfin, nous pourrions avoir 𝑥 moins deux est égal à zéro. Et que serait alors la valeur de 𝑥? La dernière valeur possible pour 𝑥 est donc plus deux. Nous avons donc maintenant trois valeurs possibles pour 𝑥 à savoir 𝑥 égale zéro, 𝑥 égale moins deux ou 𝑥 égale deux. Donc, ce sont les trois valeurs de 𝑥 correspondant à des possibles extrema locaux. Maintenant, ce que nous voulons faire, c’est déterminer s’il s’agit bien d’extrema.
Pour ce faire, nous allons utiliser le test de la dérivée seconde. Tout d’abord, nous devons donc dériver la dérivée première c’est à dire dériver 𝑥 au cube moins quatre 𝑥. Ainsi, lorsque nous faisons cela, nous obtenons trois 𝑥 au carré moins quatre, en utilisant simplement la même méthode que précédemment. Donc, pour le premier terme, ce serait trois fois un, car c’est l’exposant multiplié par le coefficient. Et nous réduisons l’exposant d’une unité. Parfait, nous savons maintenant quelle est la dérivée seconde.
Alors qu’allons-nous faire maintenant? Eh bien, nous remplaçons maintenant par nos valeurs de 𝑥. C’est à dire 𝑥 est égal à zéro. 𝑥 est égal à moins deux. Et 𝑥 est égal à deux. Et c’est parce que notre test de dérivée seconde nous dit que si lorsque nous remplaçons par nos valeurs de 𝑥, la dérivée seconde est supérieure à zéro, alors ce on a un minimum local. Et, si la dérivée seconde est inférieure à zéro, il s’agit d’un maximum local. Nous allons donc commencer avec 𝑥 est égal à zéro.
Nous obtenons trois multiplié par zéro au carré moins quatre. Nous obtenons donc une valeur de la dérivée seconde de moins quatre qui est inférieure à zéro. Par conséquent, ce sera un maximum local. Si nous remplaçons par 𝑥 est égal à moins deux, nous trouvons que la dérivée seconde est égale à trois multiplié par moins deux le tout au carré moins quatre. Cela nous donnera un résultat de huit. Et, par conséquent, comme cela est supérieur à zéro, nous avons un minimum local.
Lorsque nous remplaçons maintenant par 𝑥 est égal à deux, nous obtenons le même résultat que lorsque nous avons remplacé par 𝑥 est égal à moins deux. Car nous avons élevé au carré le moins deux. Et que nous allons maintenant élever au carré le deux. Et si vous mettez chacun de ces nombres au carré, vous obtenez plus quatre. Vérifions. La dérivée seconde va être égale à trois multiplié par deux au carré moins quatre, ce qui nous donne bien huit. Nous aurons aussi par conséquent un minimum local. Nous pouvons donc dire que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 à la puissance quatre sur quatre moins deux 𝑥 au carré plus cinq admet des minimums locaux en 𝑥 égal à moins deux et en 𝑥 égal à deux et un maximum local en 𝑥 égal à zéro.
Et ce que nous pouvons faire pour vérifier cela, c’est de regarder notre croquis car c’était celui de la représentation graphique d’un polynôme de degrés quatre. Et c’est le graphique d’une telle fonction avec un coefficient positif en 𝑥 puissance quatre. Et nous pouvons voir que nous avons bien deux minimums locaux et un maximum local. Et c’est bien ce que nous avons trouvé lorsque nous avons cherché les minimums et maximums locaux de notre fonction.
