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Vidéo de question : Établir et résoudre un système d’équations linéaires du second degré à deux inconnues Mathématiques

On sait que la longueur d’un rectangle dépasse sa largeur de 26 cm. Sachant que son aire est égale à 120 cm2, calculez son périmètre.

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Transcription de vidéo

La longueur d’un rectangle est supérieure de 26 centimètres à sa largeur. Sachant que son aire est de 120 centimètres carrés, calculez son périmètre.

Donc, nous avons un rectangle. Et nous allons appeler sa largeur 𝑤. Nous ne connaissons ni la longueur ni la largeur. Mais nous avons quelques informations sur la longueur. La longueur fait 26 centimètres de plus que la largeur. Nous pouvons écrire la longueur 𝑤 plus 26. Nous savons également que son aire est égale à 120 centimètres carrés. Nous savons que l’aire d’un rectangle est égale à la longueur multipliée par la largeur. L’aire est égale à 120. La longueur est égale à la largeur plus 26. Et la largeur est égale à la largeur.

Nous pouvons développer, en multipliant 𝑤 par 𝑤, nous obtenons 𝑤 au carré. Et 𝑤 fois 26 est égal à 26𝑤. Notre nouvelle équation dit que 120 est égal à 𝑤 au carré plus 26𝑤. Pour trouver la valeur de 𝑤, nous pouvons traiter cette expression comme une équation. Que nous pouvons résoudre en soustrayant 120 des deux côtés. Zéro est égal à 𝑤 au carré plus 26𝑤 moins 120.

Pour trouver la valeur de 𝑤, nous allons factoriser cette équation. Le premier terme de chaque expression est 𝑤. Nous avons besoin de deux nombres dont le produit donne moins 120 et la somme donne 26. Nous avons moins un fois 120, un fois moins 120, moins deux fois 60, deux fois moins 60, moins trois fois 40, trois fois moins 40, moins quatre fois 30, quatre fois moins 30. Nous pourrions continuer, mais rappelons que le but est de trouver deux nombres dont la somme fait 26. Moins quatre plus 30 égale 26.

Et cela signifie que nous pouvons remplacer moins quatre et plus 30 dans nos expressions. Rappelons que notre objectif final est de déterminer le périmètre. Mais pour déterminer le périmètre, il faut connaître la largeur et la longueur. Nous avons presque déterminé la largeur. Prenons chacun de ces termes et écrivons qu’ils sont égaux à zéro. 𝑤 moins quatre est égal à zéro. Ajoutons quatre des deux côtés. Et nous voyons que 𝑤 est égal à quatre. 𝑤 plus 30 est égal à zéro. Donc, nous soustrayons 30 des deux côtés. Et nous obtenons que 𝑤 est égal à moins 30.

Nous savons que nous parlons ici d’une longueur. Et cela signifie que 𝑤 égal à moins 30 n’est pas une solution possible. La seule solution possible est 𝑤 égale quatre. Ce qui signifie que la largeur de ce rectangle est égale à quatre centimètres. Et cela signifie que la longueur est égale à quatre plus 26. La longueur est égale à 30 centimètres.

Le périmètre d’un rectangle est deux fois la longueur plus la largeur. Ici, cela fait deux fois 30 plus quatre. Deux fois 34 est égal à 68. Rappelons que le périmètre est la distance autour d’une figure. Et cette distance est une mesure de longueur. Donc, l’unité est le centimètre, pas le centimètre carré. Le périmètre de ce rectangle est de 68 centimètres.

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