Fiche explicative de la leçon: Applications des équations du second degré

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à résoudre des problèmes à énoncé en écrivant et en résolvant des équations du second degré.

À l’occasion, nous serons chargés d’écrire et de résoudre des équations du second degré à partir d’un scénario concret. Assez souvent, il s’agira de problèmes impliquant une aire et la recherche de longueurs inconnues ou de tout autre domaine dans lequel on trouve des équations du second degré.

L’approche standard de ces questions consiste à extraire les informations clés de la question et à les utiliser pour écrire une équation qui peut ensuite être résolue en utilisant des méthodes standards. Pour le démontrer, nous examinerons une série d’exemples, en étudiant chacune des étapes nécessaires pour arriver à une solution.

Exemple 1: Déterminer le périmètre d’un rectangle en fonction de son aire et la différence entre ses dimensions

Quel est le périmètre d’un rectangle d’une longueur de 7 cm de plus que sa largeur et dont l’aire est de 78 cm² ?

Réponse

Pour commencer, il peut être utile de réaliser un schéma représentant le scénario décrit. On sait que la longueur est de 7 cm plus longue que la largeur, on appelle donc la largeur, en centimètres, et la longueur . Cela nous donne le rectangle suivant.

On sait que l’aire d’un rectangle est calculée en multipliant sa longueur par sa largeur. Ici, la longueur est et la largeur est . Comme l’aire vaut 78, nous pouvons utiliser cette information pour écrire l’équation suivante :

Si on utilise ensuite la propriété de distributivité pour développer les parenthèses, on obtient

En soustrayant 78 des deux côtés, on obtient

À ce stade, nous avons une équation du second degré sous une forme qui peut être résolue. Nous pouvons vérifier si l’équation peut être factorisée ou nous pouvons la résoudre par la méthode de complétion du carré ou encore en utilisant la formule du second degré. Si l’on considère les paires de facteurs de 78, nous avons

Nous avons besoin de deux nombres que l’on multiplie pour faire et dont la somme est 7 ; en utilisant les paires de facteurs, nous trouvons la paire et 13.

Par conséquent, l’équation se factorise comme suit :

Nos solutions pour sont ensuite calculées en identifiant les points en lesquels chacun des deux facteurs est égal à zéro. C’est-à-dire et .

Sachant que est une longueur, elle ne peut pas être négative, alors notre solution doit être .

Enfin, nous devons déterminer le périmètre du rectangle, c’est-à-dire la somme des longueurs des côtés. Nous savons que la largeur est de 6 cm et que la longueur est de , le périmètre est donc donné par

Dans notre exemple précédent, nous avons remarqué une différence clé entre la résolution d’équations du second degré dans un sens mathématique et dans un contexte réel. Nous avons vu que l’équation du second degré en question avait deux solutions ; cependant comme est une longueur, elle doit être positive, ce qui signifie que l’une des solutions n’était pas valide. C’est toujours une bonne idée de vérifier les réponses trouvées pour ces types de problèmes afin de s’assurer qu’elles ont un sens dans le contexte de leur scénario réel.

Nous verrons un scénario similaire dans notre prochaine question impliquant la recherche d’un nombre positif qui satisfait une certaine propriété.

Exemple 2: Écrire et résoudre des équations du second degré

Déterminez le nombre positif dont le carré est plus grand de 15 que le double de sa valeur.

Réponse

La première chose que nous devons faire est de traduire le problème sous la forme d’une équation. Soit le nombre que nous essayons de trouver. La première information qui nous est donnée est que est positif ; c’est-à-dire . Deuxièmement, on nous dit que le carré du nombre, , dépasse le double de sa valeur, , de 15. Cela signifie que la différence entre et vaut 15. Par conséquent,

En soustrayant 15 des deux côtés de l’équation, nous obtenons l’équation du second degré suivante sous forme standard :

Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer la valeur de . Notez que 15 est le produit de 3 et 5. De plus, nous pouvons observer que . Ainsi, nous sommes en mesure de factoriser l’équation comme suit :

Ainsi, soit ou . En résolvant chaque équation, on obtient et . Cependant, on nous a dit que nous recherchons un nombre positif ; par conséquent, la solution est 5.

Dans notre prochain exemple, nous allons résoudre un autre problème impliquant des longueurs dans un rectangle, cette fois en utilisant la formule du second degré.

Exemple 3: Utiliser des équations du second degré pour résoudre des problèmes

Un triangle rectangle a des côtés de longueurs , et . Déterminez la longueur de son côté le plus petit.

Astuce : Déterminons d’abord quel côté est l’hypoténuse.

Réponse

Puisqu’il s’agit d’un problème impliquant des longueurs dans un triangle rectangle, c’est une bonne idée d’utiliser les informations qui nous ont été données pour réaliser un schéma. Pour ce faire, nous devons d’abord déterminer quelle est la longueur de l’hypoténuse. On note que l’un des côtés a une longueur de , doit donc être positif. Nous notons également que est plus petit que l’autre longueur, , donc cela doit être l’hypoténuse. Cela nous donne ce qui suit.

Le côté le plus petit a une longueur , nous devons donc déterminer la valeur de . Nous pouvons le faire en appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle ; on a

En calculant les parenthèses, cela nous donne

On peut alors regarder les termes semblables et les réarranger pour écrire une équation du second degré :

Nous pouvons résoudre ce problème en déterminant une paire de nombres dont le produit est et dont la somme est . On trouve la paire et 1, nous avons donc

Pour qu’un produit soit égal à zéro, l’un des facteurs doit être égal à zéro. Par conséquent, nous avons soit ou . Comme est une longueur de côté, elle doit être positive, alors .

Enfin, le côté le plus petit du triangle a une longueur de , le côté le plus petit a donc une longueur de 7 cm.

Avant de poursuivre, il convient de noter que toutes les difficultés que nous pouvons avoir avec les équations du second degré se produisent également lors de leur application à des scénarios réels. Par exemple, nous ne pouvons pas factoriser à chaque fois les équations du second degré et nous devrons parfois appliquer la formule quadratique pour déterminer les racines que nous pouvons ensuite arrondir avec un degré de précision approprié. Une autre possibilité est qu’il pourrait y avoir 0, 1 ou 2 solutions selon le signe du discriminant et qu’il y a toujours des limites concrètes aux valeurs possibles des variables.

Voyons un exemple de problème dans lequel ces deux situations se produisent. Imaginons que l’entrée d’un tunnel est modélisée par une parabole d’équation , avec la hauteur du tunnel en mètres et le déplacement horizontal en mètres à partir d’un point connu, comme indiqué.

Nous voulons l’utiliser pour déterminer la largeur maximale de l’entrée du tunnel. On peut d’abord noter que les paraboles s’ouvrent vers l’extérieur, la largeur maximale se situe donc au niveau de la partie la plus basse du tunnel, lorsque . Par conséquent, nous pouvons trouver les valeurs de ces points en résolvant l’équation

Nous ne pouvons pas résoudre ce problème en factorisant, alors nous utiliserons la formule quadratique qui stipule que les solutions de l’équation du second degré sont

Dans cette équation du second degré, nous avons , et . En utilisant ces valeurs et en simplifiant, nous avons

L’expression pour les racines ne se simplifie pas plus, nous allons donc donner les racines au centième près. Nous avons et . La largeur maximale est donc la différence entre ces valeurs, que nous trouvons en utilisant les valeurs exactes des racines. À deux décimales près, cela donne 3,20 m.

Dans nos trois derniers exemples, nous allons résoudre divers problèmes en géométrie et en théorie des nombres en écrivant et en résolvant des équations du second degré.

Exemple 4: Utiliser des équations du second degré pour résoudre des problèmes

Le schéma montre un prisme rectangulaire, avec une aire égale à 580. Déterminez la valeur de .

Réponse

On note d’abord que l’aire de ce prisme rectangulaire sera la même que son l’aire de sa surface. En d’autres termes, la somme de l’aire des faces du prisme rectangulaire est de 580 unités carrées. Nous devons commencer par trouver une expression pour cette somme. Pour ce faire, nous notons qu’il y a 6 faces et que les faces opposées ont la même aire. Enfin, nous savons que chaque face est un rectangle ou un carré, l’aire de chaque face est donc égale à la longueur multipliée par la largeur. Cela nous permet de déterminer l’aire de chaque face comme suit.

La longueur de la face avant est de et sa largeur est de 3, son aire est donc de . La longueur de la face supérieure est de et sa largeur est de , son aire est donc . La longueur des faces latérales est de et leur largeur est de 3, leur aire est donc .

Puisqu’il y a deux faces à chaque fois, l’aire de la surface est la somme de deux fois chaque expression, ce qui donne

On nous dit que la somme vaut 580, ce qui nous donne l’équation

On soustrait 580 des deux côtés pour obtenir

Nous pourrions alors essayer de résoudre ce problème en factorisant ; cependant, le produit de a plusieurs paires de facteurs, il est donc plus facile d’appliquer la formule quadratique. On rappelle que la formule du second degré indique que les solutions de l’équation du second degré sont

Dans cette équation du second degré, nous avons , et . En utilisant ces valeurs et en simplifiant, on obtient

En calculant chaque racine séparément, on obtient que ou . Comme représente une longueur, elle doit être positive ; par conséquent, .

Exemple 5: Écrire et résoudre des équations du second degré

Déterminez le nombre positif qui est inférieur de 66 à deux fois son carré.

Réponse

Si nous appelons le nombre positif que nous essayons de trouver , alors on nous dit que est inférieur de 66 à deux fois son carré. Deux fois le carré de est et puique est 66 de moins que cela, on peut ajouter 66 à pour créer une expression équivalente, nous avons donc

On peut résoudre cette équation du second degré pour en réarrangeant d’abord l’équation afin obtenir

Ensuite, nous devons trouver deux nombres dont le produit est et dont la somme est . En considérant les paires de facteurs de 132, nous pouvons trouver la paire et 11. Nous les utilisons pour réécrire l’équation :

On factorise par les deux premiers termes et par 11 les deux derniers termes pour obtenir

Enfin, on factorise par , ce qui donne

Pour que le produit de deux nombres soit nul, l’un des facteurs doit être nul. Ainsi, soit ou . En résolvant chaque équation, on obtient ou . Comme on nous dit que est positif, nous avons .

Par conséquent, le nombre positif qui est inférieur de 66 à deux fois son carré est 6.

Dans notre dernier exemple, nous allons écrire et résoudre une équation du second degré à partir d’un problème géométrique impliquant l’équation des aires d’un trapèze et d’un rectangle.

Exemple 6: Utiliser des équations du second degré pour résoudre des problèmes

La figure montre un trapèze et un rectangle.

Écrivez une expression pour l’aire du rectangle.
Écrivez une expression pour l’aire du trapèze.
Si le trapèze et le rectangle ont la même aire, déterminez la valeur de en utilisant une équation appropriée.

Réponse

Partie 1

On rappelle que l’aire d’un rectangle est égale à la largeur multiplié par la longueur. Sur la figure, le rectangle a une longueur de et une largeur de . Ainsi, son aire est le produit des expressions :

Partie 2

On rappelle que l’aire d’un trapèze correspond à la moitié de la somme des côtés parallèles (ou bases) multipliée par la hauteur perpendiculaire. On voit sur la figure que les côtés parallèles ont des longueurs de et , leur somme est donc . On peut aussi noter que la hauteur perpendiculaire est . Ainsi, l’aire de ce trapèze est la moitié du produit de ces expressions, qui est donnée par

Partie 3

Si le trapèze et le rectangle ont des aires égales, alors les expressions pour leurs aires doivent être égales ; ces expressions sont donc égales et nous avons

En développant les parenthèses du côté gauche de l’équation, nous avons

En développant les parenthèses du côté droit de l’équation, nous avons

L’équation de chaque expression développée pour les aires nous donne

Nous pouvons alors réarranger cela en une équation du second degré sous forme standard comme suit :

Ensuite, nous pouvons résoudre cette équation en utilisant la factorisation en notant que et ; cela donne

Ensuite, nous pouvons égaler chaque facteur à zéro pour voir que et sont des solutions à l’équation.

Nous pourrions être tentés de conclure que ces deux valeurs sont des solutions car elles sont toutes les deux positives ; Cependant, nous voyons que le rectangle a une longueur de . Cela signifie que ne peut être inférieur à 9 ; sinon, cette longueur serait négative.

Par conséquent, la valeur de est 12.

Terminons en récapitulant certains points importants de cette fiche explicative.

Points clés

Dans certains problèmes, il peut être nécessaire d’extraire les informations de la question et de les utiliser pour écrire une équation du second degré.
Il est souvent nécessaire de simplifier l’équation du second degré sous forme standard pour pouvoir la résoudre.
Nous pouvons utiliser l’une des méthodes standards pour résoudre l’équation du second degré, comme la factorisation, la complétion du carré, la factorisation par regroupement ou la formule quadratique.
Nous devrions vérifier toutes les solutions avec le contexte du problème ; parfois, une seule solution sera appropriée dans le contexte donné.