Transcription de la vidéo
Dans cette vidĂ©o, nous apprendrons comment rĂ©soudre des problĂšmes Ă©crits en formant et en rĂ©solvant des Ă©quations du second degrĂ©. Ce sont des Ă©quations qui peuvent ĂȘtre Ă©crites sous la forme đđ„ au carrĂ© plus đđ„ plus đ Ă©gale zĂ©ro avec des constantes đ, đ et đ, ce qui signifie quâil sâagit simplement de valeurs, gĂ©nĂ©ralement des nombres. Il faut Ă©galement que la valeur de đ ne soit pas nulle, car cela ne nous laisserait pas de terme en đ„ au carrĂ©. Et donc, lâĂ©quation serait du premier degrĂ© et non du second degrĂ©. Il est tout Ă fait possible que đ ou đ soit nul ici.
Vous devez dĂ©jĂ ĂȘtre familiers avec la rĂ©solution dâĂ©quations du second degrĂ© par factorisation. Vous connaissez peut-ĂȘtre Ă©galement deux autres mĂ©thodes pour rĂ©soudre des Ă©quations du second degrĂ©, en utilisant la formule des racines du polynĂŽme du second degrĂ© et en complĂ©tant le carrĂ©. Mais ne vous inquiĂ©tez pas si vous nâavez pas encore rencontrĂ© ces mĂ©thodes, car elles ne seront pas requises pour les exemples traitĂ©s dans cette leçon. Lâobjectif de cette vidĂ©o sera principalement dâĂ©tablir lâĂ©quation du second degrĂ© Ă partir dâune description Ă©crite ou dâune figure. Mais nous allons Ă©galement rĂ©soudre chacune de nos Ă©quations. Nous passerons en revue la mĂ©thode de rĂ©solution dâune Ă©quation du second degrĂ© par factorisation ou par dĂ©composition plus en dĂ©tail dans le contexte dâexemples.
La somme des carrĂ©s de deux nombres rĂ©els positifs est Ă©gale Ă 542. Ătant donnĂ© que lâun dâeux est 18, trouvez la valeur de lâautre.
Donc, dans cette question, nous ne cherchons pas Ă adopter une approche par essais et erreurs. Nous allons rĂ©pondre Ă cette question en formant une Ă©quation. Regardons les informations qui nous ont Ă©tĂ© donnĂ©es. On nous dit que la somme des carrĂ©s de deux nombres rĂ©els positifs est Ă©gale Ă 542. Nous devons introduire des lettres pour reprĂ©senter ces nombres. Donc, Ă ce stade, vous pouvez penser Ă dĂ©signer lâun des nombres par đ„ et lâautre par đŠ. Et si la somme de leurs carrĂ©s est 542, alors nous pouvons lâexprimer comme une Ă©quation, đ„ au carrĂ© plus đŠ au carrĂ© Ă©gale 542. Cependant, si nous continuons la lecture de la question, nous voyons quâil est indiquĂ© que lâun des nombres est 18. Donc, nous nâavons pas du tout besoin dâutiliser deux lettres. Nous pouvons utiliser une lettre, đ„, pour reprĂ©senter le nombre inconnu, puis notre deuxiĂšme nombre sera 18. Nous avons donc lâĂ©quation đ„ au carrĂ© plus 18 au carrĂ© Ă©gale 542.
Maintenant, la dĂ©marche suivie ici consiste Ă former une Ă©quation. Et câest une Ă©quation du second degrĂ© parce que la puissance la plus Ă©levĂ©e de notre variable, câest-Ă -dire đ„, est deux. Voyons maintenant comment rĂ©soudre cette Ă©quation. PremiĂšrement, sur le membre de gauche, nous pouvons calculer lâexpression 18 au carrĂ©Â ; elle est Ă©gale Ă 324. Nous voulons isoler đ„ dans le membre de gauche. La prochaine Ă©tape consiste donc Ă soustraire 324 de chaque cĂŽtĂ©. Lorsque nous le faisons, nous nous retrouvons avec đ„ au carrĂ© sur le membre de gauche. Et sur le membre de droite, 542 moins 324 est 218.
Maintenant, nous avons đ„ au carrĂ© Ă©gale 218. Et pour calculer la valeur de đ„, nous devons appliquer lâinverse ou lâopposĂ© de lâopĂ©ration qui consiste Ă Ă©lever au carrĂ©, donc prendre la racine carrĂ©e. Nous prenons donc la racine carrĂ©e de chaque membre de lâĂ©quation. La racine carrĂ©e de đ„ au carrĂ© est đ„. Et sur le membre de droite, nous prenons la racine carrĂ©e de 218. Mais il est important que lorsque nous rĂ©solvons une Ă©quation en prenant la racine carrĂ©e, nous nous rappelons de prendre plus ou moins la racine carrĂ©e. Nous avons alors đ„ Ă©gale plus ou moins la racine carrĂ©e de 218.
Maintenant, câest certainement la bonne solution Ă lâĂ©quation du second degrĂ© que nous avons formĂ©e. Mais si nous repensons Ă la question, on nous a dit que nos deux nombres sont des nombres rĂ©els positifs. Cela signifie quâen termes de rĂ©ponse Ă la question, đ„ ne peut prendre quâune valeur positive. Ainsi, bien que la racine carrĂ©e de moins 218 soit une solution valide de lâĂ©quation du second degrĂ©, ce nâest pas une solution valide dans ce problĂšme. Notre seule rĂ©ponse est donc đ„ Ă©gale la racine carrĂ©e de 218. Maintenant, cette racine ne peut pas ĂȘtre simplifiĂ©e davantage, car 218 nâa pas de facteur carrĂ© autre que un. Et il est logique de donner une rĂ©ponse exacte, alors nous allons laisser notre rĂ©ponse sous forme de racine carrĂ©e plutĂŽt que dâun nombre dĂ©cimal arrondi. Notre rĂ©ponse est alors que le deuxiĂšme nombre est la racine carrĂ©e de 218.
Nous pouvons bien sĂ»r vĂ©rifier cela en substituant notre valeur de đ„ dans notre Ă©quation ou dans les informations fournies par la question, et en confirmant que nous obtenons effectivement 542 pour la somme des carrĂ©s des deux nombres.
Maintenant, dans ce problĂšme, lâĂ©quation du second degrĂ© que nous avons formĂ©e pourrait ĂȘtre rĂ©solue simplement en rĂ©arrangeant puis en calculant la racine carrĂ©e. Dans notre prochain problĂšme, nous allons voir un exemple oĂč nous devons rĂ©soudre une Ă©quation du second degrĂ© par factorisation ou par dĂ©composition.
Quel est le pĂ©rimĂštre dâun rectangle dont la longueur est supĂ©rieure de sept centimĂštres Ă sa largeur et dont lâaire est de 78 centimĂštres carrĂ©s ?
Maintenant, dans un problĂšme comme celui-ci, câest toujours une bonne idĂ©e de dessiner notre propre figure afin de pouvoir visualiser la situation. Nous avons un rectangle, il ressemble donc Ă quelque chose comme ça. Maintenant, nous ne connaissons pas sa largeur, nous pouvons donc utiliser la lettre đ€ pour reprĂ©senter cette valeur inconnue. On nous dit que la longueur du rectangle est supĂ©rieure de sept centimĂštres Ă sa largeur, ce qui signifie que nous pouvons exprimer la longueur en fonction de la largeur. Si la largeur est đ€, alors la longueur sera đ€ plus sept. Nous avons donc des expressions pour la longueur et la largeur du rectangle en fonction de la mĂȘme lettre, đ€. On nous dit Ă©galement que lâaire de ce rectangle est de 78 centimĂštres carrĂ©s, et on nous demande de calculer son pĂ©rimĂštre.
Pour ce faire, nous allons avoir besoin de connaĂźtre la valeur de đ€. Nous pouvons donc utiliser les informations qui nous ont Ă©tĂ© donnĂ©es pour former une Ă©quation. Lâaire dâun rectangle est calculĂ©e en multipliant sa longueur par sa largeur. Ainsi, en utilisant les expressions que nous avons pour ces deux valeurs, nous avons đ€ multipliĂ© par đ€ plus sept ou đ€ plus sept multipliĂ© par đ€. Mais comme nous le savons, lâaire vaut 78 centimĂštres carrĂ©s. Nous pouvons Ă©crire ceci comme une Ă©quation. Nous avons alors đ€ multipliĂ© par đ€ plus sept Ă©gale 78.
LâĂ©tape suivante consiste Ă rĂ©arranger lĂ©gĂšrement cette Ă©quation, ce que nous ferons en dĂ©veloppant les parenthĂšses ou en distribuant les parenthĂšses comme vous pouvez lâappeler. Alors đ€ multipliĂ© par đ€ donne đ€ au carrĂ©, et đ€ multipliĂ© par sept donne sept đ€. Nous avons donc đ€ au carrĂ© plus sept đ€ Ă©gale 78. LâĂ©tape suivante consiste simplement Ă soustraire 78 de chaque cĂŽtĂ© de lâĂ©quation, car nous voulons regrouper tous les termes ensemble du mĂȘme cĂŽtĂ©. Cela donne đ€ au carrĂ© plus sept đ€ moins 78 Ă©gale zĂ©ro. Et maintenant, nous voyons que nous avons une Ă©quation du second degrĂ© en đ€ sous cette forme la plus facilement reconnaissable. Nous devons rĂ©soudre cette Ă©quation pour trouver la valeur de đ€. Voyons donc si cette Ă©quation peut ĂȘtre factorisĂ©e.
Comme le coefficient de đ€ au carrĂ©, donc le nombre devant đ€ au carrĂ©, est le nombre un, le premier terme de chacun de nos facteurs sera simplement đ€. Et pour complĂ©ter nos facteurs, nous recherchons ensuite deux nombres dont la somme est le coefficient de đ€, Ă savoir plus sept, et dont le produit est le terme constant, qui est moins 78. Pour trouver ces nombres, nous pouvons commencer par Ă©numĂ©rer toutes les paires de facteurs de 78. Ils sont un et 78, deux et 39, trois et 26, et six et 13. Maintenant, le produit doit ĂȘtre moins 78, ce qui signifie que lâun de nos nombres doit ĂȘtre nĂ©gatif et que lâautre doit ĂȘtre positif. Et nous voyons que si nous utilisons notre derniĂšre paire de facteurs et que nous choisissons six pour ĂȘtre nĂ©gatif mais 13 pour ĂȘtre positif. Alors, nous avons moins six plus 13 ou 13 moins six, ce qui est en effet Ă©gal Ă sept. La somme de cette paire de facteurs serait donc la valeur correcte.
Nous pouvons donc complĂ©ter nos deux ensembles de parenthĂšses en ajoutant la valeur moins six au premier ensemble et plus 13 au second. Nous avons maintenant la forme factorisĂ©e de notre Ă©quation du second degrĂ©. Et vous pouvez confirmer que câest en effet correct en redistribuant ou en dĂ©veloppant Ă nouveau les parenthĂšses. LâĂ©tape suivante de cette mĂ©thode consiste Ă rappeler que si le produit de deux facteurs est nul, alors au moins un de ces facteurs doit lui-mĂȘme ĂȘtre nul. Donc, nous prenons chaque facteur tour Ă tour et le rendre Ă©gal Ă zĂ©ro, alors nous obtenons đ€ moins six Ă©gale zĂ©ro ou đ€ plus 13 Ă©gale zĂ©ro. Nous pouvons alors rĂ©soudre les Ă©quations du premier degrĂ© rĂ©sultantes.
Pour rĂ©soudre la premiĂšre Ă©quation, nous ajoutons six des deux cĂŽtĂ©s, nous obtenons alors đ€ Ă©gale six. Et pour rĂ©soudre la seconde, nous soustrayons 13 de chaque cĂŽtĂ©, nous obtenons đ€ Ă©gale 13. Nous avons donc deux solutions Ă notre Ă©quation du second degrĂ©. Une solution oĂč đ€ est Ă©gal Ă six, et une autre oĂč đ€ Ă©gale moins 13. Cependant, bien que ces deux solutions soient valides pour lâĂ©quation du second degrĂ©, elles ne sont pas toutes les deux valables en fonction du contexte de ce problĂšme. Si nous regardons en arriĂšre notre rectangle, nous pouvons voir que đ€ reprĂ©sente sa largeur. Et la largeur doit prendre une valeur positive. Donc đ€ ne peut pas ĂȘtre Ă©gal Ă moins 13 dans ce problĂšme. Nous Ă©liminons donc cette valeur. Nous avons alors trouvĂ© que la valeur de đ€ et la largeur de notre rectangle sont six.
Enfin, nous nous rappelons quâon ne nous a pas demandĂ© de trouver la largeur du rectangle, mais de calculer son pĂ©rimĂštre. Nous savons donc maintenant que sa largeur est de six centimĂštres et que sa longueur Ă©gale six plus sept ; cela fait 13 centimĂštres. Le pĂ©rimĂštre est la distance du contour de ce rectangle. Nous pouvons donc soit additionner les quatre cĂŽtĂ©s, 13 plus six plus 13 plus six. Ou nous pourrions utiliser la formule selon laquelle le pĂ©rimĂštre est Ă©gal au double de la somme de la longueur et de la largeur. Donc, nous pourrions avoir deux fois six plus 13. Dans les deux cas, cela donnera, bien sĂ»r, la mĂȘme valeur de 38. Lâaire de ce rectangle a Ă©tĂ© donnĂ©e en centimĂštres carrĂ©s, donc les unitĂ©s pour son pĂ©rimĂštre seront des centimĂštres. Et nous avons ainsi trouvĂ© que le pĂ©rimĂštre du rectangle est de 38 centimĂštres.
Pour vĂ©rifier notre rĂ©ponse, nous pouvons multiplier la longueur et la largeur que nous avons calculĂ©es et confirmer que lâaire est bien Ă©gale Ă 78 centimĂštres carrĂ©s.
Maintenant, dans cet exemple, lâĂ©quation du second degrĂ© que nous devions factoriser avait un coefficient dominant, soit le coefficient de đ€ au carrĂ©, qui Ă©tait Ă©gal Ă un. Dans notre dernier exemple, nous nous rappellerons comment rĂ©soudre des Ă©quations du second degrĂ© par factorisation lorsque le coefficient dominant nâest pas Ă©gal Ă un.
Trouvez le nombre positif qui vaut 66 de moins que deux fois son carré.
Pour rĂ©pondre Ă cette question, nous allons devoir utiliser lâalgĂšbre, et nous allons devoir former une Ă©quation. Introduisons donc une lettre pour reprĂ©senter ce nombre positif. Nous pouvons lâappeler comme bon nous semble ; appelons cela đ„. On nous dit que đ„ est infĂ©rieur de 66 au double de son carrĂ©. Maintenant, le carrĂ© de đ„ peut ĂȘtre Ă©crit comme đ„ au carrĂ©. Deux fois son carrĂ© signifie que nous multiplions cela par deux, ce qui donne deux đ„ au carrĂ©. Et nous voulons alors soustraire 66 Ă cette valeur. Nous avons donc lâexpression deux đ„ au carrĂ© moins 66. Mais rappelez-vous, câest Ă©gal au nombre lui-mĂȘme. Donc, comme une Ă©quation, nous avons deux đ„ au carrĂ© moins 66 Ă©gale đ„. Nous avons donc formulĂ© ce problĂšme comme une Ă©quation du second degrĂ©. Et nous devons maintenant le rĂ©soudre afin de trouver la valeur de đ„.
Nous voulons regrouper tous les termes du mĂȘme cĂŽtĂ© de lâĂ©quation. Nous pouvons faire cela en soustrayant đ„ de chaque cĂŽtĂ©, donc obtenir deux đ„ moins đ„ au carrĂ© moins 66 Ă©gale zĂ©ro, ce qui est une Ă©quation du second degrĂ© dans sa forme la plus facilement reconnaissable. Maintenant, nous voulons rĂ©soudre cette Ă©quation du second degrĂ© par factorisation. Mais notez que le coefficient de đ„ au carrĂ©, le coefficient dominant, nâest pas Ă©gal Ă un. Nous allons donc utiliser la mĂ©thode de factorisation par regroupement. Nous recherchons deux nombres dont la somme est le coefficient de đ„, qui vaut moins un, et dont le produit est le produit du coefficient de đ„ au carrĂ© et du terme constant. Câest deux fois moins 66, ce qui est moins 132.
Plus vous ĂȘtes familiers avec vos tables de multiplication, plus vous repĂ©rerez rapidement ces deux nombres. Ils sont moins 12 et plus 11. Maintenant, la prochaine Ă©tape peut sembler un peu Ă©trange. Ce que nous allons faire, câest prendre ce terme moins đ„ et le rĂ©Ă©crire en utilisant ces deux nombres. Nous allons le rĂ©Ă©crire en moins 12đ„ plus 11đ„. Nous avons donc maintenant notre Ă©quation du second degrĂ© Ă quatre termes, deux đ„ au carrĂ© moins 12đ„ plus 11đ„ moins 66 Ă©gale zĂ©ro. Ensuite, ce que nous allons faire est de diviser cette Ă©quation du second degrĂ© en deux. Et nous allons factoriser les deux moitiĂ©s sĂ©parĂ©ment.
En regardant la premiĂšre moitiĂ©, deux đ„ au carrĂ© moins 12đ„, ces deux termes ont un facteur commun de deux đ„. Et si nous retirons cela, nous nous retrouvons alors avec đ„ moins six. Ainsi, la premiĂšre moitiĂ© se divise en deux đ„ multipliĂ©s par đ„ moins six. En regardant la deuxiĂšme moitiĂ© de notre Ă©quation du second degrĂ©, 11đ„ moins 66, ces deux termes ont un facteur commun de 11. Et une fois que nous avons factorisĂ© par 11, nous nous retrouvons avec đ„ moins six entre parenthĂšses. Ainsi, la seconde moitiĂ© de notre Ă©quation du second degrĂ© se factorise en 11 multipliĂ© par đ„ moins six.
Maintenant, le point clĂ©, et ce sera toujours le cas si une Ă©quation du second degrĂ© peut ĂȘtre rĂ©solue par factorisation, est que les deux moitiĂ©s de notre expression ont maintenant un facteur commun de đ„ moins six. Nous factorisons donc lâĂ©quation entiĂšre par đ„ moins six. Pour le premier terme, nous devons multiplier par deux đ„. Et pour le second, nous devons multiplier par 11. Il est donc possible dâĂ©crire notre Ă©quation du second degrĂ© comme đ„ moins six multipliĂ© par deux đ„ plus 11. Et câest maintenant sous une forme entiĂšrement factorisĂ©e. Rappelez-vous, il sera toujours vrai que les deux moitiĂ©s de votre expression partagent un facteur commun si lâĂ©quation du second degrĂ© peut ĂȘtre factorisĂ©e.
Si vous passez par cette mĂ©thode et que vous trouvez que les deux moitiĂ©s ne partagent pas de facteur commun, alors soit vous avez fait une erreur, soit lâĂ©quation du second degrĂ© que vous rĂ©solvez ne peut pas ĂȘtre factorisĂ©e. Alors, vous devez recourir Ă une autre mĂ©thode pour la rĂ©soudre, en utilisant par exemple la formule des racines du polynĂŽme du second degrĂ©, ou en complĂ©tant le carrĂ©, si vous en avez connaissance. Quoi quâil en soit, notre Ă©quation du second degrĂ© peut ĂȘtre factorisĂ©e, et nous avons sa forme factorisĂ©e. La prochaine Ă©tape consiste donc Ă prendre chaque facteur tour Ă tour et Ă le rendre Ă©gal Ă zĂ©ro.
Nous avons đ„ moins six Ă©gale zĂ©ro ou deux đ„ plus 11 Ă©gale zĂ©ro. Pour rĂ©soudre la premiĂšre Ă©quation, nous devons ajouter six de chaque cĂŽtĂ©, nous obtenons alors đ„ Ă©gale six. Et nous pouvons rĂ©soudre la seconde Ă©quation en deux Ă©tapes. Dâabord, nous soustrayons 11 de chaque cĂŽtĂ©, et nous obtenons deux đ„ Ă©gale moins 11. Ensuite, nous pouvons diviser par deux et avoir đ„ Ă©gale moins 11 sur deux ou moins 5,5. Maintenant, nous savons que ces deux solutions sont valides Ă notre Ă©quation du second degrĂ©. Mais si nous revenons Ă la question, on nous a dit que ce nombre que nous recherchons devait ĂȘtre positif. Ce qui signifie quâil ne peut pas ĂȘtre Ă©gal Ă moins 11 sur deux. Nous pouvons donc Ă©liminer cette valeur. Notre solution est donc đ„ Ă©gale six. Mais vĂ©rifions cela.
Ce nombre doit ĂȘtre 66 de moins que deux fois son carrĂ©, nous avons donc deux fois six au carrĂ© moins 66. Câest deux fois 36, ce qui est 72 moins 66, câest en effet Ă©gal Ă six, le nombre lui-mĂȘme. Cela confirme donc que notre solution est correcte. Nous avons donc trouvĂ© la rĂ©ponse au problĂšme. Le nombre positif que nous recherchons est six.
RĂ©sumons maintenant ce que nous avons vu dans cette vidĂ©o. PremiĂšrement, nous avons vu que les Ă©quations du second degrĂ© peuvent ĂȘtre utilisĂ©es pour rĂ©soudre de nombreux types de problĂšmes diffĂ©rents. Y compris les problĂšmes avec des nombres manquants et les problĂšmes impliquant lâaire de figures bidimensionnelles ou peut-ĂȘtre lâaire dâune figure tridimensionnelle. Si on nous donne une description dĂ©taillĂ©e dâun problĂšme rĂ©el, câest souvent une bonne idĂ©e de dessiner un schĂ©ma simple sâil ne nous a pas Ă©tĂ© fourni.
Nous devrons peut-ĂȘtre introduire nous-mĂȘmes des lettres ou des variables pour reprĂ©senter les valeurs manquantes dans la question. Et nous devons ensuite former lâĂ©quation du second degrĂ© en utilisant les informations fournies. Nous devons nous assurer de la lire attentivement et de dĂ©composer les informations. Puis, nous devons rĂ©soudre notre Ă©quation du second degrĂ© par factorisation. Ou peut-ĂȘtre quâĂ lâavenir, nous pourrions recourir Ă une autre mĂ©thode, en utilisant par exemple la formule des racines du polynĂŽme du second degrĂ©, ou en complĂ©tant le carrĂ©. Ătre capable de former et de rĂ©soudre en toute confiance des Ă©quations du second degrĂ© est une compĂ©tence trĂšs utile car elles peuvent ĂȘtre utilisĂ©es pour reprĂ©senter une si grande variĂ©tĂ© de problĂšmes.