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Vidéo de la leçon : Applications des équations quadratiques Mathématiques

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment résoudre des problèmes écrits en formant et en résolvant des équations quadratiques.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment résoudre des problèmes écrits en formant et en résolvant des équations du second degré. Ce sont des équations qui peuvent être écrites sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro avec des constantes 𝑎, 𝑏 et 𝑐, ce qui signifie qu’il s’agit simplement de valeurs, généralement des nombres. Il faut également que la valeur de 𝑎 ne soit pas nulle, car cela ne nous laisserait pas de terme en 𝑥 au carré. Et donc, l’équation serait du premier degré et non du second degré. Il est tout à fait possible que 𝑏 ou 𝑐 soit nul ici.

Vous devez déjà être familiers avec la résolution d’équations du second degré par factorisation. Vous connaissez peut-être également deux autres méthodes pour résoudre des équations du second degré, en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré et en complétant le carré. Mais ne vous inquiétez pas si vous n’avez pas encore rencontré ces méthodes, car elles ne seront pas requises pour les exemples traités dans cette leçon. L’objectif de cette vidéo sera principalement d’établir l’équation du second degré à partir d’une description écrite ou d’une figure. Mais nous allons également résoudre chacune de nos équations. Nous passerons en revue la méthode de résolution d’une équation du second degré par factorisation ou par décomposition plus en détail dans le contexte d’exemples.

La somme des carrés de deux nombres réels positifs est égale à 542. Étant donné que l’un d’eux est 18, trouvez la valeur de l’autre.

Donc, dans cette question, nous ne cherchons pas à adopter une approche par essais et erreurs. Nous allons répondre à cette question en formant une équation. Regardons les informations qui nous ont été données. On nous dit que la somme des carrés de deux nombres réels positifs est égale à 542. Nous devons introduire des lettres pour représenter ces nombres. Donc, à ce stade, vous pouvez penser à désigner l’un des nombres par 𝑥 et l’autre par 𝑦. Et si la somme de leurs carrés est 542, alors nous pouvons l’exprimer comme une équation, 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale 542. Cependant, si nous continuons la lecture de la question, nous voyons qu’il est indiqué que l’un des nombres est 18. Donc, nous n’avons pas du tout besoin d’utiliser deux lettres. Nous pouvons utiliser une lettre, 𝑥, pour représenter le nombre inconnu, puis notre deuxième nombre sera 18. Nous avons donc l’équation 𝑥 au carré plus 18 au carré égale 542.

Maintenant, la démarche suivie ici consiste à former une équation. Et c’est une équation du second degré parce que la puissance la plus élevée de notre variable, c’est-à-dire 𝑥, est deux. Voyons maintenant comment résoudre cette équation. Premièrement, sur le membre de gauche, nous pouvons calculer l’expression 18 au carré ; elle est égale à 324. Nous voulons isoler 𝑥 dans le membre de gauche. La prochaine étape consiste donc à soustraire 324 de chaque côté. Lorsque nous le faisons, nous nous retrouvons avec 𝑥 au carré sur le membre de gauche. Et sur le membre de droite, 542 moins 324 est 218.

Maintenant, nous avons 𝑥 au carré égale 218. Et pour calculer la valeur de 𝑥, nous devons appliquer l’inverse ou l’opposé de l’opération qui consiste à élever au carré, donc prendre la racine carrée. Nous prenons donc la racine carrée de chaque membre de l’équation. La racine carrée de 𝑥 au carré est 𝑥. Et sur le membre de droite, nous prenons la racine carrée de 218. Mais il est important que lorsque nous résolvons une équation en prenant la racine carrée, nous nous rappelons de prendre plus ou moins la racine carrée. Nous avons alors 𝑥 égale plus ou moins la racine carrée de 218.

Maintenant, c’est certainement la bonne solution à l’équation du second degré que nous avons formée. Mais si nous repensons à la question, on nous a dit que nos deux nombres sont des nombres réels positifs. Cela signifie qu’en termes de réponse à la question, 𝑥 ne peut prendre qu’une valeur positive. Ainsi, bien que la racine carrée de moins 218 soit une solution valide de l’équation du second degré, ce n’est pas une solution valide dans ce problème. Notre seule réponse est donc 𝑥 égale la racine carrée de 218. Maintenant, cette racine ne peut pas être simplifiée davantage, car 218 n’a pas de facteur carré autre que un. Et il est logique de donner une réponse exacte, alors nous allons laisser notre réponse sous forme de racine carrée plutôt que d’un nombre décimal arrondi. Notre réponse est alors que le deuxième nombre est la racine carrée de 218.

Nous pouvons bien sûr vérifier cela en substituant notre valeur de 𝑥 dans notre équation ou dans les informations fournies par la question, et en confirmant que nous obtenons effectivement 542 pour la somme des carrés des deux nombres.

Maintenant, dans ce problème, l’équation du second degré que nous avons formée pourrait être résolue simplement en réarrangeant puis en calculant la racine carrée. Dans notre prochain problème, nous allons voir un exemple où nous devons résoudre une équation du second degré par factorisation ou par décomposition.

Quel est le périmètre d’un rectangle dont la longueur est supérieure de sept centimètres à sa largeur et dont l’aire est de 78 centimètres carrés ?

Maintenant, dans un problème comme celui-ci, c’est toujours une bonne idée de dessiner notre propre figure afin de pouvoir visualiser la situation. Nous avons un rectangle, il ressemble donc à quelque chose comme ça. Maintenant, nous ne connaissons pas sa largeur, nous pouvons donc utiliser la lettre 𝑤 pour représenter cette valeur inconnue. On nous dit que la longueur du rectangle est supérieure de sept centimètres à sa largeur, ce qui signifie que nous pouvons exprimer la longueur en fonction de la largeur. Si la largeur est 𝑤, alors la longueur sera 𝑤 plus sept. Nous avons donc des expressions pour la longueur et la largeur du rectangle en fonction de la même lettre, 𝑤. On nous dit également que l’aire de ce rectangle est de 78 centimètres carrés, et on nous demande de calculer son périmètre.

Pour ce faire, nous allons avoir besoin de connaître la valeur de 𝑤. Nous pouvons donc utiliser les informations qui nous ont été données pour former une équation. L’aire d’un rectangle est calculée en multipliant sa longueur par sa largeur. Ainsi, en utilisant les expressions que nous avons pour ces deux valeurs, nous avons 𝑤 multiplié par 𝑤 plus sept ou 𝑤 plus sept multiplié par 𝑤. Mais comme nous le savons, l’aire vaut 78 centimètres carrés. Nous pouvons écrire ceci comme une équation. Nous avons alors 𝑤 multiplié par 𝑤 plus sept égale 78.

L’étape suivante consiste à réarranger légèrement cette équation, ce que nous ferons en développant les parenthèses ou en distribuant les parenthèses comme vous pouvez l’appeler. Alors 𝑤 multiplié par 𝑤 donne 𝑤 au carré, et 𝑤 multiplié par sept donne sept 𝑤. Nous avons donc 𝑤 au carré plus sept 𝑤 égale 78. L’étape suivante consiste simplement à soustraire 78 de chaque côté de l’équation, car nous voulons regrouper tous les termes ensemble du même côté. Cela donne 𝑤 au carré plus sept 𝑤 moins 78 égale zéro. Et maintenant, nous voyons que nous avons une équation du second degré en 𝑤 sous cette forme la plus facilement reconnaissable. Nous devons résoudre cette équation pour trouver la valeur de 𝑤. Voyons donc si cette équation peut être factorisée.

Comme le coefficient de 𝑤 au carré, donc le nombre devant 𝑤 au carré, est le nombre un, le premier terme de chacun de nos facteurs sera simplement 𝑤. Et pour compléter nos facteurs, nous recherchons ensuite deux nombres dont la somme est le coefficient de 𝑤, à savoir plus sept, et dont le produit est le terme constant, qui est moins 78. Pour trouver ces nombres, nous pouvons commencer par énumérer toutes les paires de facteurs de 78. Ils sont un et 78, deux et 39, trois et 26, et six et 13. Maintenant, le produit doit être moins 78, ce qui signifie que l’un de nos nombres doit être négatif et que l’autre doit être positif. Et nous voyons que si nous utilisons notre dernière paire de facteurs et que nous choisissons six pour être négatif mais 13 pour être positif. Alors, nous avons moins six plus 13 ou 13 moins six, ce qui est en effet égal à sept. La somme de cette paire de facteurs serait donc la valeur correcte.

Nous pouvons donc compléter nos deux ensembles de parenthèses en ajoutant la valeur moins six au premier ensemble et plus 13 au second. Nous avons maintenant la forme factorisée de notre équation du second degré. Et vous pouvez confirmer que c’est en effet correct en redistribuant ou en développant à nouveau les parenthèses. L’étape suivante de cette méthode consiste à rappeler que si le produit de deux facteurs est nul, alors au moins un de ces facteurs doit lui-même être nul. Donc, nous prenons chaque facteur tour à tour et le rendre égal à zéro, alors nous obtenons 𝑤 moins six égale zéro ou 𝑤 plus 13 égale zéro. Nous pouvons alors résoudre les équations du premier degré résultantes.

Pour résoudre la première équation, nous ajoutons six des deux côtés, nous obtenons alors 𝑤 égale six. Et pour résoudre la seconde, nous soustrayons 13 de chaque côté, nous obtenons 𝑤 égale 13. Nous avons donc deux solutions à notre équation du second degré. Une solution où 𝑤 est égal à six, et une autre où 𝑤 égale moins 13. Cependant, bien que ces deux solutions soient valides pour l’équation du second degré, elles ne sont pas toutes les deux valables en fonction du contexte de ce problème. Si nous regardons en arrière notre rectangle, nous pouvons voir que 𝑤 représente sa largeur. Et la largeur doit prendre une valeur positive. Donc 𝑤 ne peut pas être égal à moins 13 dans ce problème. Nous éliminons donc cette valeur. Nous avons alors trouvé que la valeur de 𝑤 et la largeur de notre rectangle sont six.

Enfin, nous nous rappelons qu’on ne nous a pas demandé de trouver la largeur du rectangle, mais de calculer son périmètre. Nous savons donc maintenant que sa largeur est de six centimètres et que sa longueur égale six plus sept ; cela fait 13 centimètres. Le périmètre est la distance du contour de ce rectangle. Nous pouvons donc soit additionner les quatre côtés, 13 plus six plus 13 plus six. Ou nous pourrions utiliser la formule selon laquelle le périmètre est égal au double de la somme de la longueur et de la largeur. Donc, nous pourrions avoir deux fois six plus 13. Dans les deux cas, cela donnera, bien sûr, la même valeur de 38. L’aire de ce rectangle a été donnée en centimètres carrés, donc les unités pour son périmètre seront des centimètres. Et nous avons ainsi trouvé que le périmètre du rectangle est de 38 centimètres.

Pour vérifier notre réponse, nous pouvons multiplier la longueur et la largeur que nous avons calculées et confirmer que l’aire est bien égale à 78 centimètres carrés.

Maintenant, dans cet exemple, l’équation du second degré que nous devions factoriser avait un coefficient dominant, soit le coefficient de 𝑤 au carré, qui était égal à un. Dans notre dernier exemple, nous nous rappellerons comment résoudre des équations du second degré par factorisation lorsque le coefficient dominant n’est pas égal à un.

Trouvez le nombre positif qui vaut 66 de moins que deux fois son carré.

Pour répondre à cette question, nous allons devoir utiliser l’algèbre, et nous allons devoir former une équation. Introduisons donc une lettre pour représenter ce nombre positif. Nous pouvons l’appeler comme bon nous semble ; appelons cela 𝑥. On nous dit que 𝑥 est inférieur de 66 au double de son carré. Maintenant, le carré de 𝑥 peut être écrit comme 𝑥 au carré. Deux fois son carré signifie que nous multiplions cela par deux, ce qui donne deux 𝑥 au carré. Et nous voulons alors soustraire 66 à cette valeur. Nous avons donc l’expression deux 𝑥 au carré moins 66. Mais rappelez-vous, c’est égal au nombre lui-même. Donc, comme une équation, nous avons deux 𝑥 au carré moins 66 égale 𝑥. Nous avons donc formulé ce problème comme une équation du second degré. Et nous devons maintenant le résoudre afin de trouver la valeur de 𝑥.

Nous voulons regrouper tous les termes du même côté de l’équation. Nous pouvons faire cela en soustrayant 𝑥 de chaque côté, donc obtenir deux 𝑥 moins 𝑥 au carré moins 66 égale zéro, ce qui est une équation du second degré dans sa forme la plus facilement reconnaissable. Maintenant, nous voulons résoudre cette équation du second degré par factorisation. Mais notez que le coefficient de 𝑥 au carré, le coefficient dominant, n’est pas égal à un. Nous allons donc utiliser la méthode de factorisation par regroupement. Nous recherchons deux nombres dont la somme est le coefficient de 𝑥, qui vaut moins un, et dont le produit est le produit du coefficient de 𝑥 au carré et du terme constant. C’est deux fois moins 66, ce qui est moins 132.

Plus vous êtes familiers avec vos tables de multiplication, plus vous repérerez rapidement ces deux nombres. Ils sont moins 12 et plus 11. Maintenant, la prochaine étape peut sembler un peu étrange. Ce que nous allons faire, c’est prendre ce terme moins 𝑥 et le réécrire en utilisant ces deux nombres. Nous allons le réécrire en moins 12𝑥 plus 11𝑥. Nous avons donc maintenant notre équation du second degré à quatre termes, deux 𝑥 au carré moins 12𝑥 plus 11𝑥 moins 66 égale zéro. Ensuite, ce que nous allons faire est de diviser cette équation du second degré en deux. Et nous allons factoriser les deux moitiés séparément.

En regardant la première moitié, deux 𝑥 au carré moins 12𝑥, ces deux termes ont un facteur commun de deux 𝑥. Et si nous retirons cela, nous nous retrouvons alors avec 𝑥 moins six. Ainsi, la première moitié se divise en deux 𝑥 multipliés par 𝑥 moins six. En regardant la deuxième moitié de notre équation du second degré, 11𝑥 moins 66, ces deux termes ont un facteur commun de 11. Et une fois que nous avons factorisé par 11, nous nous retrouvons avec 𝑥 moins six entre parenthèses. Ainsi, la seconde moitié de notre équation du second degré se factorise en 11 multiplié par 𝑥 moins six.

Maintenant, le point clé, et ce sera toujours le cas si une équation du second degré peut être résolue par factorisation, est que les deux moitiés de notre expression ont maintenant un facteur commun de 𝑥 moins six. Nous factorisons donc l’équation entière par 𝑥 moins six. Pour le premier terme, nous devons multiplier par deux 𝑥. Et pour le second, nous devons multiplier par 11. Il est donc possible d’écrire notre équation du second degré comme 𝑥 moins six multiplié par deux 𝑥 plus 11. Et c’est maintenant sous une forme entièrement factorisée. Rappelez-vous, il sera toujours vrai que les deux moitiés de votre expression partagent un facteur commun si l’équation du second degré peut être factorisée.

Si vous passez par cette méthode et que vous trouvez que les deux moitiés ne partagent pas de facteur commun, alors soit vous avez fait une erreur, soit l’équation du second degré que vous résolvez ne peut pas être factorisée. Alors, vous devez recourir à une autre méthode pour la résoudre, en utilisant par exemple la formule des racines du polynôme du second degré, ou en complétant le carré, si vous en avez connaissance. Quoi qu’il en soit, notre équation du second degré peut être factorisée, et nous avons sa forme factorisée. La prochaine étape consiste donc à prendre chaque facteur tour à tour et à le rendre égal à zéro.

Nous avons 𝑥 moins six égale zéro ou deux 𝑥 plus 11 égale zéro. Pour résoudre la première équation, nous devons ajouter six de chaque côté, nous obtenons alors 𝑥 égale six. Et nous pouvons résoudre la seconde équation en deux étapes. D’abord, nous soustrayons 11 de chaque côté, et nous obtenons deux 𝑥 égale moins 11. Ensuite, nous pouvons diviser par deux et avoir 𝑥 égale moins 11 sur deux ou moins 5,5. Maintenant, nous savons que ces deux solutions sont valides à notre équation du second degré. Mais si nous revenons à la question, on nous a dit que ce nombre que nous recherchons devait être positif. Ce qui signifie qu’il ne peut pas être égal à moins 11 sur deux. Nous pouvons donc éliminer cette valeur. Notre solution est donc 𝑥 égale six. Mais vérifions cela.

Ce nombre doit être 66 de moins que deux fois son carré, nous avons donc deux fois six au carré moins 66. C’est deux fois 36, ce qui est 72 moins 66, c’est en effet égal à six, le nombre lui-même. Cela confirme donc que notre solution est correcte. Nous avons donc trouvé la réponse au problème. Le nombre positif que nous recherchons est six.

Résumons maintenant ce que nous avons vu dans cette vidéo. Premièrement, nous avons vu que les équations du second degré peuvent être utilisées pour résoudre de nombreux types de problèmes différents. Y compris les problèmes avec des nombres manquants et les problèmes impliquant l’aire de figures bidimensionnelles ou peut-être l’aire d’une figure tridimensionnelle. Si on nous donne une description détaillée d’un problème réel, c’est souvent une bonne idée de dessiner un schéma simple s’il ne nous a pas été fourni.

Nous devrons peut-être introduire nous-mêmes des lettres ou des variables pour représenter les valeurs manquantes dans la question. Et nous devons ensuite former l’équation du second degré en utilisant les informations fournies. Nous devons nous assurer de la lire attentivement et de décomposer les informations. Puis, nous devons résoudre notre équation du second degré par factorisation. Ou peut-être qu’à l’avenir, nous pourrions recourir à une autre méthode, en utilisant par exemple la formule des racines du polynôme du second degré, ou en complétant le carré. Être capable de former et de résoudre en toute confiance des équations du second degré est une compétence très utile car elles peuvent être utilisées pour représenter une si grande variété de problèmes.

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