Video Transcript
Sachant que le vecteur 𝐌 est égal à moins 𝐢 moins deux 𝐣 et que le vecteur 𝐋 est égal à 𝑎𝐢 moins huit 𝐣 et que le vecteur 𝐌 est parallèle au vecteur 𝐋, où 𝐢 et 𝐣 sont deux vecteurs unitaires orthogonaux, déterminez la valeur du scalaire 𝑎.
Dans cette question, on nous donne des informations sur deux vecteurs, le vecteur 𝐌 et le vecteur 𝐋. On nous donne ces vecteurs en fonction de deux vecteurs directionnels unitaires orthogonaux, 𝐢 et 𝐣. On nous dit aussi que le vecteur 𝐌 est parallèle au vecteur 𝐋. Nous devons l’utiliser pour déterminer la valeur du scalaire 𝑎.
Pour ce faire, commençons par rappeler ce que signifie que deux vecteurs soient parallèles. Nous disons que deux vecteurs sont parallèles s’ils sont des multiples scalaires l’un de l’autre. En d’autres termes, nous dirons que les vecteurs 𝐮 et 𝐯 sont parallèles s’il existe un scalaire 𝑘 tel que 𝐮 est égal à 𝑘 fois 𝐯. Comme on nous dit que le vecteur 𝐌 est parallèle au vecteur 𝐋, il doit exister un scalaire 𝑘 tel que 𝐌 égale 𝑘 fois 𝐋. Pour nous aider à trouver la valeur de ce scalaire 𝑘, nous pouvons substituer les expressions données aux vecteurs 𝐌 et 𝐋 en fonction des vecteurs directionnels unitaires 𝐢 et 𝐣.
Nous obtenons moins 𝐢 moins deux 𝐣 sera égal à 𝑘 fois 𝑎𝐢 moins huit 𝐣. On peut alors simplifier la partie droite de cette équation en se rappelant que pour multiplier un vecteur par un scalaire, on multiplie toutes les composantes de notre vecteur par notre scalaire, où on se souvient que les composantes de notre vecteur seront les coefficients des vecteurs directionnels unitaires, 𝐢 et 𝐣. Cela nous donne que moins 𝐢 moins deux 𝐣 sera égal à 𝑘𝑎𝐢 moins huit 𝑘𝐣. Rappelez-vous que pour que deux vecteurs soient égaux, leurs composantes doivent être égales. Nous pouvons donc comparer les composantes de 𝐣 des deux côtés de notre équation. Cela nous donne alors l’équation moins deux doit être égal à moins huit 𝑘, que nous pouvons simplifier pour trouver 𝑘 en divisant par moins huit.
Cela nous donne alors que 𝑘 est égal à moins deux divisé par moins huit, ce qui simplifie pour nous donner un quart. Mais nous n’avons pas encore terminé. Rappelez-vous, la question veut que nous trouvions la valeur de 𝑎. Nous pouvons replacer la valeur de 𝑘 dans notre équation. Cela nous donne alors l’équation moins 𝐢 moins deux 𝐣 sera égale à 𝑎 sur quatre 𝐢 moins deux 𝐣. Rappelez-vous que pour que ces deux vecteurs soient égaux, leurs composantes doivent être égales. Cela signifie que nous pouvons construire une équation pour 𝑎 en comparant les composantes des deux vecteurs dans la direction 𝐢.
Nous obtenons que moins un doit être égal à 𝑎 divisé par quatre. Nous pouvons alors résoudre cette équation pour trouver 𝑎. Nous multiplions les deux côtés de notre équation par quatre, ce qui nous donne que 𝑎 devrait être égal à moins quatre. Par conséquent, nous avons pu montrer si 𝐌 est le vecteur moins 𝐢 moins deux 𝐣 et 𝐋 est le vecteur 𝑎𝐢 moins huit 𝐣 et le vecteur 𝐌 est parallèle au vecteur 𝐋, où 𝐢 et 𝐣 sont deux vecteurs unitaires orthogonaux, alors la valeur de 𝑎 doit être égale à moins quatre.
