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Déterminez l’expression générale 𝐹 de 𝑥 d’une primitive de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale quatre 𝑥 moins deux.
Dans cette question, on nous donne une fonction affine 𝑓 de 𝑥. On nous demande de déterminer l’expression générale d’une primitive de cette fonction. Nous allons noter cette primitive générale grand 𝐹 de 𝑥. Nous rappelons que grand 𝐹 de 𝑥 est une primitive de petit 𝑓 de 𝑥 si la dérivée de grand 𝐹 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à petit 𝑓 de 𝑥. N’oublions pas que les primitives ne sont pas uniques. En effet, puisque la dérivée d’une constante est égale à zéro, additionner une constante à la primitive d’une fonction nous donne simplement une autre primitive de cette fonction.
C’est pourquoi on nous demandera souvent de déterminer l’expression générale des primitives d’une fonction. Lorsqu’on nous demande cela, il faut ajouter une constante dans notre réponse. De cette manière, toutes les primitives possibles de notre fonction sont représentées. Commençons donc par déterminer une primitive de notre fonction. La fonction qui nous est donnée, petit 𝑓 de 𝑥, est la fonction affine quatre 𝑥 moins deux. Puisque nous pouvons dériver terme par terme, alors nous pouvons déterminer une primitive de chaque terme séparément. Nous allons commencer par trouver une primitive du terme quatre 𝑥.
Nous savons comment déterminer la primitive d’un terme de la forme 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛. La primitive de ce terme est 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 plus un, le tout divisé par 𝑛 plus un. N’oublions pas d’ajouter une constante d’intégration pour obtenir la primitive générale. Pour comprendre ce résultat, nous noterons que pour dériver 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un, nous multiplions par notre puissance, puis nous diminuons de un notre puissance. Ceci nous donne 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛. Nous pouvons utiliser cette formule pour déterminer une primitive de quatre fois 𝑥. Pour cela, nous réécrivons notre quatre fois 𝑥 sous la forme quatre fois 𝑥 puissance un.
Puis, pour trouver une primitive de cette expression, nous ajoutons un à notre puissance de un, puis nous divisons par cette notre nouvelle puissance. Cela nous donne quatre 𝑥 puissance un plus un, le tout divisé par un plus un. Nous pouvons bien sûr simplifier en remplaçant un plus un par deux. Puisque que quatre divisé par deux est simplement égal à deux, nous obtenons finalement deux 𝑥 au carré. Ainsi, une des primitives de quatre 𝑥 est deux 𝑥 au carré. Il peut parfois être utile de se demander : «que se passe-t-il si nous dérivons ce terme ?» Bien, nous pouvons voir que si nous dérivons ce terme, nous obtenons quatre 𝑥. Ainsi, il s’agit bien d’une primitive de quatre 𝑥.
Il ne nous reste plus qu’à déterminer une primitive de la constante moins deux. Pour cela, nous rappelons que pour toute constante 𝑘, la dérivée de 𝑘𝑥 par rapport à 𝑥 est simplement 𝑘. Nous pouvons en déduire que pour toute constante 𝑘, 𝑘𝑥 est une primitive de 𝑘. Ainsi, en posant que 𝑘 est égal à moins deux, nous pouvons voir qu’une primitive de moins deux est simplement moins deux 𝑥.
Nous avons donc trouvé une primitive possible de notre fonction petit 𝑓 de 𝑥. Cependant, n’oublions pas qu’additionner n’importe quelle constante à cette primitive nous donnerait une autre primitive de notre fonction. Ainsi, pour obtenir l’expression générale d’une primitive de notre fonction, nous ajoutons une constante d’intégration qu’on note 𝐶.
Par conséquent, nous avons montré que l’expression générale 𝐹 de 𝑥 d’une primitive de la fonction petit 𝑓 de 𝑥 égale à quatre 𝑥 moins deux est grand 𝐹 de 𝑥 égale deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus 𝐶.
