Transcription de la vidéo
Une corde et le rayon d’un cercle sont de 24 centimètres. Trouvez l’aire du segment circulaire mineur, en donnant la réponse au centièmes près.
Nous allons commencer par dessiner ce cercle, qui a un rayon de 24 centimètres. Il y a ensuite une corde, qui a également une longueur de 24 centimètres. Rappelez-vous qu’une corde est un segment reliant deux points sur la circonférence du cercle, donc la corde ressemble à ceci. Maintenant, on nous demande de trouver l’aire du segment circulaire mineur. Eh bien, une corde divise toujours un cercle en deux segments : un segment mineur, qui est inférieur à un demi-cercle, et un segment majeur, qui est plus grand qu’un demi-cercle. Donc, la zone que nous recherchons est la région indiquée en rose. Pour trouver cette aire, dessinons d’abord un autre rayon du cercle, le rayon reliant l’autre extrémité de cette corde au centre du cercle. Et bien sûr, ce rayon est également de 24 centimètres de longueur.
L’aire de ce segment circulaire mineur peut alors être trouvée comme la différence entre l’aire du secteur délimité en orange et l’aire du triangle formé par les deux rayons et la corde. Maintenant, afin de trouver chacune de ces régions, nous devons connaître l’angle au centre du secteur. C’est relativement facile à calculer. Parce que les deux rayons et la corde sont tous de la même longueur, il s’agit d’un triangle équilatéral. Et nous savons que tous les angles d’un triangle équilatéral sont de 60 degrés, ou 𝜋 sur trois radians. Nous pouvons choisir de travailler en degrés ou en radians dans ce problème. Et comme les formules pour les aires de secteurs et de segments sont plus simples en radians, choisissons de travailler en radians.
La formule pour l’aire d’un secteur de rayon 𝑟 et d’angle au centre 𝜃 mesurée en radians est un demi 𝑟 carré 𝜃. Pour trouver l’aire du triangle vert, nous pouvons utiliser la formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle. En général, il s’agit d’un demi 𝑎𝑏 sinus 𝐶, où 𝑎 et 𝑏 représentent les longueurs de deux côtés du triangle et 𝐶 majuscule représente la mesure de leur angle inclus. Dans notre triangle, nous pouvons utiliser les deux rayons et l’angle qu’ils entourent, qui est l’angle au centre du secteur 𝜃. Donc, nous avons un demi 𝑟 carré sinus 𝜃. Maintenant, cette formule peut être factorisée par un demi 𝑟 carré. Donc, nous avons un demi 𝑟 carré multiplié par 𝜃 moins sinus 𝜃. Et nous pouvons apprendre cela comme la formule générale de l’aire d’un segment circulaire si nous le souhaitons.
Pour répondre à ce problème, nous devons substituer 24 par la valeur de 𝑟 et 𝜋 sur trois par la valeur de 𝜃. Donc, nous avons un demi multiplié par 24 au carré multiplié par 𝜋 sur trois moins sinus de 𝜋 sur trois. Un demi multiplié par 24 au carré donne 288. Et 𝜋 sur trois est l’un des angles remarquables pour lesquels les valeurs des rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente peuvent être exprimées exactement en fonction de nombres et de quotients. Le sinus de 𝜋 sur trois est égal à racine de trois sur deux. Donc, nous avons 288 multiplié par 𝜋 sur trois moins racine de trois sur deux.
Maintenant, on nous demande de donner notre réponse au centièmes près, nous devons donc l’évaluer sur une calculatrice, ce qui donne 52,1775 en continu. Le chiffre de la troisième place décimale est sept. Nous devons donc arrondir à 52,18. Les unités de la longueur dans la question étaient des centimètres, donc les unités de cette aire seront des centimètres carrés. Nous avons alors constaté que l’aire de ce segment circulaire mineur au centièmes près est de 52,18 centimètres carrés.
