Vidéo de la leçon : Aires de segments circulaires Mathématiques

Dans cette vidéo, nous apprendrons à calculer l’aire d’un segment circulaire.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à trouver l’aire d’un segment circulaire. Nous commencerons par regarder la définition d’un segment circulaire. Nous identifierons ensuite des formules qui peuvent être utilisées pour calculer l’aire d’un segment circulaire, puis nous les utiliserons pour résoudre certains problèmes.

Quelle est la définition d’un segment circulaire ? Est-ce (A) une région d’un cercle délimitée par un arc et une corde passant par les extrémités de l’arc ? (B) Une région d’un cercle délimitée par deux rayons et un arc. (C) Une région d’un cercle délimitée par une corde et un angle au centre sous-tendu par cet arc. (D) Une région d’un cercle délimité entre deux cordes et deux arcs. Ou (E) un arc qui représente la moitié de la circonférence.

Le cercle illustré a été divisé en deux segments. La plus petite partie du cercle est connue comme le segment mineur. La plus grande partie est connue comme le segment majeur. Ces deux segments sont délimités par un arc. Ils sont également délimités par une corde commun. Cela signifie que la définition correcte est l’option (A). Un segment circulaire est une région d’un cercle délimitée par un arc et une corde passant par les points d’extrémité de l’arc. Dans notre figure, nous avons un segment mineur en orange et un segment majeur en rose.

Nous allons maintenant regarder les formules qui peuvent être utilisées pour calculer l’aire d’un segment.

Quelle formule peut être utilisée pour trouver l’aire d’un segment circulaire, étant donné le rayon 𝑟 et un angle au centre 𝜃 ?

Nous rappelons que tout cercle peut être divisé en un segment mineur et un segment majeur comme indiqué. On nous dit également que le rayon du cercle est 𝑟 et l’angle au centre est 𝜃. Si nous étiquetons les deux points à la fin de la corde 𝐴𝐵 et le centre du cercle 𝑂, alors l’aire du segment sera égale à l’aire du secteur 𝐴𝑂𝐵 moins l’aire du triangle 𝐴𝑂𝐵. Il est important de noter à ce stade que notre angle 𝜃 peut être donné en degrés ou en radians. 180 degrés est égal à 𝜋 radians. Nous savons qu’un cercle a un total de 360 degrés, ce qui signifie qu’il aura un total de deux 𝜋 radians. Par conséquent, l’aire d’un segment circulaire peut être calculée à l’aide de deux formules liées, l’une pour les degrés et l’autre lorsque l’angle est en radians.

Lorsque notre angle a été mesuré en degrés, l’aire d’un secteur est égale à 𝜃 sur 360 multipliée par 𝜋𝑟 au carré. Comme déjà mentionné, 360 degrés est égal à deux 𝜋radians. Cela signifie que l’aire d’un secteur lorsque 𝜃 est en radians est 𝜃 sur deux 𝜋 multipliée par 𝜋𝑟 au carré. Dans ce cas, les 𝜋 s’éliminent. On se retrouve avec 𝜃 divisé par deux multiplié par 𝑟 au carré, ce qui est souvent écrit comme un demi 𝑟 carré 𝜃.

Comme nous avons élaboré une formule pour l’aire d’un secteur en degrés et en radians, nous allons maintenant examiner l’aire d’un triangle. L’aire de tout triangle peut être calculée en utilisant la formule un demi de 𝑎𝑏 multipliée par sin 𝐶. Dans notre figure, nous pouvons voir que les longueurs 𝑎 et 𝑏 sont toutes deux égales au rayon ou 𝑟. L’angle 𝐶 est égal à 𝜃. Par conséquent, l’aire d’un triangle à l’intérieur d’un cercle peut être calculée en utilisant la formule un demi 𝑟 au carré multipliée par sin 𝜃. Nous allons maintenant libérer de l’espace pour déterminer la formule qui peut être utilisée pour trouver l’aire d’un segment circulaire.

Voyons d’abord quand 𝜃 est mesuré en radians en premier. L’aire du secteur est un demi 𝑟 carré 𝜃, et l’aire du triangle est un demi 𝑟 carré sin 𝜃. Nous pouvons factoriser un demi 𝑟 carré car cela est présent dans les deux termes. À l’intérieur des parenthèses, nous nous retrouvons avec 𝜃 moins le sin 𝜃. Lorsque l’angle au centre 𝜃 est donné en radians, alors l’aire du segment circulaire peut être calculée en multipliant un demi 𝑟 au carré par 𝜃 moins sin 𝜃. Si l’angle au centre est donné en degrés, alors notre formule est égale à 𝜃 sur 360 multiplié par 𝜋𝑟 carré moins un demi 𝑟 sin carré 𝜃.

Bien que le 𝑟 au carré soit commun dans les deux termes, nous avons tendance à ne pas le prendre en compte ici, mais à calculer à la place l’aire du secteur et l’aire du triangle séparément. Nous soustrayons ensuite nos deux réponses pour calculer l’aire du segment circulaire. L’une ou l’autre de ces formules peut être utilisée selon le contexte de la question.

Nous allons maintenant les utiliser pour trouver l’aire d’un segment en fonction des différentes propriétés d’un cercle.

L’aire d’un cercle est de 227 centimètres carrés et l’angle au centre d’un segment est de 120 degrés. Trouvez l’aire du segment en donnant la réponse à deux décimales.

On nous dit dans la question que l’angle au centre d’un segment est de 120 degrés. Et nous devons calculer l’aire de ce segment. Lorsque l’angle d’un segment est donné en degrés, nous pouvons calculer l’angle de ce segment en soustrayant l’aire du triangle de l’aire du secteur. L’aire du secteur est égale à 𝜃 sur 360 multipliée par 𝜋𝑟 au carré. L’aire du triangle est égale à un demi 𝑟 carré multiplié par sin 𝜃. On nous dit dans la question que l’aire du cercle est égale à 227 centimètres carrés. Cela signifie que 𝜋𝑟 au carré est égal à 227. La division des deux côtés de cette équation par 𝜋 nous donne 𝑟 au carré est égal à 227 sur 𝜋.

Nous pouvons maintenant les remplacer dans nos deux formules. L’aire du secteur est égale à 120 sur 360 multipliée par 227. Cela peut être simplifié au tiers multiplié par 227 ou 227 sur trois. L’aire du triangle peut être calculée en multipliant la moitié par 227 sur 𝜋 par un sin de 120 degrés. Le sin de 120 degrés est égal à la racine trois sur deux. L’aire du segment peut donc être calculée en soustrayant un demi multipliée par 227 sur 𝜋 multipliée par la racine trois sur deux de 227 sur trois. Taper ceci dans la calculatrice nous donne 44.37875 et ainsi de suite. Comme nous devons arrondir notre réponse à deux décimales, la clé ou le nombre final est huit. Cela signifie que nous arrondissons à 44.38. L’aire du segment est de 44.38 centimètres carrés.

Comme il s’agit de l’aire du segment mineur, nous pourrions calculer l’aire du segment majeur en soustrayant cette réponse de 227 centimètres carrés.

Nous allons maintenant examiner une autre question où l’on nous donne le rayon et la corde.

Un cercle a un rayon de 10 centimètres. Une corde d’une longueur de 14 centimètres est tracé. Trouvez l’aire du segment majeur, en donnant la réponse au centimètre carré près.

On nous dit que le cercle a un rayon de 10 centimètres. Une corde d’une longueur de 14 centimètres est tracé sur le cercle. Si nous posons les deux extrémités de la corde comme étant les points 𝐴 et 𝐵 et le point central 𝑂, alors l’aire du segment mineur est égale à l’aire du secteur moins l’aire du triangle. Afin de calculer ces deux éléments, nous devons d’abord calculer l’angle au centre 𝜃. Cela peut être fait en radians ou en degrés. Dans cette question, nous allons utiliser des radians. Il est donc important que notre calculatrice soit dans le bon mode. L’aire d’un secteur, lorsque 𝜃 est en radians, est égale à un demi 𝑟 carré 𝜃. Et l’aire d’un triangle est égale à un demi 𝑟 sin au carré 𝜃. Cela peut être simplifié en factorisant, en nous donnant l’aire du segment égale à un demi 𝑟 carré multiplié par 𝜃 moins sin 𝜃.

Nous pouvons maintenant calculer l’angle 𝜃 en utilisant la trigonométrie du triangle rectangle ou la règle du cosinus. Afin de calculer l’angle dans un triangle à l’aide de la règle du cosinus, nous utilisons la formule suivante. Cos de 𝐴 est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins 𝑎 au carré divisé par deux 𝑏𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les trois longueurs du triangle et 𝐴 est celui opposé à l’angle que nous essayons de déterminer. La substitution dans nos valeurs nous donne cos de 𝜃 est égal à 10 au carré plus 10 au carré moins 14 au carré sur deux multiplié par 10 multiplié par 10. Cela se simplifie en cos de 𝜃 est égal à un cinquantième. En s’assurant que notre calculatrice est en mode radian, 𝜃 est égal au cos inverse d’un cinquantième. C’est égal à 1.55079 et ainsi de suite radians.

Nous pouvons maintenant remplacer cette valeur dans notre formule par l’aire d’un segment. L’aire du segment mineur est égale à 27.5497 et ainsi de suite. On nous a demandé de calculer l’aire du segment majeur. Il s’agit de l’aire du cercle entier moins l’aire du segment mineur. L’aire d’un cercle est égale à 𝜋𝑟 au carré. Comme notre rayon est égal à 10 centimètres, l’aire est égale à 100𝜋. Nous devons soustraire 27.5497 et ainsi de suite. C’est égal à 286.6095 et ainsi de suite. On nous demande d’arrondir notre réponse au centimètre carré près. Le chiffre clé est le six dans la colonne des dixièmes. Donc, nous arrondissons à 287 centimètres carrés. Il s’agit de l’aire du segment majeur du cercle.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Un segment est une région délimitée par un arc et une corde passant par les extrémités de l’arc. Dessiner une corde sur n’importe quel cercle le divise en deux segments, un segment mineur et un segment majeur. Comme son nom l’indique, le segment majeur est le plus grand des deux. L’aire du segment mineur, indiquée en orange sur la figure, est égale à l’aire du secteur rose moins l’aire du triangle bleu. Pour calculer ces aires, nous avons besoin de l’angle 𝜃 en radians ou en degrés et de la longueur du rayon 𝑟.

Lorsque nous traitons en degrés, nous avons tendance à calculer les deux aires séparément. L’aire du secteur est égale à 𝜃 sur 360 multipliée par 𝜋𝑟 au carré. Et l’aire du triangle est égale à un demi 𝑟 carré multiplié par sin 𝜃. Lorsque nous traitons avec des radians, nous pouvons simplifier en factorisant. L’aire du segment lorsque 𝜃 est en radians est un demi 𝑟 carré multiplié par 𝜃 moins sin 𝜃. Dans toute question, nous pouvons convertir une mesure d’angle à une autre en utilisant le fait que 180 degrés est égal à 𝜋 radians et, par conséquent, 360 degrés est égal à deux 𝜋 radians. Dans certaines questions, nous pourrions avoir besoin d’utiliser la trigonométrie pour trouver l’angle 𝜃 en premier.

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