Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer l’aire d’un segment circulaire.
Définition : Segment circulaire
Un segment circulaire est une région d’un cercle délimitée par un arc et une corde passant par les extrémités de cet arc.
En fait, chaque corde divise un cercle en deux segments circulaires : un segment mineur, plus petit qu’un demi-cercle, et un segment majeur, plus grand qu’un demi-cercle.
Voyons comment obtenir la formule de l’aire d’un segment circulaire mineur. On considère le segment circulaire mineur formé par la corde dans le cercle de centre . L’angle entre les deux rayons reliant les extrémités de la corde au centre du cercle est appelé l’angle au centre, et nous appellerons cet angle . La formule que nous cherchons dépendra de l’unité de mesure utilisée pour cet angle. Nous considérerons la formule en degrés d’abord, et nous verrons ensuite comment elle peut être écrite si l’angle au centre est mesuré en radians.
D’après la figure ci-dessous, nous voyons que l’aire du segment circulaire mineur (région hachurée en orange) est la différence entre l’aire du secteur (en vert) et l’aire du triangle (en rose).
On rappelle que l’aire d’un triangle possédant deux côtés et et un angle compris entre ces deux côtés est donnée par . En appliquant cette formule à notre figure, on obtient
On rappelle aussi que la formule de l’aire d’un secteur circulaire avec un angle au centre mesuré en degrés est
On a donc
On peut factoriser par ce qui donne
Formule : Aire d’un segment circulaire où l’angle au centre est mesuré en degrés
L’aire d’un segment circulaire de rayon et d’angle au centre mesuré en degrés est
Considérons maintenant une variante de cette formule lorsque l’angle au centre est mesuré en radians. On rappelle que la formule de l’aire d’un secteur d’angle au centre est
Par conséquent, en utilisant la même formule pour l’aire du triangle , l’aire du segment est
On peut factoriser par pour obtenir la formule simplifiée de l’aire d’un segment en radians :
Formule : Aire d’un segment circulaire où l’angle au centre est mesuré en radians
L’aire d’un segment circulaire de rayon et d’angle au centre mesuré en radians est
Dans chaque problème, nous devons vérifier rigoureusement si l’angle au centre est donné en degrés ou radians, et choisir la formule à appliquer. Nous devons également nous assurer que notre calculatrice scientifique est dans le mode correspondant à l’unité de mesure utilisée pour l’angle au centre. Si l’angle au centre n’est pas donné, nous pouvons choisir la formule à utiliser. Nous examinerons plus tard la validité de ces formules pour calculer l’aire des segments majeurs ainsi que celle des segments mineurs.
Dans notre premier exemple, on nous donne la mesure de l’angle au centre en radians et nous appliquerons ainsi la deuxième formule pour calculer l’aire d’un segment circulaire.
Exemple 1: Déterminer l’aire d’un segment circulaire étant donnés le diamètre du cercle et l’angle au centre
Le diamètre d’un cercle est 14 cm et l’angle au centre mesure 5,79 rad. Déterminez l’aire du segment circulaire en donnant la réponse au centième près.
Réponse
La formule pour calculer l’aire d’un segment circulaire, lorsque l’angle au centre est mesuré en radians, est
On nous donne la mesure de l’angle au centre qui est de 5,79 radians, et on peut calculer le rayon du cercle en divisant par deux le diamètre :
On substitue et dans la formule de l’aire, et on s’assure que notre calculatrice est en mode radian, ainsi on obtient
L’aire du segment circulaire, au centième près, vaut 153,45 cm2.
Dans d’autres problèmes, il peut être nécessaire d’utiliser la longueur de l’arc joignant les extrémités de la corde pour calculer l’aire d’un segment circulaire. Nous devons donc rappeler les formules qui permettent de calculer une longueur d’arc, qui dépendent à nouveau de l’unité de mesure utilisée pour l’angle au centre.
Si l’angle au centre est mesuré en degrés, la longueur de l’arc, , est donnée par et si l’angle au centre est mesuré en radians, la longueur de l’arc est donnée par
Dans notre prochain exemple, nous utiliserons la deuxième formule ci-dessus pour déterminer l’angle au centre en radians étant donnés une longueur d’arc et un rayon. Ensuite, nous utiliserons cet angle au centre pour calculer l’aire d’un segment circulaire.
Exemple 2: Déterminer l’aire d’un segment circulaire étant données la longueur du rayon de son cercle et la longueur de son arc
Le rayon d’un cercle vaut 40 cm et la longueur d’arc d’un segment est de 18 cm. Déterminez l’aire du segment en donnant la réponse au centième près.
Réponse
Dans ce problème, on ne nous donne pas la mesure de l’angle au centre, de sorte que nous pouvons choisir de travailler en radians ou degrés. Comme les formules pour la longueur d’arc et l’aire d’un segment circulaire sont plus simples en radians, ce serait le choix le plus judicieux.
Rappelons que la longueur de l’arc, , est donnée par . En remplaçant la longueur de l’arc et le rayon dans la formule, on obtient
En réarrangeant l’équation, on obtient
On peut maintenant substituer la valeur de l’angle au centre de et celle du rayon de 40 cm dans la formule de l’aire d’un segment circulaire, et calculer l’aire, en s’assurant que notre calculatrice est en mode radian :
L’aire du segment, au centième près, vaut 12,03 cm2.
Il est également possible de calculer le rayon ou la mesure d’un angle au centre étant donnés l’aire d’un segment circulaire et son rayon ou un angle au centre. Considérons maintenant un tel exemple.
Exemple 3: Déterminer le rayon d’un cercle étant donnés l’aire d’un segment circulaire et l’angle au centre
L’aire d’un segment circulaire vaut 34 cm2 et l’angle au centre mesure . Déterminez le rayon du cercle en donnant la réponse au centimètre près.
Réponse
Rappelons la formule de l’aire d’un segment circulaire lorsque l’angle au centre est mesuré en degrés :
En substituant l’aire et la mesure de l’angle au centre, on obtient
Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer le rayon du cercle. Nous devons nous assurer que notre calculatrice scientifique est en mode degré :
En prenant la racine carrée, nous obtenons le rayon :
Le rayon du cercle, au centimètre près, vaut 14 cm.
Dans l’exemple suivant, nous allons montrer comment déterminer l’aire d’un segment circulaire étant donnés le rayon d’un cercle et la longueur de la corde qui délimite le segment.
Exemple 4: Déterminer l’aire du segment circulaire mineur étant donnés le rayon du cercle et la longueur de la corde
Une corde et le rayon d’un cercle mesurent chacun 24 cm. Déterminez l’aire du segment circulaire mineur en donnant la réponse au centième près.
Réponse
On commence par tracer ce cercle.
Notre figure met en évidence le fait que le rayon du cercle et la corde sont tous les deux de longueur 24 cm, ainsi le triangle formé par la corde et les deux rayons est équilatéral. D’où l’angle au centre mesure , ou . Comme la formule de l’aire d’un segment circulaire est plus simple lorsque l’angle au centre est mesuré en radians, on prend .
On rappelle la formule de l’aire d’un segment circulaire lorsque l’angle au centre est mesuré en radians :
On substitue et dans cette formule, et on calcule l’aire. Notre calculatrice doit être en mode radian pour obtenir la bonne réponse :
L’aire du segment circulaire mineur, au centième près, vaut 52,18 cm2.
Lorsque nous avons déterminé la formule de l’aire d’un segment circulaire, nous avons supposé que le segment était un segment mineur, car nous avons calculé son aire comme étant la différence entre les aires d’un secteur mineur et d’un triangle. En fait, la même formule s’applique en calculant l’aire d’un segment majeur, même si son aire ne peut pas être divisée géométriquement de la même manière. Considérons la validité de la formule uniquement en degrés, car une méthode très similaire peut être suivie pour démontrer sa validité en radians.
Géométriquement, l’aire d’un segment majeur avec un angle au centre est la somme de l’aire du secteur majeur, hachuré en bleu sur la figure ci-dessous, et d’un triangle, hachuré en orange.
Notez que l’angle du secteur majeur est , mais l’angle dans le triangle est . L’aire du secteur majeur est donnée par et l’aire du triangle est donnée par
Par conséquent, l’aire du segment majeur est donnée par
On peut factoriser par pour obtenir
Pour obtenir la même formule que celle de l’aire d’un segment mineur, une manipulation supplémentaire est nécessaire. On rappelle deux propriétés de la fonction sinus : premièrement, la fonction sinus a une période de , donc en ajoutant ou en soustrayant un multiple entier de à la mesure de l’angle, on ne change pas sa valeur. Par conséquent,
Deuxièmement, nous rappelons que le sinus est une fonction impaire, et ainsi
En substituant cela dans notre formule, on a ce qui est en accord avec la formule que nous avons déjà trouvée pour l’aire d’un segment mineur. Ainsi, même si le calcul est différent, la même formule est valable pour les segments majeur et mineur.
Dans l’exemple suivant, nous allons montrer comment calculer l’aire d’un segment majeur étant données la mesure de son angle au centre et la longueur de la corde.
Exemple 5: Déterminer l’aire du segment circulaire majeur étant données la mesure de l’angle au centre et la longueur de la corde
est une corde de longueur 17 cm avec un angle au centre de . Déterminez l’aire du segment circulaire majeur en donnant la réponse au centimètre carré près.
Réponse
On commence par tracer le cercle.
Notez que nous calculons l’aire du segment circulaire majeur. C’est le plus grand des deux segments, celui dont l’angle au centre est plus grand que . On peut calculer la mesure de l’angle rentrant en soustrayant l’angle connu de :
On nous donne la longueur de la corde mais pas le rayon du cercle. Pour calculer le rayon, considérons le triangle . Étant donné que et sont des rayons du cercle, ce triangle est isocèle, de sorte qu’il peut être divisé en deux triangles rectangles superposables en traçant un segment issu de au milieu de .
Cela divise en deux longueurs égales de 8,5 cm et divise l’angle au centre mesurant en deux angles égaux mesurant . Nous pouvons maintenant appliquer la trigonométrie dans ces triangles rectangles pour calculer la longueur du rayon. Le rayon est l’hypoténuse du triangle , et on connaît la mesure de l’angle de , ainsi que le côté opposé de longueur 8,5 cm. En appliquant le sinus, on obtient
On réécrit cette équation, et on fait le calcul, en s’assurant que notre calculatrice est en mode degré, ce qui donne
Nous sommes enfin en mesure de calculer l’aire du segment circulaire majeur, en utilisant l’angle au centre mesurant et le rayon de :
L’aire du segment circulaire majeur, au centimètre carré près, vaut 152 cm2.
Les formules que nous avons utilisées dans cette fiche explicative peuvent également être appliquées à des problèmes de la vie courante. Dans de tels problèmes, réaliser une figure est souvent une première étape utile. Considérons un dernier exemple où nous appliquons ces notions dans une situation réelle.
Exemple 6: Déterminer l’aire de segments circulaires mineurs en situation réelle.
Un parterre de fleurs circulaire est divisé en quatre parties par un triangle équilatéral inscrit dans le cercle. Le rayon du parterre de fleurs est de 9 m. Déterminez l’aire de chaque segment circulaire mineur en donnant la réponse au centième près.
Réponse
On commence par réaliser une figure du parterre de fleurs.
On trace aussi les rayons issus de chaque sommet du triangle au centre du cercle. L’aire que nous cherchons à calculer est hachurée en bleu sur la figure ci-dessous.
Rappelons la formule de l’aire d’un segment circulaire dont l’angle au centre est mesuré en degrés :
On nous donne le rayon du cercle, mais nous devons calculer l’angle au centre. Comme le triangle est équilatéral, la figure possède une symétrie de rotation d’ordre 3, c’est-à-dire les trois segments circulaires sont superposables. Par conséquent, les aires des trois segments circulaires mineurs sont les mêmes et ont le même angle au centre de .
Nous pouvons maintenant substituer et dans la formule pour l’aire d’un segment circulaire :
À l’aide de la calculatrice en mode degré, on obtient
L’aire de chaque segment circulaire mineur, au centième près, est de 49,75 m2.
Terminons par récapituler quelques points clés.
Points clés
- Un segment circulaire est une région d’un cercle délimitée par un arc et une corde passant par les extrémités de l’arc.
- L’aire d’un segment circulaire mineur est la différence entre l’aire d’un secteur circulaire et d’un triangle, tandis que l’aire d’un segment circulaire majeur est la somme de ces deux aires. La même formule est valable dans les deux cas.
- L’aire d’un segment circulaire de rayon et d’angle au centre mesuré en degrés est
- L’aire d’un segment circulaire de rayon et d’angle au centre mesuré en radians est
