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La fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑒 puissance 𝑥 plus trois a une réciproque de la forme 𝑔 de 𝑥 égale à ln de 𝑎𝑥 plus 𝑏. Quelles sont les valeurs de 𝑎 et 𝑏?
Eh bien, tout d’abord, je vais juste écrire notre fonction 𝑓 de 𝑥 égale à deux 𝑒 𝑥 plus trois comme 𝑦 est égal à deux 𝑒 𝑥 plus trois. Maintenant, ce que nous voulons faire, c’est de trouver la réciproque de cette fonction.
Eh bien, la première chose que nous faisons est d’échanger les variables. Donc, comme vous pouvez le voir, j’ai échangé 𝑥 et 𝑦. Nous avons donc maintenant 𝑥 égal à deux 𝑒 𝑦 plus trois.
Et maintenant, ce que nous voulons faire si nous voulons trouver la réciproque, c’est de réorganiser pour exprimer 𝑦. Donc, tout d’abord, je vais en soustraire trois de chaque membre. Alors, j’obtiens 𝑥 moins trois est égal à deux 𝑒 𝑦. Et ensuite, je divise chaque membre par deux. Donc, j’ai 𝑥 moins trois sur deux égal à 𝑒 𝑦. Et puis je vais prendre le logarithme népérien de chaque membre, ce qui va nous donner ln de 𝑥 moins trois sur deux égal à 𝑦.
D’accord, maintenant nous voulons nous assurer qu’elle est sous la forme 𝑔 de 𝑥 égal à ln 𝑎𝑥 plus 𝑏. Donc, nous obtenons 𝑦 est égal à ln, puis un demi 𝑥 moins trois sur deux, avec 𝑦 étant 𝑔 de 𝑥.
Nous avons donc maintenant trouvé la réciproque de la fonction deux 𝑒 𝑥 plus trois. Nous pouvons donc dire que lorsque nous trouvons la réciproque de la fonction deux 𝑒 𝑥 plus trois et que nous l’avons sous la forme 𝑔 de 𝑥 égale à ln de 𝑎 𝑥 plus 𝑏, alors 𝑎 va être égal à un demi et 𝑏 va être égal à moins trois sur deux.
D’accord, alors maintenant nous avons une solution. Mais ce que nous voulons faire, c’est récapituler ce que nous avons fait pour résoudre le problème. Donc, tout d’abord, nous avons réellement échangé les variables, donc dans ce cas, nous avons échangé 𝑥 et 𝑦. Et la raison pour laquelle nous avons fait cela est parce que la fonction réciproque est en fait une réflexion par rapport à la droite d’équation 𝑦 égale 𝑥.
Ainsi, les coordonnées 𝑦 et 𝑥 permutent. Voilà pourquoi nous avons échangé les variables. Et puis nous avons réarrangé pour exprimer 𝑦. Alors, une fois que nous avons fait cela, notre 𝑦 était en fait notre fonction réciproque. Puis nous avons utilisé cela pour le mettre sous la forme 𝑔 de 𝑥 égale ln 𝑎 𝑥 plus 𝑏 et nous avons trouvé 𝑎 et 𝑏.
