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Déterminez la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥, pour 𝑦 égale 𝑥 puissance neuf plus huit fois le sinus de cinq 𝑥.
On peut voir que 𝑦 est la somme de deux fonctions. Il s’agit de 𝑥 puissance neuf plus huit fois sinus cinq 𝑥. On doit utiliser cela pour déterminer la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. On sait comment dériver cette expression terme à terme. En effet, on peut dériver n’importe quel polynôme en utilisant la règle de dérivation d’une puissance. Et on sait aussi dériver les fonctions trigonométriques simples. Donc on peut calculer cette dérivée directement. Commençons par écrire que d𝑦 sur d𝑥 est la dérivée de 𝑥 puissance neuf plus huit fois sinus cinq 𝑥 par rapport à 𝑥.
On va ensuite dériver cette expression un terme après l’autre. Autrement dit, on va déterminer la dérivée de 𝑥 puissance neuf par rapport à 𝑥 plus la dérivée de huit fois le sinus de cinq 𝑥 par rapport à 𝑥. On peut maintenant calculer ces deux dérivées séparément. Pour notre première dérivée, on rappelle la règle de dérivation d’une puissance qu’on peut utiliser pour dériver les polynômes. Pour toutes constantes réelles 𝑎 et 𝑛, la dérivée de 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois 𝑛 fois 𝑥 puissance 𝑛 moins un. On multiplie par notre puissance de 𝑥, puis on diminue la puissance de un.
Dans notre cas, la puissance de 𝑥 est égale à neuf. Donc, on doit multiplier par cette puissance de neuf, puis diminuer cette puissance de un. Cela nous donne neuf 𝑥 puissance huit.
On va maintenant calculer notre seconde dérivée. Pour cela, on rappelle l’une de nos dérivées trigonométriques usuelles. Pour toutes constantes réelles 𝑎 et 𝑘, la dérivée de 𝑎 fois sinus 𝑘𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois 𝑘 fois cosinus 𝑘𝑥.
Dans notre cas, le coefficient de 𝑥 est égal à cinq. Donc, on applique notre formule avec 𝑘 égale cinq. Cela nous donne huit fois cinq fois cosinus cinq 𝑥. Bien sûr, on peut simplifier cela en remplaçant huit fois cinq par 40. Cela nous donne neuf 𝑥 puissance huit plus 40 cosinus cinq 𝑥.
Par conséquent, on a montré que si 𝑦 est égal à 𝑥 puissance neuf plus huit fois le sinus de cinq 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à neuf 𝑥 puissance huit plus 40 le cos cinq 𝑥.
