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Simplifiez la racine carrée de deux puissance huit 𝑛 plus 10 fois 30 puissance huit 𝑛 plus trois le tout divisé par la racine carrée de deux puissance huit 𝑛 fois six puissance huit 𝑛 fois cinq puissance huit 𝑛 plus quatre.
Pendant que nous écrivons ce problème, je vais écrire la racine carrée de deux comme deux à la puissance un demi puisque ces valeurs sont égales. Nous aurons donc deux puissance un demi puissance huit 𝑛 plus 10. Ainsi, le seul changement que nous avons fait en recopiant tout cela était de réécrire la racine carrée de deux comme étant deux puissance un demi.
Pour simplifier cette expression, une propriété sera très importante. Il s’agit de 𝑥 puissance 𝑎 plus 𝑏 égal à 𝑥 puissance 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑏. Cela signifie que deux puissance un demi puissance 8𝑛 plus 10 peut être écrit comme deux puissance un demi puissance huit 𝑛 fois deux puissance un demi puissance 10. Nous ferons la même chose pour 30 puissance huit 𝑛 plus trois. Nous les décomposons afin que nous puissions simplifier.
Le 30 puissance huit 𝑛 plus trois devient 30 puissance huit 𝑛 fois 30 au cube. Nous allons recopier deux puissance un demi puissance huit 𝑛 au dénominateur et six puissance huit 𝑛. Et nous allons décomposer cinq puissance huit 𝑛 plus quatre en cinq puissance huit 𝑛 fois cinq puissance quatre. À ce stade, nous avons deux puissance un demi puissance huit 𝑛 au numérateur et au dénominateur. Et donc, ils se simplifient.
Il peut sembler qu’il n’y a rien d’autre que nous puissions simplifier. Cependant, nous avons six puissance huit 𝑛 et cinq puissance huit 𝑛. Six fois cinq est égal à 30 et nous pouvons donc réécrire six puissance huit 𝑛 fois cinq puissance huit 𝑛 comme étant 30 puissance huit 𝑛. Ensuite, ramenez le cinq puissance quatre. Et à partir de là, nous devrons noter que 𝑥 puissance 𝑎 puissance 𝑏 peut-être réécrit comme 𝑥 puissance 𝑎 fois 𝑏. Ce qui signifie que deux puissance un demi puissance 10 peut être réécrit comme deux puissance un demi fois 10, ce qui est deux puissance cinq.
Maintenant, nous avons deux puissance cinq fois 30 puissance huit 𝑛 fois 30 au cube le tout divisé par 30 puissance huit 𝑛 fois cinq puissance quatre. 30 puissance huit 𝑛 au numérateur et au dénominateur se simplifient. Et maintenant, nous avons deux puissance cinq fois 30 au cube sur cinq puissance quatre. Il y a une dernière chose que nous pouvons simplifier. Si nous nous rappelons que 30 est égal à cinq fois six, nous pouvons écrire 30 au cube comme cinq fois six au cube, ce qui équivaut à cinq au cube fois six au cube.
Si nous recopions les termes restants, nous voyons que nous avons cinq au cube au numérateur et cinq puissance quatre au dénominateur. Ceci signifie que le cinq au cube au numérateur peut être simplifié et que cinq puissance quatre au dénominateur devient cinq puissance un. Nous avons donc six au cube fois deux puissance cinq sur cinq. Six au cube est égal à 216, deux puissance cinq est 32, le tout sur cinq. Et il n’y a rien d’autre que nous pouvons simplifier. Nous multiplions alors 216 par 32, ce qui nous donne 6912 sur cinq.
